完全信息動(dòng)態(tài)博弈_海盜分金博弈問(wèn)題

1、 完全信息完全信息動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)博弈博弈 -海海盜盜分金博弈分金博弈問(wèn)問(wèn) 題題 組員：組員： 有有5 5個(gè)亡命之徒在海上搶到個(gè)亡命之徒在海上搶到100100枚金幣枚金幣, ,他們決定通他們決定通 過(guò)一種民主的方式來(lái)分配這筆財(cái)富。投票規(guī)則如過(guò)一種民主的方式來(lái)分配這筆財(cái)富。投票規(guī)則如 下：下：5 5個(gè)海盜通過(guò)抽簽決定每個(gè)人提出分配方案的個(gè)海盜通過(guò)抽簽決定每個(gè)人提出分配方案的 順序，由排序最靠前的海盜提出一個(gè)分配方案，順序，由排序最靠前的海盜提出一個(gè)分配方案， 如果有半數(shù)或半數(shù)以上的人贊成，那么就按照這如果有半數(shù)或半數(shù)以上的人贊成，那么就按照這 個(gè)海盜提出的分配方案分配金幣，否則提出這個(gè)個(gè)海盜提出的分配方

2、案分配金幣，否則提出這個(gè) 分配方案的海盜就要被扔到海里；再由下一個(gè)海分配方案的海盜就要被扔到海里；再由下一個(gè)海 盜提出分配方案，如果有半數(shù)或半數(shù)以上的人贊盜提出分配方案，如果有半數(shù)或半數(shù)以上的人贊 成，那么就按照他提出的分配方案分配金幣，否成，那么就按照他提出的分配方案分配金幣，否 則他也要被扔到海里；以此類推。則他也要被扔到海里；以此類推。 海盜分金博弈問(wèn)題海盜分金博弈問(wèn)題 引入問(wèn)題： 每個(gè)海盜都非常聰明并且知道其他人的兇每個(gè)海盜都非常聰明并且知道其他人的兇 殘。對(duì)于海盜而言，他們希望自己獲得盡可能殘。對(duì)于海盜而言，他們希望自己獲得盡可能 多的金幣，但是丟到海里就意味著喂魚(yú)，因此多的金幣，但

3、是丟到海里就意味著喂魚(yú)，因此 他們都不愿意丟掉性命。他們都不愿意丟掉性命。 海盜分金博弈問(wèn)題海盜分金博弈問(wèn)題 意意思是每一個(gè)海盜都想在保全自己生命安思是每一個(gè)海盜都想在保全自己生命安 全的前提下獲取自己的最大利益，試問(wèn)在這種全的前提下獲取自己的最大利益，試問(wèn)在這種 規(guī)則下最后的分配結(jié)果是什么？規(guī)則下最后的分配結(jié)果是什么？ 海盜分金博弈問(wèn)題海盜分金博弈問(wèn)題 從視覺(jué)上看，最先提出分配方案的海盜所處的從視覺(jué)上看，最先提出分配方案的海盜所處的 位置最不利，因?yàn)槠渌暮１I可能通過(guò)將其扔進(jìn)位置最不利，因?yàn)槠渌暮１I可能通過(guò)將其扔進(jìn) 海里減少分配金幣的人數(shù)，從而使自己獲得更多海里減少分配金幣的人數(shù)，從而使自

4、己獲得更多 的金幣。但是，如果將的金幣。但是，如果將“海盜分金海盜分金”問(wèn)題當(dāng)成一問(wèn)題當(dāng)成一 個(gè)完全信息動(dòng)態(tài)博弈來(lái)分析，所得的結(jié)論將會(huì)與個(gè)完全信息動(dòng)態(tài)博弈來(lái)分析，所得的結(jié)論將會(huì)與 我們的直覺(jué)完全不同。我們的直覺(jué)完全不同。 顯然，顯然，“海盜分金海盜分金”問(wèn)題可以看成有限的完全信息問(wèn)題可以看成有限的完全信息 動(dòng)態(tài)博弈，所以可以采用逆向歸納法進(jìn)行求解。不妨動(dòng)態(tài)博弈，所以可以采用逆向歸納法進(jìn)行求解。不妨 將將i(i=1,2,.,5)i(i=1,2,.,5)個(gè)提出分配方案的海盜成為海盜個(gè)提出分配方案的海盜成為海盜i i， 用用 表示海盜表示海盜i i提出的分配方案，其中提出的分配方案，其中 （j=1,

5、2,.,5j=1,2,.,5表示海盜表示海盜i i愿意付給海盜愿意付給海盜j j的金幣的金幣數(shù)數(shù)。 顯然，顯然， 下圖是海盜分金問(wèn)下圖是海盜分金問(wèn) 題的示意圖。題的示意圖。 ).,.,i(x j i 521100 s 1j ),x,x,x,x(xs iiiiii 54321 j i x 海盜分金博弈問(wèn)題海盜分金博弈問(wèn)題 海盜分金博弈問(wèn)題海盜分金博弈問(wèn)題 根據(jù)逆向歸納法，首先考察到海盜根據(jù)逆向歸納法，首先考察到海盜5 5提出分配提出分配 方案時(shí)的情況。方案時(shí)的情況。 輪到海盜輪到海盜5 5提出方案時(shí)，前提出方案時(shí)，前4 4個(gè)海盜個(gè)海盜 肯定已經(jīng)被丟到大海喂魚(yú)了，這個(gè)時(shí)肯定已經(jīng)被丟到大海喂魚(yú)了，這

6、個(gè)時(shí) 候只有他自己留在船上，無(wú)論他提出候只有他自己留在船上，無(wú)論他提出 怎樣的分配方案，最后都會(huì)被實(shí)施。怎樣的分配方案，最后都會(huì)被實(shí)施。 為了盡可能多獲得金幣，海盜為了盡可能多獲得金幣，海盜5 5會(huì)選會(huì)選 擇擇 ).,()x,x,x,x,x(s*1000000 5 5 4 5 3 5 2 5 1 55 海盜分金博弈問(wèn)題海盜分金博弈問(wèn)題 向前遞推一次，當(dāng)輪到海盜向前遞推一次，當(dāng)輪到海盜4 4 提出方案時(shí)提出方案時(shí) ，前，前3 3個(gè)海盜肯定已經(jīng)被丟到大海喂魚(yú)了，個(gè)海盜肯定已經(jīng)被丟到大海喂魚(yú)了， 這個(gè)時(shí)候只有海盜這個(gè)時(shí)候只有海盜4 4和海盜和海盜5 5留在船上。無(wú)留在船上。無(wú) 論海盜論海盜5 5贊成

7、與否，集體投票贊成的票數(shù)都贊成與否，集體投票贊成的票數(shù)都 會(huì)達(dá)到半數(shù)，海盜會(huì)達(dá)到半數(shù)，海盜4 4提出的分配方案最終將提出的分配方案最終將 被實(shí)施，因此海盜被實(shí)施，因此海盜4 4會(huì)提出分配方案會(huì)提出分配方案 ).0 ,100, 0 , 0 , 0(),( 5 4 4 4 3 4 2 4 1 4 * 4 xxxxxs 海盜分金博弈問(wèn)題海盜分金博弈問(wèn)題 順次向前推一步，如果輪到海盜順次向前推一步，如果輪到海盜3 3做決定，他做決定，他 會(huì)提出怎樣的分配方案？當(dāng)輪到海盜會(huì)提出怎樣的分配方案？當(dāng)輪到海盜3 3提出方提出方 案時(shí)，前案時(shí)，前2 2個(gè)海盜肯定已經(jīng)被丟到大海喂魚(yú)了個(gè)海盜肯定已經(jīng)被丟到大海喂魚(yú)了

8、 ，這個(gè)時(shí)候只有海盜，這個(gè)時(shí)候只有海盜3 3、海盜、海盜4 4和海盜和海盜5 5留在船留在船 上。海盜上。海盜3 3知道如果他的方案被否決，海盜知道如果他的方案被否決，海盜4 4 將會(huì)提出分配方案將會(huì)提出分配方案 , ,那么海盜那么海盜5 5將什么也得將什么也得 不到不到 現(xiàn)在只要他給海盜現(xiàn)在只要他給海盜5 5一個(gè)單位的一個(gè)單位的 金幣金幣 海盜海盜5 5將贊成這個(gè)方案。這樣將贊成這個(gè)方案。這樣 一來(lái)，集體投票的贊成票數(shù)將會(huì)就會(huì)大于半數(shù)一來(lái)，集體投票的贊成票數(shù)將會(huì)就會(huì)大于半數(shù) ，因此海盜，因此海盜3 3就會(huì)選擇分配方案就會(huì)選擇分配方案 .x0 5 4 ,xx01 5 4 5 3 ).,()x,

9、x,x,x,x(s * 109900 5 3 4 3 3 3 2 3 1 33 * 4 s 海盜分金博弈問(wèn)題海盜分金博弈問(wèn)題 繼續(xù)向前遞推，輪到海盜繼續(xù)向前遞推，輪到海盜2 2做決定的時(shí)候，做決定的時(shí)候， 海盜海盜1 1已經(jīng)被丟進(jìn)大海，留在船上的還有海盜已經(jīng)被丟進(jìn)大海，留在船上的還有海盜2 2、 海盜海盜3 3、海盜、海盜4 4和海盜和海盜5 5。海盜。海盜2 2知道如果自己的方知道如果自己的方 案被反對(duì)，海盜案被反對(duì)，海盜3 3會(huì)提出方案會(huì)提出方案 這時(shí)海盜這時(shí)海盜4 4什么什么 也得不到也得不到 于是只有他提出的方案滿足于是只有他提出的方案滿足 海盜海盜4 4就贊成該方案，這樣一來(lái)，集體就

10、贊成該方案，這樣一來(lái)，集體 投票的贊成票數(shù)將會(huì)就會(huì)達(dá)到半數(shù)，因此海盜投票的贊成票數(shù)將會(huì)就會(huì)達(dá)到半數(shù)，因此海盜2 2 就會(huì)選擇分配方案就會(huì)選擇分配方案 ).x(0 4 3 ,s * 3 ,xx 4 3 4 2 )0 , 1 , 0 ,99, 0(),( 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 * 2 xxxxxs ).x(0 4 3 ,xx 4 3 4 2 )0 , 1 , 0 ,99, 0(),( 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 * 2 xxxxxs ).x(0 4 3 ,xx 4 3 4 2 ).x(0 4 3 ,xx 4 3 4 2 )0 , 1 , 0 ,99, 0(),( 5

11、2 4 2 3 2 2 2 1 2 * 2 xxxxxs ).x(0 4 3 ,xx 4 3 4 2 ,s * 3 ).x(0 4 3 ,xx 4 3 4 2 ,s * 3 ).x(0 4 3 )0 , 1 , 0 ,99, 0(),( 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 * 2 xxxxxs ,xx 4 3 4 2 ,s * 3 ).x(0 4 3 )0 , 1 , 0 ,99, 0(),( 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 * 2 xxxxxs ,xx 4 3 4 2 ).x(0 4 3 )0 , 1 , 0 ,99, 0(),( 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 * 2

12、xxxxxs ,xx 4 3 4 2 ,s * 3 ).x(0 4 3 )0 , 1 , 0 ,99, 0(),( 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 * 2 xxxxxs ,xx 4 3 4 2 海盜分金博弈問(wèn)題海盜分金博弈問(wèn)題 最后，考察分贓之初海盜最后，考察分贓之初海盜1 1是如何決定的。是如何決定的。 當(dāng)輪到海盜當(dāng)輪到海盜1 1提出分配方案的時(shí)候，所有的提出分配方案的時(shí)候，所有的 海盜都在船上。他知道一旦他的方案被反海盜都在船上。他知道一旦他的方案被反 對(duì)，海盜對(duì)，海盜2 2將提出方案將提出方案 那么海盜那么海盜3 3和海和海 盜盜5 5將什么也得不到將什么也得不到 于是只要他提出

13、方案滿足于是只要他提出方案滿足 海盜海盜3 3和海盜和海盜5 5就會(huì)贊成該方案，那么集體就會(huì)贊成該方案，那么集體 投票的贊成票數(shù)就會(huì)超過(guò)半數(shù)，因此海盜投票的贊成票數(shù)就會(huì)超過(guò)半數(shù)，因此海盜1 1 就會(huì)選擇分配方案就會(huì)選擇分配方案 ,s * 2 ),x,x(00 5 2 3 2 ,xx,xx 5 2 5 1 3 2 3 1 ).,() ,x,x,x,x,x(s*101098 5 1 4 1 3 1 2 1 1 11 海盜分金博弈問(wèn)題海盜分金博弈問(wèn)題 綜合以上分析，可以看出：綜合以上分析，可以看出： 海盜海盜1 1提出的分配方案提出的分配方案 該方案即被多數(shù)人接受，博弈結(jié)該方案即被多數(shù)人接受，博弈結(jié)

14、 束。束。 在在“海盜分金海盜分金”中，任何中，任何“ 分配者分配者”想讓自己的想讓自己的方方案獲得通案獲得通 過(guò)的關(guān)鍵是：事先考慮清楚過(guò)的關(guān)鍵是：事先考慮清楚“挑挑 戰(zhàn)者戰(zhàn)者”的分配方案是什么，并用的分配方案是什么，并用 最小的代價(jià)獲取最大的收益，拉最小的代價(jià)獲取最大的收益，拉 攏攏“挑戰(zhàn)者挑戰(zhàn)者”分配方案中最不得分配方案中最不得 意的人。意的人。 ).1 , 0 , 1 , 0 ,98() ,( 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 * 1 xxxxxs 海盜分金博弈問(wèn)題海盜分金博弈問(wèn)題 1 s * 2 (0,99,0,1,0)s * 1 (99,0,1,0,1)s * 3 (0,0,9

15、9,0,1)s * 4 (0,0,0,100,0)s * 5 (0,0,0,0,100)s 2 s 3 s 4 s 5 s 博弈樹(shù)博弈樹(shù) 值得注意的是,本來(lái)海盜1看似最不容 易被丟進(jìn)海里喂魚(yú)，但是他牢牢把握住了 先發(fā)制人的優(yōu)勢(shì)，結(jié)果不但沒(méi)有丟掉性命 ，還獲得了最多的金幣；而海盜5貌似最安 全，沒(méi)有死亡威脅，甚至還能通過(guò)向海盜1 發(fā)出死亡威脅，坐收漁人之利，但卻由于 其威脅“不可置信”（not credible）， 而不得不看人臉色行事。 海盜分金博弈問(wèn)題海盜分金博弈問(wèn)題 利用“海盜分金”的例子可以解釋很多 社會(huì)現(xiàn)象。例如，為什么企業(yè)中的一把手 ，在搞內(nèi)部人控制時(shí)，經(jīng)常是拋開(kāi)二號(hào)人 物，而會(huì)計(jì)和

16、出納們打得火熱？這正是因 為公司里的小人物好收買，而二號(hào)人物卻 總是野心勃勃地想取而代之。 海盜分金博弈問(wèn)題海盜分金博弈問(wèn)題 完全信息動(dòng)態(tài)博弈蜈蚣博弈 在一個(gè)T階段博弈中，在每一個(gè)階段參與人1先選 擇是否終止博弈；如果參與人1選擇博弈繼續(xù)進(jìn)行 ，則輪到參與人2選擇是否終止博弈；如果參與人 2繼續(xù)選擇進(jìn)行，則博弈進(jìn)入下一階段。 在任一階段，參與人1認(rèn)為自己終止博弈的結(jié)果優(yōu) 于參與人2終止博弈的結(jié)果，但不如博弈進(jìn)入下一 階段；參與人2認(rèn)為自己終止博弈的結(jié)果優(yōu)于參與 人1在下一階段終止博弈的結(jié)果，但不如自己在下 一階段終止博弈，當(dāng)給出T=100時(shí)，博弈的拓展式 描述為： 蜈蚣博弈 1,1 111222 0,32,2、100,10099,102 101,101 進(jìn)入 終 止 完全信息動(dòng)態(tài)博弈完全信息動(dòng)態(tài)博弈重復(fù)博弈重復(fù)博弈 重復(fù)博弈是指同樣結(jié)構(gòu)的博弈重復(fù)許多次 ，其中的每次博弈稱為“階段博弈”。重 復(fù)博弈是動(dòng)態(tài)博弈中的重要內(nèi)容，它可以 是完全信息的重復(fù)博弈