數(shù)列求和公式方法總結(jié)

1、數(shù)列求和公式方法總結(jié)數(shù)列求和是歷年高考的必考內(nèi)容，重點(diǎn)要熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式，其中錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)相消法也是考查的重點(diǎn)。下面為大家發(fā)分享了數(shù)列求和公式方法，希望對(duì)大家有幫助！一、分組轉(zhuǎn)化求和法若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列構(gòu)成，則求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn時(shí)可以用分組求和法求解。一般步驟是：拆裂通項(xiàng)重新分組求和合并。例1求Sn=14+27+310+n（3n+1）的和解由和式可知，式中第n項(xiàng)為an=n（3n+1）=3n2+nSn=14+27+310+n（3n+1）=（312+1）+（322+2）+（332+3）+（3n2+n）=3（12+22+32+

2、n2）+（1+2+3+n）=316n（n+1）（2n+1）+n（n+1）2=n（n+1）2二、奇偶分析求和法求一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，如果需要對(duì)n進(jìn)行奇偶性討論或?qū)⑵鏀?shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分組求和再求解，這種方法稱為奇偶分析法。例2：求和：Sn=-1+3-5+7-9+11-+（-1）n（2n-1）分析：觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式an=（-1）n（2n-1）可知Sn與數(shù)列項(xiàng)數(shù)n的奇偶性有關(guān)，故利用奇偶分析法及分組求和法求解，也可以在奇偶分析法的基礎(chǔ)上利用并項(xiàng)求和法求的結(jié)果。解：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn=-1+3-5+7-9+11-+（-1）n（2n-1）=-（1+5+9+2n-3）+（3+7+11+2n-1）=-n2（

3、1+2n-3）2+n2（3+2n-1）2=-n2-n2+n2+n2=n當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn=-1+3-5+7-9+11-+（-1）n（2n-1）=-（1+5+9+2n-3）+（3+7+11+2n-1）=-n+12（1+2n-1）2+n-12（3+2n-3）2=-n2+n2+n2-n2=-n綜上所述，Sn=（-1）nn三、并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn中，某些項(xiàng)合在一起就具有特殊的性質(zhì)，因此可以幾項(xiàng)結(jié)合求和，再求Sn，稱之為并項(xiàng)求和法。形如an=（-1）nf（n）的類型，就可以采用相鄰兩項(xiàng)合并求解。如例3中可用并項(xiàng)求和法求解。例3：求S=-12+22-32+42-992+1002解S=（-1

4、2+22）+（-32+42）+（-992+1002）=（1+2）+（3+4）+（99+100）=5050四、基本公式法如果一個(gè)數(shù)列是符合以下某種形式，如等差、等比數(shù)列或通項(xiàng)為自然數(shù)的平方、立方的，那么可以直接利用以下數(shù)列求和的公式求和。常用公式有（1）等差數(shù)列求和公式：Sn=na1+n（n-1）2d=n（a1+an）2（2）等比數(shù)列求和公式：Sn=na1a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q（q=1）（q1）（3）1+2+3+n=n（n+1）2（4）1+3+5+2n-1=n2（5）2+4+6+2n=n（n+1）（6）12+22+32+n2=16n（n+1）（2n+1）（7）13+23+33

5、+n3=14n2（n+1）2例1：已知等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=12n-1，設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，求Sn。解：an=12n-1a1=1，q=12Sn=1+12+14+12n-1=1（1-12n）1-12=2-12n-1五、裂項(xiàng)相消法如果一個(gè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式能拆分成兩項(xiàng)差的形式，并且相加過程中可以互相抵消至只剩下有限項(xiàng)時(shí)，這時(shí)只需求有限項(xiàng)的和，把這種求數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的方法叫做裂項(xiàng)相消法。裂項(xiàng)相消法中常用的拆項(xiàng)轉(zhuǎn)化公式有：（1）1n（n+1）=1n-1n+1，1n（n+k）=1k（1n-1n+k）（2）1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1）（3）1n（n+1）（n+2）=121n（n+1）-1（n+1）（n+2）（4）1n+n+1=n+1-n，1n+n+k=1k（n+k-n），其中nN，kR且k0例5：求數(shù)列1，11+2，11+2+3，11+2+3+n，的前n和Sn。解由題知，an=11+2+3+n=2n（n+1）=2（1n-1n+1）Sn=1+11+2+11+2+3+11+2+3+n=2（1-12）