選修4-5《不等式選講》測(cè)試題

1、選修4-5不等式選講測(cè)試題不 等 式 選 講 測(cè) 試 題1若是任意的實(shí)數(shù),且,則( )(A) (B) (C) (D)2不等式的解集是( )(A) (B) (C) (D) 3不等式的解集為( )(A) (B) (C) (D) 4若,則的最小值為 ( )(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 85若A=，B=，則A，B的大小關(guān)系為_(kāi).6設(shè)，是不全相等的正數(shù)，求證：1）；2）.7.已知，求證8如圖1，把一塊邊長(zhǎng)是的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿著虛線折轉(zhuǎn)作成一個(gè)無(wú)蓋方底的盒子，問(wèn)切去的正方形邊長(zhǎng)是多少時(shí)，才能使盒子的容積最大？ 9已知，且不全相等，求證.10 已知，且，求證

2、.11.已知，且.試證：，中至少有一個(gè)小于2.12.求函數(shù)的最大值.13. 已知，求證1.14. 已知，求的最小值.15. 已知，求的最小值.16. 已知，是正數(shù)，求證.17.證明：能夠被6整除.18. 設(shè),求證：.不 等 式 選 講 答 案1.D.提示：注意函數(shù)的單調(diào)性；2.B.提示：先移項(xiàng)，再通分，再化簡(jiǎn)；3.D.提示：當(dāng)2時(shí)，原不等式可以化為5，解得3，即不等式組的解集是.當(dāng)時(shí)，原不等式可以化為5，即35，矛盾.所以不等式組，的解集為，當(dāng)1時(shí)，原不等式可以化為5，解得2，即不等式組的解集是.綜上所述，原不等式的解集是;4.C. 提示：;5. .提示：通過(guò)考察它們的差與0的大小關(guān)系，得出這

3、兩個(gè)多項(xiàng)式的大小關(guān)系.因?yàn)樗?6提示：，分別將以上三式相乘或相加即可;7.提示: ;8.提示: 設(shè)切去的正方形邊長(zhǎng)為，無(wú)蓋方底盒子的容積為，則 當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，不等式取等號(hào)，此時(shí)取最大值.即當(dāng)切去的小正方形邊長(zhǎng)是原來(lái)正方形邊長(zhǎng)的時(shí)，盒子容積最大.9.分析：觀察欲證不等式的特點(diǎn)，左邊3項(xiàng)每一項(xiàng)都是兩個(gè)數(shù)的平方之和與另一個(gè)數(shù)之積，右邊是三個(gè)數(shù)的積的6倍.這種結(jié)構(gòu)特點(diǎn)啟發(fā)我們采用如下方法.證明：因?yàn)椋? 因?yàn)?，所? 因?yàn)?，所? 由于，不全相等，所以上述式中至少有一個(gè)不取等號(hào)，把它們相加得.10提示：觀察要證明的結(jié)論，左邊是個(gè)因式的乘積，右邊是2的次方，再結(jié)合，發(fā)現(xiàn)如果能將左邊轉(zhuǎn)化為，的乘

4、積，問(wèn)題就能得到解決.證明：因?yàn)?，所以，?同理，.因?yàn)?，由不等式的性質(zhì)，得.因?yàn)闀r(shí)，取等號(hào)，所以原式在時(shí)取等號(hào).11. 提示：要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰.另外，如果從正面證明，需要對(duì)某一個(gè)分式小于2或兩個(gè)分式都小于2等進(jìn)行分類討論，而從反面證明，則只要證明兩個(gè)分式都不小于2是不可能的即可.于是考慮采用反證法.證明：假設(shè)，都不小于2，即，且.因?yàn)?，所以，?把這兩個(gè)不等式相加，得，從而.這與已知條件矛盾.因此，都不小于2是不可能的，即原命題成立.12. 提示：利用不等式解決極值問(wèn)題，通常設(shè)法在不等式一邊得到一個(gè)常數(shù)，并尋找不等式取等號(hào)的條件.這個(gè)函數(shù)的解

5、析式是兩部分的和，若能化為的形式就能利用柯西不等式求其最大值.解：函數(shù)的定義域?yàn)?，? 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即時(shí)函數(shù)取最大值.13.提示: 14.提示: .15.提示: 16.提示:17. 提示：這是一個(gè)與整除有關(guān)的命題，它涉及全體正整數(shù)，若用數(shù)學(xué)歸納法證明，第一步應(yīng)證時(shí)命題成立；第二步要明確目標(biāo)，即在假設(shè)能夠被6整除的前提下，證明也能被6整除.證明：1）當(dāng)時(shí)，顯然能夠被6整除，命題成立. 2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即能夠被6整除. 當(dāng)時(shí)， . 由假設(shè)知能夠被6整除，而是偶數(shù)，故能夠被6整除，從而即能夠被6整除.因此，當(dāng)時(shí)命題成立. 由1）2）知，命題對(duì)一切正整數(shù)成立，即能夠被6整除;18.證明：（法一）要證原不等式成立，只須證：即只須證：由柯西不等