正弦定理與余弦定理完整版

1、 1.問題的引入問題的引入: . (1)在我國(guó)古代就有嫦娥奔月的神話故事在我國(guó)古代就有嫦娥奔月的神話故事.明月明月 高懸高懸,我們仰望夜空我們仰望夜空,會(huì)有無(wú)限遐想會(huì)有無(wú)限遐想,不禁會(huì)問不禁會(huì)問, 月亮離我們地球有多遠(yuǎn)呢月亮離我們地球有多遠(yuǎn)呢?科學(xué)家們是怎樣科學(xué)家們是怎樣 測(cè)出來(lái)的呢？測(cè)出來(lái)的呢？ (2)設(shè)設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸兩點(diǎn)在河的兩岸, 只給你米尺和量角只給你米尺和量角 設(shè)備設(shè)備,不過河你可以測(cè)出它們之間的距離嗎不過河你可以測(cè)出它們之間的距離嗎? A B 我們這一節(jié)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容就是解決這些問題我們這一節(jié)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容就是解決這些問題 的有力工具的有力工具. 正弦定理 回憶一下直角三角形的

2、邊角關(guān)系回憶一下直角三角形的邊角關(guān)系? A B C cb a sinacA 兩等式間有聯(lián)系嗎？?jī)傻仁介g有聯(lián)系嗎？ sinsin ab c AB sin1C sinsinsin abc ABC 思考思考: 對(duì)一般的三角形對(duì)一般的三角形,這個(gè)結(jié)論還能成立嗎這個(gè)結(jié)論還能成立嗎? 2.定理的推導(dǎo)定理的推導(dǎo) 1.1.1 正弦定理正弦定理 sinbcB (1)當(dāng)當(dāng) 是銳角三角形時(shí)是銳角三角形時(shí),結(jié)論是否還成立呢結(jié)論是否還成立呢? ABC D 如圖如圖:作作AB上的高是上的高是CD,根椐根椐 三角形的定義三角形的定義,得到得到 . sinsin bc AEBC BC 同同理理, , 作作有有 sinsins

3、in abc ABC 1.1.1 正弦定理正弦定理 sin ,sinCDaB CDbA sinsinaB bA 所所以以 sinsin ab AB 得得到到 B A C ab c E (2)當(dāng)當(dāng) 是鈍角三角形時(shí)是鈍角三角形時(shí),以上等式是否仍然成立以上等式是否仍然成立?ABC B A C b c a 1.1.1 正弦定理正弦定理 D C c B b A a sinsinsin 正弦定理正弦定理 在一個(gè)三角形中，各邊和它所在一個(gè)三角形中，各邊和它所 對(duì)角的正弦的比相等，即對(duì)角的正弦的比相等，即 1.1.1 正弦定理正弦定理 解三角形解三角形:已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程已知三角形的幾個(gè)元素

4、求其他元素的過程 含三角形的三邊及三內(nèi)角含三角形的三邊及三內(nèi)角,由己知二角一邊由己知二角一邊 或二邊一角可表示其它的邊和角或二邊一角可表示其它的邊和角 定理結(jié)構(gòu)特征定理結(jié)構(gòu)特征: 二、外接三角形中二、外接三角形中 O B/ c b a C B A R C c R c BC BCBAB 2 sin 2 sinsin ,90 R C c B b A a R B b R A a 2 sinsinsin 2 sin ,2 sin 同理 1、正弦定理、正弦定理 在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的 正正 弦的比相等，即弦的比相等，即 C c B b A a sinsinsin

5、 能否用向量法來(lái)證明正弦定理？能否用向量法來(lái)證明正弦定理？ 我們選擇單位向量 j 并讓 與 垂直. jAC j 與 AB ACCB 的夾角分別為 即: j AB j (AC+ CB) C) cos(90 cos90 AC )A cos(90ABCB A B C A90 90C 90 = b ac c sinA = a sinC 同理: a sinB = b sinA C c B b A a sinsinsin C) cos(90 cos90 AC )A cos(90ABCB B C b a c A C c A a sinsin B b A a sinsin 即 即 正弦定理: 在一個(gè)三角形中,

6、各邊和它所對(duì)角的 正弦的比相等. C c B b A a sinsinsin 即 （四）定理的應(yīng)用 例 1 在ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。 求 b (保留兩位有效數(shù)字）。 解： C c B b sinsin 且 105C)(A180 B b = C Bc sin sin 19 = 30sin 105sin10 已知兩角和任意邊，已知兩角和任意邊， 求其他兩邊和一角求其他兩邊和一角 變式訓(xùn)練： （1）在ABC中，已知b= ，A= ，B= ，求a。 3 4560 （2）在ABC中，已知c= ，A= ，B= ，求b。37560 解： B b A a sinsin a

7、 B Ab sin sin = 60sin 45sin3 = 2 解： =45)6075(180 又 C c B b sinsin C Bc b sin sin 45sin 60sin3 2 23 0 180()CAB 例2 證明： 用正弦定理證明三角形面積 BacAbcCabS ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 B A CD a b c aABC ahS 2 1 而 BCADhasin BacS ABC sin 2 1 又CbBcsinsinAcCasinsin BacAbcCabS ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 例例3、在在ABCABC中，已

8、知中，已知 a=28a=28，b=20b=20， A=120A=120，求，求B B（精確到（精確到11）和）和c c（保留保留 兩個(gè)有效數(shù)字）。兩個(gè)有效數(shù)字）。 b a C BA 120 小結(jié)：小結(jié)：2、已知兩邊和其中一邊的對(duì)角、已知兩邊和其中一邊的對(duì)角 解三角形，有兩解或一解。解三角形，有兩解或一解。如圖如圖 （1）A為銳角為銳角 a=bsin A(一解）一解） A b a B C A B2 b a B1 C a bsinAab(一解）一解） b a A B C b a C B A ab(一解）一解） （五）總結(jié)提煉 （1）三角形常用公式： （2）正弦定理應(yīng)用范圍： 已知兩角和任意邊，求其

9、他兩邊和一角 已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊 的對(duì)角。 正弦定理： ABC 111 sinsinsin 222 ABC SabCbcAacB sinsinsin abc ABC 基礎(chǔ)練習(xí)題基礎(chǔ)練習(xí)題 1.1.1 正弦定理正弦定理 BbaAABC BbaAABC 求中，已知在 求中，已知在 , 3 310 , 4,60) 2( , 2, 2,45) 1 ( 0 0 B=300 無(wú)解無(wú)解 （3）在ABC中，B=30，AB= ，AC=2，則 ABC的面積是 32 解： 根據(jù)正弦定理，有 B AC C AB sinsin 所以 2 3sin sin AC BAB C 則C有兩解： 1)當(dāng)C為銳角時(shí)

10、，C=60A=90 S=32sin 2 1 AACAB 當(dāng)C為鈍角時(shí)，C=120A=30 2) S= 3sin 2 1 AACAB A B C C 千島湖千島湖 A B C 110.8 700m 1338m 千島湖千島湖 A B C 110.8 700m 1338m 用用正弦定理正弦定理能否能否直接直接求出求出A , B兩處的距離？?jī)商幍木嚯x？ 這是一個(gè)已知三角形兩邊這是一個(gè)已知三角形兩邊a和和 b,和兩邊的夾角和兩邊的夾角C，求出第三邊求出第三邊c 的問題的問題. ? 角邊角角邊角 角角邊角角邊 邊邊角邊邊角 邊角邊邊角邊 邊邊邊邊邊邊 正弦定理正弦定理 222 bac A BC c b a

11、 已知三角形兩邊分別為已知三角形兩邊分別為a和和b, 這兩邊的夾角為這兩邊的夾角為C，角角C滿足滿足什么什么 條件條件時(shí)較易求出第三邊時(shí)較易求出第三邊c？ 勾股定理勾股定理 你能用你能用向量向量證明勾股定理嗎？證明勾股定理嗎？ 222 CBACAB 即證即證 CBACAB CB A b c a CBACAB 2 2 )(CBACAB 22 2CBCBACAC 22 CBCcosCBAC2AC 22 bCcosab2a CB A b c a CBACAB 2 2 )(CBACAB 22 2CBCBACAC 22 CB)C180cos(CBAC2AC 22 bCcosab2a CB A b c a

12、 CBACAB 2 2 )(CBACAB 22 2CBCBACAC 22 CB)C180cos(CBAC2AC 22 bCcosab2a Cabbaccos2 222 Cabbaccos2 222 Bcaacbcos2 222 Abccbacos2 222 余弦定理余弦定理 三角形任何三角形任何一邊一邊的平方等于其他兩邊的平方的平方等于其他兩邊的平方 和和減去減去這兩邊與它們夾角的余弦的這兩邊與它們夾角的余弦的積積的兩倍。的兩倍。 222 bac 勾股定理勾股定理 令令C900 勾股定理與余弦定理有何關(guān)系？勾股定理與余弦定理有何關(guān)系？ 適用于任何適用于任何 三角形三角形 A C B b a c

13、x y DC ( bcosA , bsinA ) 22 2 0AsinbcAcosba 2 2 2 AsinbcAcosbc2Acosb 22 cAcosbc2b 能不能用坐標(biāo)方法來(lái)證能不能用坐標(biāo)方法來(lái)證 明余弦定理呢？明余弦定理呢？ B ( c , 0 ) A C B ba c x y DC ( bcosA , bsinA ) 22 2 0AsinbcAcosba 2 2 2 AsinbcAcosbc2Acosb 22 cAcosbc2b 能不能用坐標(biāo)方法來(lái)證能不能用坐標(biāo)方法來(lái)證 明余弦定理呢？明余弦定理呢？ B ( c , 0 ) Cabbaccos2 222 Bcaacbcos2 222

14、 Abccbacos2 222 余弦定理余弦定理 三角形任何三角形任何一邊一邊的平方等于其他兩邊的平方的平方等于其他兩邊的平方 和和減去減去這兩邊與它們夾角的余弦的這兩邊與它們夾角的余弦的積積的兩倍。的兩倍。 222 bac 勾股定理勾股定理 令令C900 勾股定理與余弦定理有何關(guān)系？勾股定理與余弦定理有何關(guān)系？ 這個(gè)定理有什么作用？這個(gè)定理有什么作用？ 若已知若已知b=8,c=3,A= ,能求能求a嗎？嗎？60 適用于任何適用于任何 三角形三角形 它還有別的用途嗎它還有別的用途嗎？ 若已知若已知a,b,c,可以求什么？可以求什么？ Cabbaccos2 222 Bcaacbcos2 222

15、Abccbacos2 222 ab cba C 2 cos 222 bc acb A 2 cos 222 ac bca B 2 cos 222 利用余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題利用余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題： （1）已知三邊，求三個(gè)角）已知三邊，求三個(gè)角 ; （2）已知兩邊和它們的）已知兩邊和它們的夾角夾角，求第三邊，進(jìn)而，求第三邊，進(jìn)而 還可求其它兩個(gè)角。還可求其它兩個(gè)角。 歸納：歸納： 角邊角角邊角 角角邊角角邊 邊邊角邊邊角 邊角邊邊角邊 邊邊邊邊邊邊 正弦定理正弦定理 余弦定理余弦定理 千島湖千島湖 A B C 110.8 700m 1338m ? CCBCA

16、CBCAABcos2 222 8 .110cos700133827001338 22 35511. 018732004900001790244 6651922280244 2945436 1716AB 答：答：A , B兩處的距離約為兩處的距離約為1716米。米。 引題（精確到引題（精確到1米）米） 例例3 3、在在ABCABC中，已知中，已知b=60cm,c=34cm, A=41b=60cm,c=34cm, A=41 ， 解三角形（角度精確到解三角形（角度精確到1 1，邊長(zhǎng)精確到，邊長(zhǎng)精確到1 1cmcm） 解：根據(jù)余弦定理解：根據(jù)余弦定理 82.1676 7547. 04080115636

17、00 41cos346023460 Acosbc2cba 22 222 所以所以 cm41a 5440. 0 a Asinc Csin 例例4 4、在在ABCABC中，已知中，已知 a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm, a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm, 解三角形解三角形 （角度精確到（角度精確到1 1 ） 解：由余弦定理的推論得解：由余弦定理的推論得 7 .1618 .872 6 .1347 .1618 .87 bc2 acb Acos 222222 ,5543. 0 0256A 7 .1616 .1342 8 .877 .1616 .134 a

18、c2 bca Bcos 222222 ,8398. 0 3532B 749035320256180BA180C 解：由余弦定理可知解：由余弦定理可知 BC2=AB2+AC2-2ABACcosA =4+9 - 223 =7 BC= 在在ABCABC中，已知中，已知AB=2AB=2，AC=3AC=3，A= A= ，求求BCBC的長(zhǎng)的長(zhǎng) 3 例例5：一鈍角三角形的邊長(zhǎng)為連續(xù)自然數(shù)，則這三一鈍角三角形的邊長(zhǎng)為連續(xù)自然數(shù)，則這三 邊長(zhǎng)為（邊長(zhǎng)為（ ） 分析：分析： 要看哪一組符合要求，只需檢驗(yàn)?zāi)囊粋€(gè)選項(xiàng)中的最大角是鈍角，即該角的要看哪一組符合要求，只需檢驗(yàn)?zāi)囊粋€(gè)選項(xiàng)中的最大角是鈍角，即該角的 余弦值小于

19、余弦值小于0。 B中：中： ，所以，所以C是鈍角是鈍角 222 13 24 42 2 3 cosC D中：中： ，所以，所以C是銳角，是銳角， 因此以因此以4，5，6為三邊長(zhǎng)的三角形是銳角三角形為三邊長(zhǎng)的三角形是銳角三角形 222 156 4 82 4 5 cosC A、C顯然不滿足顯然不滿足 B A、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6 例例6 6：在在 ABCABC中，已知中，已知a=7,b=8,cosC= ,a=7,b=8,cosC= ,求求 最大角的余弦值最大角的余弦值 13 14 分析：求最大角的余弦值，最主要的是判斷哪分析：求最大角的余弦值，最主要的是判斷哪 個(gè)角是最大角。由大邊對(duì)大角，已知兩邊可求個(gè)角是最大角。由大邊對(duì)大角，已知兩邊可求 出第三邊出第三邊,找