常用的離散分布PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1 常用的離散分布常用的離散分布 P nkX.210 n q 111 n n pCq 222 n n pCq . kk n n k pCq . n p 稱隨機變量 X 服從參數(shù)為 ,n p 的二項分布, 記為 k p n k q 即 ( , )Xb n p P Xk k n C 0,1,2,.,kn EXpnDXqn p 可以證明，二項分布的數(shù)學(xué)期望和方差分別為 第1頁/共24頁 0.5, 0.5 XU 0.3 0.3 在四舍五入時, 今有n個加數(shù), 每個加數(shù)的取整誤差 服從 0.5, 0.5 上的均勻分布,計算它們 絕對誤差小于 的概率. 0.3 例 設(shè) 表示一個加數(shù)的取整誤差, X

2、解 P 1 0.50.5 )(xfy 的概率為:每個加數(shù)的絕對誤差小于 0.3 0.3X P0.30.3X ( ) X fx dx 0.3 0.3 1dx0.6 設(shè) 為n個加數(shù)中 Y 絕對誤差小于0.3的個數(shù). Y 的可能取值為 0,1,2,.,n 中至少有3個的 第2頁/共24頁 1)n個加數(shù) 2)每個加數(shù)的絕對誤差 4)各加數(shù)的絕對誤差是否 至少有3個加數(shù)的 1 0.50.5 )(xfy 或者小于 0.3,0.3 或者 3)每個加數(shù)的絕對誤差小于 的概率都是 0.30.6 小于 0.3 互不影響. ()Yb,n0.6 絕對誤差 小于 的概率為: 0.3 P3Y 0P Y 設(shè) 為n個加數(shù)中

3、Y 絕對誤差小于0.3的個數(shù). 1P3Y 1 1P Y 2P Y 10.4n 1 0.6 1 n C 1 0.4 n 2 0.6 2 n C 2 0.4 n 0.5, 0.5 XU 設(shè) 表示一個加數(shù)的取整誤差 X P0.3X 0.3 0.3 ( ) X fx dx 0.3 0.3 1dx0.6 第3頁/共24頁 五、幾何分布 例 射擊的次數(shù). X P 直到擊中為止,設(shè)每次 p 擊中的概率都是且各次射擊的結(jié)果 (01),p 令 表示 X 對某一目標射擊, .123n 是獨立的. 第4頁/共24頁 假定一個試驗 直到首次成功為止, 成功的概率是 , p( 01),p 不斷地重復(fù)試驗, 的結(jié)果是獨立

4、的. 令 表示 X 試驗的次數(shù). X Pppq 2 pq 1n pq . . 其中 qp1 設(shè) 表示 i A “第 次成功” i i P A() q 令令 p i P A()p1 P X 1 APA 21 ()APPA 21 () ()qp A A AP 312 ()AAPPP A 123 () () () AP 1 ()p P X 2 P X 3pqq nn A AAAP 121 .() nn PPAAAAPP 121 () (). () （ ） n pq 1 qp 2 P Xn 稱X服從 參數(shù)為 的幾何分布. p 且各次試驗 .123n 第5頁/共24頁 123.Xn P ppq 2 pq

5、 1n pq . 其中 qp1 幾何分布： p01, p pq pq 2n pq 1 . q1 p 1 第6頁/共24頁 123.Xn P ppq 2 pq 1n pq . 其中 qp1 幾何分布： p01, p p 1 1n p n n q 1 EX 1 p EX p qp 2 qp 2 3 n pqn 1 . . 2q 2 3q 1 . n nq . 1 1 n n xn 1x 時時， 1n ( ) n x 1 n n x 23 (.) n xxxx 1x x 2 1 (1)x 2 (1)q 第7頁/共24頁 123.Xn Pppq 2 pq 1n pq . . 其中 1qp 01,p1

6、EX p 1n 2 n 1n pq 2 EXp 2 2 pq 22 3 pq 21 . n pqn . 1n p 2 n 1n q 12 1n n xn 時，時，1 x 1n () n nx 1 n n nx x 1 1n n xn x 2 (1)x 3 1 (1) x x p 3 (1)q 1q p 3 p 1q 2 p 1q DX 2 EX 2 ()EX 2 1 p q 2 1 p p q 2 第8頁/共24頁 幾何分布有性質(zhì)： 123.Xn Pppq 2 pq 1n pq . . Xm XnmP nP X 對任意自然數(shù)m，n， 有 證 Xm XnmP P Xm nPXm Xm mP X

7、P Xnm P Xm mP X1P Xm2P Xmk. . m pq m pq 1m k qp 1 . q1 m pq m q m q nm q n q nP X 稱為無記憶性， 是幾何分布的特征性質(zhì). 第9頁/共24頁 六、超幾何分布 0 1000 10 C 0 600 C 一個池塘中有1000條魚, 從池中任意撈100條魚, 其中有600條草魚, 400條鰱魚, 草魚的數(shù)量 求這100條魚中 解設(shè) 表示 X 草魚的數(shù)量. 條草魚 條鰱魚 400600 X 的可能取值為 0,1,2,3,.,100 0P X C400 100 C1000 100 k C600 P Xk k C 1 0 00

8、40 0,1,2,3,.00,1k 例 100 的概率分布. 撈出的100條魚中 第10頁/共24頁 一個池塘中有1000條魚, 從池中任意撈100條魚, 其中有80條草魚, 920條鰱魚, 中草魚的數(shù)量 求這100條魚 解設(shè) 表示 X 草魚的數(shù)量. 條草魚 條鰱魚 92080 X 的可能取值為 0,1,2,3,.,80 C1000 100 k C80 P Xk 1 920 00 k C 0,1,2,3,. 80.,k 例 100 的概率分布. 撈出的100條魚中 規(guī)定 C80 81 0, 82 80 C 80 100 .C 即當k80時, 80 0 k C ,81 ,82100,., 第11

9、頁/共24頁 一個池塘中有1000條魚, 從池中任意撈100條魚, 其中有930條草魚, 70條鰱魚, 草魚的數(shù)量 求這100條魚中 解設(shè) 表示 X 草魚的數(shù)量. 條草魚 條鰱魚 70930 X 的可能取值為 ,31,.30.,100 C1000 100 k C930 P Xk 0 70 10k C k 例 100 的概率分布. 撈出的100條魚中 規(guī)定 C70 100 0, 99 70 C 0 71 7 .C 即當j 70時, 70 0 j C 30, 31, ., 1000,1,.,29, 第12頁/共24頁 EX 1 N n N 可以證明, 定義 對給定的自然數(shù) 12 ,n NN 以及

10、12 ,NNN 共 12 NNN 個 個k 1 N 2 N 個nk n 個 如果 P Xk , n N C k N C 12 k N n C 0,1,2,.,kn 則稱 服從 X 超幾何分布. 超幾何分布 的數(shù)學(xué)期望和方差分別為 1 , N n N DX n 12 ,NN 這里約定, ab 當時, 0 a b C 2 N N 1 Nn N 第13頁/共24頁 (1)無返回 (2)有返回 k N N 1 2)每次或取到紅球或取到黑球. 3)每次取到紅球的概率都是 4)各次摸取互不影響N N1 個黑球, N 2 設(shè)袋中有 個紅球, N1 從中取n次, 每次取一個球, 表示取到的紅球個數(shù). X P

11、Xk 12 n NN C 1 k N C 2 k N n C 0,1,2,.,kn 服從超幾何分布. X 1) 次摸取 n 服從二項分布. X P Xk n k N N 2 k n C 當N很大時, 無返回 接近于有返回,故 超幾何分布 接近于 1 N2 N 共 12 NNN 個 1, nN 2 nN ， 二項分布. kn 0,1,2,., 第14頁/共24頁 (1)無返回 (2)有返回 時時p N N 1 其中 P60 (2.57) 1 N2 N 共 12 NNN 個 P Xk 12 n NN C 1 k N C 2 k N n C 0,1,2,.,kn 1 k N N P Xk 2 n k

12、 N N k n C 0,1,2,.,kn 對于固定的 n,N 當 P Xk 12 n NN C 1 k N C 2 k N n C k p, n k q k n C 1qp 當 很大時, N 無返回接近于有返回,故超幾何分布 接近于二項分布. 1 ,N 2 ,N 且 第15頁/共24頁 例 設(shè)10粒種子中 N C 10 8 0.9 共N粒 N C 10 10 10 C 9 10 C 一大批種子的發(fā)芽率為 90%, 從中任取10粒, 求播種后(1)恰有8粒發(fā)芽的概率; (2)不少于8粒發(fā)芽的概率. 解 有 粒種子發(fā)芽. X (1)8P X N C0.9 8 N C0.1 2 2 0.1 C 8

13、 10 (2)8P X 8P X 9P X 10P X N C0.1 28 0.9N C N C 10 N C0.1 1 N C0.9 9 N C 10 N C0.1 0 N C0.9 10 8 0.9 2 0.1 C 8 10 9 0.9 1 0.1 10 0.9 0 0.1 0.9N0.1N 第16頁/共24頁 七、泊松分布 定義 且取這些值的概率為 其中 ( )XP 為常數(shù), 則稱 服從 X 參數(shù)為的 記為 設(shè)隨機變量 可能取的值為 X , ! k k e e 1 !1 e .01.2.kX P . ! k e k . 2 !2 e 0,1,2,., ,.k 0,1,2,3,.k P X

14、k 0, 分布, 泊松 第17頁/共24頁 ( )XP 1 由 12 1 . . ! 01 2! 2 k X Peeee k k x e 2 1. 2! n xx x n x 0n P Xn e 1 !1 e 2 . 2 . ! e . ! n n e e 1 1 !1 2 . 2 . . ! . ! n n e e 第18頁/共24頁 泊松分布的數(shù)學(xué)期望與方差分別為 EX DX EX 泊松分布： . 1 用同樣的方法可求得 DX 2 EX 2 ()EX e 2 !2 1 . !( . )n 1n . e 1 !1 e 2 ! 2 2 e 3 ! 3 3 e . ! n en n e 1 !1

15、 e . 2 !2 e 2 EX 2 2 2 e .01.2.nX P! n e n 第19頁/共24頁 例書籍中每頁的印刷錯誤服從泊松分布, 一個印刷錯誤的頁數(shù)與有兩個印刷錯誤的頁數(shù) 求任意檢驗4頁,每頁上都沒有印刷錯誤 解 設(shè)任一頁上 X 有 個印刷錯誤. P Xm, ! m m e 0,1,2,3,.m 1P X 2P X 總頁數(shù) 有一個印刷錯誤的頁數(shù) 總頁數(shù) 有兩個印刷錯誤的頁數(shù) 2P X 有 相同, 1P X 1 !1 e 2 2! e 2 的概率. 第20頁/共24頁 例書籍中每頁的印刷錯誤服從泊松分布, 一個印刷錯誤的頁數(shù)與有兩個印刷錯誤的頁數(shù) 求任意檢驗4頁,每頁上都沒有印刷錯

16、誤 解 設(shè)任一頁上 X 有 個印刷錯誤. P Xm , ! m m e 0,1,2,3,.m 有 相同, 2 的概率. 一頁上無印刷錯誤的概率為 0P X 2 e 0 0! e 任取4頁, 設(shè) 表示 i A “第 頁上 i 無印刷錯誤” P A A A A 1234 1234 () () () ()P A P A P A P A 8 e () i P A 2 e 0.135335 4 0.135335 (表P276) 第21頁/共24頁 例某商店根據(jù) 服從參數(shù)為=10的銷售量為了以95% 保證不脫銷, 某種商品的 問商店在月底應(yīng)存多少 以上的概率 件該種商品？ 解 設(shè)該商店每月銷售該商品 的件數(shù)為X 月底存貨為 件. a 0.95 P Xa 0P X 1P X .aP X 0 a k 0.95, 要求 由P276278表 14 0k 0.91654 0.95 15 0k 0.95126 0.95 取 即可. 15a 過去的銷售記錄知道 泊松分布, !k 10k 10 e 10 10 ! k e k 10 10 ! k e k (10)P 第22頁/共24頁 定理2.4 (泊松定理) 在 重