數學聯想方法及其在數學解題中的應用

1、伊犁師范學院數學與統計學院 2012屆本科畢業(yè)論文 數學聯想方法及其在數學解題中的應用 摘 要：聯想是由當前感知的事物特征回憶起有關另一事物相似、相近或相同特征的心理現象.聯想可以溝通數學對象中未知與已知、新與舊知識間的聯系. 它不僅對掌握數學知識,發(fā)展思維能力有積極意義,而且有利于提高解題速度, 提高解題能力. 常見的聯想方法有類比聯想法、接近聯想法、關系聯想法、逆向聯想法和橫向聯想法等.數學知識之間存在著各種不同的關系, 它們之間的條件、結論或形態(tài)性質, 都有很多共同點.關 鍵 詞：聯想 心理現象 發(fā)展思維中圖分類號：G633.64 文獻標識碼 ：A 一、聯想與數學教學 巴甫洛夫學派認為,

2、學習就是形成暫時聯系。暫時聯系就是聯想,就是獲得有關事物關系的知識。在進行新的學習時,“利用知識,利用已獲得的諸聯系,這就是理解”。知識的學習和理解是離不開聯想的。前蘇聯教育學、心理學家克魯捷茨基認為“數學能力就是用數學材料去形成概括的、簡縮的、靈活的聯想和聯想系統的能力”。 在教學過程中,我們通過聯想,一方面使已學過的知識重現,從而迅速找到解決新問題的方法另一方面又啟發(fā)我們將這種方法遷移到同類的問題上,推廣它的應用。例如,當我們研究二元一次方程組的解法時,聯想起一元一次方程的解法,須將二元一次方程組轉化為一元一次方程,從而找到了解二元一次方程組的解法（代入消元法和加減消元法)。通過類推,又把

3、這種解法推廣到解三元一次方程組,從而把消元法推廣到更加廣泛的用途?，F代教學強調知識的發(fā)生、發(fā)展過程,那么就要求我們教師在教學中要善于引導學生進行聯想、類比、猜猜、探究。教學的一個重要任務就是要還原數學思維活動的過程。 學習中不僅要求學生要會解題和品題,而且要學會知識的遷移.一題多變、多問,不但可讓舊題萌發(fā)新意, 而且能夠拓寬、深化學生的解題思路,提高學生的思維品質,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力.下面我會用幾道例題來說明。 例如,對數換底公式的教學,先讓學生求對于學生來說,是一個未知數那么就設為 ,即 ,聯想對數定義得,再取常用對數得,又聯想到時運算法則得,從而得而 與都是可求出的。所以便可求得。那么對于

4、 一般情況,我們是否可以換成以的對數的運算呢？這時學生們便會得出換底公式 這樣效果顯然要比先給出換底公式再證明好。因為以上過程是學生通過聯想過去的知識得出了一個新的定理,極大地激發(fā)了學生的學習興趣,使他們感受到了數學發(fā)現成功的喜悅。興趣是最好的老師,好的數學教師不是在教學數學結果,而是能激發(fā)學生自己去學數學。只有通過學生自己的思考,建立起自己的理解力時,才能真正學好數學。學生要想牢固地掌握數學,就必須用內心的創(chuàng)造與體驗的方法來學習數學。我們教育的目的是為了讓學生能不斷自己教育自己。也就是“教的目的是為了不教”。我們教師不應簡單地奉送真理,更應引導學生廣泛地聯想去探索和發(fā)現真理。在教學中,發(fā)展學

5、生的聯想能力,不僅有利于學生一般能力的發(fā)展,更有利于發(fā)展學生的創(chuàng)造思維能力。二、聯想法在解題中的應用 所謂數學聯想方法,就是以聯想為中介,進行數學發(fā)現,探求解題思路,由此及彼地思考問題的一種方法。數學解題的思考過程實質上是已知和未知間的一系列的聯想過程。在解題時,通過仔細的觀察、分析,由問題的條件、圖形特征和求解目標的結構形式或其等價式),聯想到與其有關的定義、公式、定理、法則、性質、數學解題思想、解題方法、解題技巧以及熟知的相關問題的結論和解法,因此連續(xù)化簡條件和結論,建立條件與求解 目標間的聯系,從而就找到解題的思路和方法。數學思想是數學知識、數學技能的本質體現，在數學學習中，要提高分析問

6、題、解決問題的能力，形成應用數學的意識，這些都離不開數學思想。聯想是由當前感知的事物特征回憶起有關另一事物相似、相近或相同特征的心理現象.聯想可以溝通數學對象中未知與已知、新與舊知識間的聯系.它不僅對掌握數學知識,發(fā)展思維能力有積極意義,而且有利于提高解題速度, 提高解題能力.常見的聯想方法有類比聯想法、接近聯想法、關系聯想法、逆向聯想法和橫向聯想法等.1.類比聯想 數學知識之間存在著各種不同的關系,它們之間的條件、結論或形態(tài)性質,都有很多共同點.解題時聯想與原形態(tài)相似的定義、定理、公式和法則,聯想已經解決的類似解題思想方法和技巧.聯想到類似平面圖形的問題等.由特殊到特殊, 通過類比發(fā)現解題線

7、索, 馬上迎刃而解. 例1： 求證: 分析:觀察所求證結論“外形很容易聯想到均值不等式證明: 將上面三式相加得 即 例2：求證分析：利用柯西不等式避免“失控”所以2.接近引聯想 由概念、原理、法則和公式、策略的接近而產生的聯想就是接近聯想.在初學階段,為了鞏固,熟練掌握教材中的原理、法則和公式,都需借助這種聯想,從而更加靈活地運用知識,提高解題技巧和創(chuàng)新能力。例1：求函數的最小值。分析: 觀察二次根式聯想到距離公式,不妨考察表達式的幾何意義來求解。解析：把已知函數式改寫成由解幾知識知表示軸上的動點到兩定點和的距離之和。（如圖1）于是問題轉換為動折線APB職場的最小值。. 例2：求的和。分析：當

8、我們注意到組合數時，就聯想到二項式定理，于是用展開來求，經嘗試，不能得出。又聯想到棣美弗定理經嘗試不能同時出現。于是把二者聯系起來，把用二項定理和棣美弗定理展開;聯想所求和式的結構,將化為指數函數,求出和式；最后,利用復數相等的性質,便可求得。3.關系聯想法 在數學的解題過程中, 經常會遇到知識之間存在著從屬關系、一般關系或因果關系,從而把抽象問題轉化為具體問題,把數量關系問題轉化為幾何圖形。把一般性問題轉化為特殊問題達到快速解決問題目的。例：已知銳角滿足條件求證：分析: 由已知條件中的數量關系,聯想到構造長方體,使其對角線與交于一點的三條棱的夾角分別為問題便會容易得到解決。證明：如圖，在長方

9、體中，設,所成的角分別為長方體的棱長分別為則：上式當且僅當是取等號。4.逆向聯想法 逆向聯想法就是由眼前的數學對象聯想到對立面的對象. 數學中有些概念是成對出現的, 如相等與不等、直線與曲線、有限與無限、收斂與發(fā)散等;有些運算也是成對出現的,如加法與減法、乘方與開方、指數與對數、微分和積分等,每一對中都會有兩個對立的方面.在解決問題時,可以正難則反,就是聯想到問題的反面,可以很好地解決問題.例：八個人排成一列,交換部分人的位置,至少有兩人不在原來位置的排法有多少種?分析:若從正面考慮,按要求排列需進行分類:(兩人或三人或四人+或八人)不在原來位置的排法各有多少種;如此分類顯然繁瑣,頭緒難以理清

10、,且計算復雜.這時不妨考慮其反面,原題的反面是。都在原來的位置上,只有一種情形。于是： 共有排發(fā)(種）5.橫向聯想法 由眼前的數學對象聯想到鄰近學科的相關對象,數學各分支之間,數學與物理、化學、生物等學科之間的聯想就是橫向聯想.如看到實數對符號( a, b)聯想到( a, b) 由于知識之間存在聯系或相互滲透,利用橫向聯想,可使問題“舉一反三”、由此及彼、看到葫蘆想到瓢。 我國數學家華羅庚說過: 數與形,本是相倚依,焉能分作兩邊飛;數無形時少直覺,形少數時難入微.數形結合思想是數學解題中常用的思想方法,它可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數學問題的本質

11、.若能把數與形很好地結合起來,那么一些看似復雜的問題會迎刃而解.掌握了此方法也會使解題手段從單一走向靈活.解題時進行多聯想對于開拓解題思路,提高解題能力有重要的幫助.因此平時要養(yǎng)成勤于觀察、善于聯想的習慣.但聯想能力的培養(yǎng),需要有扎實的基礎知識和基本技能。否則,既不能抓住對象的主要特征, 也很難發(fā)現與基本形態(tài)或性質相似的知識.在很多情況下,將原題適當變形,或改變角度進行分析,使其具有新的含義,從而把聯想結果轉化為易于解決的問題,再結合數學思圓滿快捷的解決.例1：分析:先將左端結構變形為,如果令則原不等式變?yōu)橛谑锹撓氲剑憾藭r例2.設求證：分析：這個等式較為復雜,觀察其對稱的結構,使我們聯想到已

12、知命題：成立的充要條件是就可得到比較巧妙的證法。證：令則 即 即 即 而 所以，原等式成立。認真鉆研教材,充分發(fā)揮課本例習題的作用, 始終是重要的。例3：證明三角恒等式： （n為自然數）本例用三角知識證明是比較困難的,如利用物理中對稱共點力性質來處理,則比較簡潔。 事實上,作2n+1個力值為1的對稱共力點則有相鄰兩個力之間所成的角如圖架坐標系，使重合與軸正方力，可看作是由繞點0作逆時針方向旋轉了之后所得那么由于對稱共點力的合力為零,即所有的力在軸上的分力之和也為0于是就有此即， 對本例,如果我們考慮所有力在軸上的分力之和,則可證得另一恒等式。 由以上例子我們可以看出數學聯想方法是一種很重要的數

13、學方法, 在教學中我們教師一定要注意培養(yǎng)學生觀察聯想的能力。三解題時聯想步驟 1.注重“三基”教學,完善學生的知識結構。知識越系統,經驗越豐富,聯想就越深人廣泛,解題也就越簡捷。 2.突出思維過程的教學,以利于針對性地進行聯想思維的訓練。數學教學的本質應該是“思維過程”。教學應采取主動的接受學習的方式,輔以有指導的使主體形成廣泛的聯想。避免由老師直接作出決策評價。這樣,培養(yǎng)出來的學生才有創(chuàng)造力 3.加強一題多解的訓練。數學是一個有機的整體,它的各部分之間存在著聯系。教師在講授每一分支時,注重橫向聯系,使知識構成一張網,使之融會貫通。這樣學生的思維就靈活,聯想也就豐富廣泛。教師要引導學生進行一題

14、多解,一題多解使學生解一個問題,就學會幾種解決數學問題的方法,是培養(yǎng)學生聯想能力的捷徑之一。 4.注意培養(yǎng)和激發(fā)學生學習數學的興趣。興趣是求知的起點,是思維的培養(yǎng)和能力的提高的內在動力。濃厚的興趣能夠激勵學生積極的探索,敏銳的觀察,牢固的記憶和豐富的聯想,這就要求我們數學教師要精心設疑,啟發(fā)誘導,激發(fā)學生的學習興趣。 5.從根本上講,數學教育的改革質量的高低,學生聯想能力的高低,關鍵還在于教師的觀念、決心和業(yè)務水平。這就要求我們數學教師要認真鉆研教材,學習新的教育教學理論,拓寬科學知識,提高素質,使教學更加靈活,學生的聯想才會更加豐富。參考文獻 1 王國森.數學聯想及其在數學問題研究中的作用J

15、.宜賓師范高等?？茖W校學報，2001，（02）. 2 馬桂華.數學聯想能力培養(yǎng)舉例 J. 寧夏教育, 1997,(07). 3 王瑞蓮. 在數學聯想中提高學生的思維能力J. 內蒙古石油化工, 2004,(05) 4 烏曉梅. 談數學聯想中的思維遷移J. 寧波大學學報（教育科學版）, 2003,(02). 5 張晶. 運用聯想打開數學解題的通道J. 上海中學教育, 2010,(Z1). 6 賈計榮，解紅霞. 數學聯想方法及其教學研究J. 太原教育學院學報, 1998,(01) 7 徐光明. 數學教學的心理與策略J. 新課程（下）, 2011,(02) 8 趙洪香. 數學聯想與數學教學J. 數學學

16、習與研究, 2010,(14) . 9 姚玉菊，張計光. 如何在高職數學教學中培養(yǎng)學生聯想能力J. 中國成人教育, 2009,(20) . 10 何平凡. 數學解題中的聯想，轉化與化歸J. 職業(yè), 2010,(17) 11 任君. “聯想思想”在數學解題中的應用J. 德陽教育學院, 2003,(04) .ABSTRACT: lenovo is by the current perception of things features about a recall things like, similar or identical characteristics of the psychologi

17、cal phenomenon. Lenovo can communicate in mathematical object and the known and unknown new and the links between the old knowledge. It not only to the grasp of math knowledge and the development of thinking ability have positive significance, but also improve the problem solving speed, and improve the ability to solve problems. Common lenovo method has analogy method, close to lenovo lenovo lenovo method, the method, the relationship betwe