第一章 信號與系統(tǒng)

1、 l教材：鄭君里信號與系統(tǒng)上、下冊，高等教育出 版社，2011年3月第3版 l參考書： 1、管致中，信號與線性系統(tǒng)（第4版）上、下冊， 高等教育出版社，2004年 2、吳大正，信號與線性系統(tǒng)分析（第4版），高 等教育出版社，2005年 l學時：68學時 l考試方式：閉卷考試 l成績評定：平時考核占30%，期末考試占70%。 信號的概念、描述和分類信號的概念、描述和分類 典型信號典型信號 信號的基本運算信號的基本運算 階躍信號、沖激信號階躍信號、沖激信號 信號的分解信號的分解 系統(tǒng)的概念和分類系統(tǒng)的概念和分類 線性時不變系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng) 1 1.1 .1 緒論緒論 一、信號的概念一、信號的概念

2、 消息消息(message)(message)：常常把來自外界的各種報道統(tǒng)稱 為消息。 信息(information)：通常把消息中有意義的內容稱 為信息。 信號(signal)：信號是反映信息的各種物理量，是 系統(tǒng)直接進行加工、變換以實現通信的對象。 w 信號是信息的表現形式，信息是信號的具體內容。 信號是信息的載體，通過信號傳遞信息。 自然和物理信號：自然和物理信號：語音、圖像、地震信號、生理信號等語音、圖像、地震信號、生理信號等 人工產生的信號：人工產生的信號：人類為了達到某種目的人為產生的信人類為了達到某種目的人為產生的信 號。雷達信號、通訊信號、醫(yī)用超聲信號、機械探傷信號。雷達信號、

3、通訊信號、醫(yī)用超聲信號、機械探傷信 號等。號等。 例如：例如： 電信號傳送聲音、圖像、文字等。電信號傳送聲音、圖像、文字等。 電信號是應用最廣泛的物理量，如電壓、電流、電荷、電信號是應用最廣泛的物理量，如電壓、電流、電荷、 磁通等。磁通等。 二、系統(tǒng)的概念 系統(tǒng)(system)是指若干相互關聯的事物組合而 成具有特定功能的整體。 三、信號處理及應用三、信號處理及應用 對信號進行某種加工或變換。對信號進行某種加工或變換。 1 1、目的：、目的： 消除信號中消除信號中的的多余內容；多余內容； 濾除混雜的噪聲和干擾；濾除混雜的噪聲和干擾； 將信號變換成容易分析與識別的形式，便于估計將信號變換成容易分

4、析與識別的形式，便于估計 和選擇它的特征參量。和選擇它的特征參量。 信號處理的應用已遍及許多科學技術領域。信號處理的應用已遍及許多科學技術領域。 2、信號傳輸、信號傳輸 X X 通信系統(tǒng)：通信系統(tǒng)：為傳送消息而裝設的全套技術設備（包為傳送消息而裝設的全套技術設備（包 括傳輸信道）括傳輸信道） 1.2 1.2 信號的描述和分類信號的描述和分類 一、信號的描述一、信號的描述 1、數學描述：使用具體的數學表達式，把信號描述為 一個或若干個自變量的函數或序列的形式。 2、波形描述：按照函數自變量的變化關系，把信號的 波形畫出來。 “信號”與“函數”兩詞常相互通用。 二、信號的分類二、信號的分類 1.

5、1. 確定信號和隨機信號確定信號和隨機信號 確定信號或規(guī)則信號確定信號或規(guī)則信號 ：可以用確定時間函數表示的信號可以用確定時間函數表示的信號 隨機信號隨機信號: :若信號不能用確切的函數描述，它在任意時刻若信號不能用確切的函數描述，它在任意時刻 的取值都具有不確定性，只可能知道它的統(tǒng)計特性的取值都具有不確定性，只可能知道它的統(tǒng)計特性 f(t) t 0 0 0 t t t t f(t) f(t) 連續(xù)時間信號：連續(xù)時間信號：在連續(xù)的時間范圍內在連續(xù)的時間范圍內(-t(-t） 有定義的信號稱為連續(xù)時間信號，簡稱連續(xù)信號。有定義的信號稱為連續(xù)時間信號，簡稱連續(xù)信號。 w 離散時間信號：離散時間信號：

6、僅在一些離散的瞬間才有定義的僅在一些離散的瞬間才有定義的 信號稱為離散時間信號，簡稱離散信號。實際中也信號稱為離散時間信號，簡稱離散信號。實際中也 稱為數字信號。稱為數字信號。 2. 連續(xù)信號和離散信號 離散信號可表示為離散信號可表示為x(nT)x(nT)，通常取等間隔，通常取等間隔T T，簡寫為，簡寫為x(n)x(n) ，這種等間隔的離散信號也常稱為序列。其中，這種等間隔的離散信號也常稱為序列。其中k k稱為序號。稱為序號。 x(n)= x(n)= ，0 0，1 1，2 2，-1.5-1.5，2 2，0 0，1 1，0 0， n=0n=0 通常將對應某序號通常將對應某序號m m的序列值稱為第

7、的序列值稱為第m m個樣點的個樣點的“樣值樣值”。 f(t) f(t) t t 3. 3. 周期信號和非周期信號周期信號和非周期信號 周期信號：周期信號：是指一個每隔一定時間是指一個每隔一定時間T T，按相同規(guī)律重，按相同規(guī)律重 復變化的信號。復變化的信號。 ( (在較長時間內重復變化在較長時間內重復變化) ) 連續(xù)周期信號連續(xù)周期信號f(t)f(t)滿足滿足f(t) = f(t + mT)f(t) = f(t + mT)， 離散周期信號離散周期信號x(n)x(n)滿足滿足x(n) = x(n + mN)x(n) = x(n + mN)， 滿足上述關系的最小滿足上述關系的最小T(T(或整數或整

8、數N)N)稱為該信號的周期。稱為該信號的周期。 非周期信號：非周期信號：不具有周期性的信號稱為非周期信號不具有周期性的信號稱為非周期信號 。 t t t f(t) f(t) f(t) T T 例1.2.1 判斷下列信號是否為周期信號，若是，確 定其周期。 （1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sint 解：解：兩個周期信號兩個周期信號x(t)x(t)，y(t)y(t)的周期分別為的周期分別為T T1和和T T2，若，若 其周期之比其周期之比T T1/T/T2為有理數，則其和信號為有理數，則其和信號x(t)+y(t)x(t)+y(t)仍仍 然是周

9、期信號，其周期為然是周期信號，其周期為T T1和和T T2的最小公倍數。的最小公倍數。 （1） sin2t sin2t 是周期信號，其角頻率和周期分別為是周期信號，其角頻率和周期分別為 1= 2 rad/s ， T1= 2/ 1= s cos3t 是周期信號，其角頻率和周期分別為 2= 3 rad/s ， T2= 2/ 2= (2/3) s 由于T1/T2= 3/2為有理數，故f1(t)為周期信號， 其周期為T1和T2的最小公倍數2。 （2） cos2t 和sint的周期分別為T1= s， T2= 2 s， 由于T1/T2為無理數，故f2(t)為非周期信號。 結論： 兩連續(xù)周期信號之和不一定是

10、周期信號，而兩周期序 列之和一定是周期序列。 連續(xù)正弦信號一定是周期信號，而正弦序列不一定是 周期序列。 4 4一維信號與多維信號一維信號與多維信號 一維信號：一維信號： 只由一個自變量描述的信號，如語音信號。只由一個自變量描述的信號，如語音信號。 多維信號：多維信號： 由多個自變量描述的信號，如圖像信號。由多個自變量描述的信號，如圖像信號。 本課程只研究一維信號，且自變量多為時間。本課程只研究一維信號，且自變量多為時間。 三、典型的連續(xù)時間信號三、典型的連續(xù)時間信號 1 (1)f(t),K at a e 實指數信號： （對時間的微、積分仍是指數） 0a信號將隨時間而增長信號將隨時間而增長 0

11、a信號將隨時間而衰減；信號將隨時間而衰減； 0a信號不隨時間而變化，為直流信信號不隨時間而變化，為直流信 號號 :指數信號的時間常數，指數信號的時間常數， 越大，指數信號增長或衰減的速率越大，指數信號增長或衰減的速率 越慢。越慢。 （對時間的微、積分仍是指數對時間的微、積分仍是指數） （對時間的微、積分仍是同頻率余弦）（對時間的微、積分仍是同頻率余弦） （2 2）正弦信號：）正弦信號： (3)f(t), cos()sin() K s tt t Ktj j K s t e ee 復指數信號： （實際不存在，但可描述各種基本信號） (3)(3)復指數信號復指數信號 Sa(t sin (4) t t

12、 抽樣信號： Sa(t)具有以下性質：具有以下性質： (4)(4)抽樣信號抽樣信號 （5 5）鐘形脈沖函數）鐘形脈沖函數( (高斯函數高斯函數) ) 在隨機信號分析中占有重要地位。在隨機信號分析中占有重要地位。 1.3 1.3 信號的基本運算信號的基本運算 移位運算移位運算 尺度變換尺度變換 )( 1 tf 1 01t )( 2 tf 1 01t )()( 21 tftf 1 01t 2 )()( 21 tftf 1 01t 一、信號的、一、信號的、運算運算 兩信號兩信號f f1 1( ( ) ) 和和f f2 2 ( ( ) )的相的相 、指同一時指同一時 刻兩信號之值對應相加減乘。如刻兩信

13、號之值對應相加減乘。如 )(tf 1 01t ) 1( tf 1 01t ) 1( tf 1 01t2 二、信號的時間變換運算二、信號的時間變換運算 1. 移位 將f (t) f (t + t0) ， x (n) x (n + n0)稱為對 信號f ()的平移或移位。若t0 (或n0)1 ，則波形沿橫坐標壓縮；若0 a 1a 1 則 f (at)將 f (t)的波形沿時間軸壓縮 至原來的1/a 壓縮壓縮 )(tf 1 01t2 )2( tf 1 01t25.0 （2 2）00a 1a 1 則則 f f (at)(at)將將 f f (t)(t)的波形沿時間軸擴的波形沿時間軸擴 展至原來的展至原

14、來的1/1/a a。 擴展擴展 )(tf 1 01t2 )( 2 1 tf 1 04t2 對于離散信號，由于x (a n) 僅在為a n 為 整數時才有意義， 進行尺度變換時可能會使部 分信號丟失。因此一般不作波形的尺度變換。 例例1.3.1 1.3.1 （1 1）已知信號）已知信號f(t)f(t)的波形如圖所示，試畫出的波形如圖所示，試畫出f(-2t-4)f(-2t-4) 的波形的波形 解：解：移位、反褶、尺度變換相結合，三種運算的次序可任意。但 一定要注意始終對時間t 進行。 移位 尺度變換尺度變換 反褶反褶 法二：也可以先尺度變換、再移位、最后反褶 尺度變換尺度變換 反褶反褶 （2 2）

15、若已知若已知f (f ( 4 4 2t) 2t) ，畫出，畫出f (t) f (t) 。 解：解： 反褶反褶 三、信號的微分和積分三、信號的微分和積分 1 1、微分：、微分：信號信號f(t)f(t)的微分運算指的微分運算指f(t)f(t)對對t t取導數，即取導數，即 2 2、積分：、積分：信號信號f(t)f(t)的積分運算指的積分運算指f(t)f(t)在（在（- -，t t）區(qū)間）區(qū)間 內的定積分，表達式為：內的定積分，表達式為： df t )( )()( tf dt d tf 結論：結論： （1 1）信號經過微分運算后突出顯示了它的變化部分，）信號經過微分運算后突出顯示了它的變化部分， 起

16、到了起到了銳化銳化的作用；的作用； （2 2）信號經過積分運算后，使得信號突出變化部分變）信號經過積分運算后，使得信號突出變化部分變 得平滑了，起到了得平滑了，起到了模糊模糊的作用；利用積分可以削弱信的作用；利用積分可以削弱信 號中噪聲的影響。號中噪聲的影響。 )(tf 1 01t )(t f 0 1 t ) 1 ( ) 1 ( )( )1( tf 1 01t 1.4 1.4 階躍信號和沖激信號階躍信號和沖激信號 一、單位階躍函數 t 0 1 u(t) 定義式：定義式：u(t)= 0 u(t)= 0 ， （t0t0t0） 1、定義（采用求函數序列極限的方法定義階躍函數（采用求函數序列極限的方法

17、定義階躍函數 ） 2 )(t t 2 0 1 )(lim)( 0 ttu 00t 01t 2 2、階躍函數的性質：、階躍函數的性質： （1 1）可以方便地表示某些信號）可以方便地表示某些信號 eg: f(t) = 2u(t)- 3u(t-1) +u(t-2)eg: f(t) = 2u(t)- 3u(t-1) +u(t-2) （2 2）用階躍函數表示信號的作用區(qū)間）用階躍函數表示信號的作用區(qū)間 （3 3）積分）積分 )()(ttudu t 三、單位沖激函數三、單位沖激函數 單位沖激函數是個奇異函數，它是對強度極大，單位沖激函數是個奇異函數，它是對強度極大， 作用時間極短一種物理量的理想化模型。作

18、用時間極短一種物理量的理想化模型。 1 1、定義（、定義（狄拉克狄拉克(Dirac)(Dirac)函數）：函數）： 2 )(tp t 2 0 1 )(t )(t t 0 ) 1 ( )(lim)( 0 tpt 00t 0t 00)(tt 11)(面積為 dtt 沖激函數與階躍函數關系沖激函數與階躍函數關系: : dt tdu t )( )( t dtu)()( 三角形脈沖、雙邊指數脈沖、鐘形脈沖、抽樣三角形脈沖、雙邊指數脈沖、鐘形脈沖、抽樣 函數取函數取 0極限，都可以認為是沖激函數。極限，都可以認為是沖激函數。 l加權特性加權特性 )()()()( );()0()()( 000 tttftt

19、tf tfttf )0()()(fdtttf l抽樣特性抽樣特性 )()()( 00 tfdttttf 3 3、性質：、性質： )()(tt l單位沖激函數為偶函數單位沖激函數為偶函數 2 2、(t) (t) 的尺度變換的尺度變換 )( 1 )(t a at )( 1 )( 0 0 a t t a tat 這里這里 a a 和和 t t0 0為常數，且為常數，且a a 0 0。 )0( 1 )()(f a dtattf )( 1 )()( 0 0 a t f a dttattf 3 3、 沖激函數的導數沖激函數的導數 (t) (t) （也稱沖激偶）（也稱沖激偶） （1 1）定義：）定義： 沖激

20、函數的微分將呈現正、負極性的一對沖激，沖激函數的微分將呈現正、負極性的一對沖激， 稱為沖激偶。稱為沖激偶。 dt td t )( )( t )(t )1( 0 （2 2）沖激偶的性質）沖激偶的性質 l沖激偶的抽樣特性沖激偶的抽樣特性: : l沖激偶的加權特性沖激偶的加權特性: : l沖激偶沖激偶 ( (t)t)是是 t t 的奇函的奇函 數數: : )0()()(fdtttf )()()( 00 tfdttttf )()0()()0()()(tftfttf )()()()()()( 00000 tttftttftttf )()(tt l沖激偶所包含的面積等于沖激偶所包含的面積等于0 0 ： 0

21、)( dtt 1.5 信號的分解 信號從不同角度分解：信號從不同角度分解： 直流分量與交流分量 偶分量與奇分量 脈沖分量 實部分量與虛部分量 正交函數分量 利用分形理論描述信號 a圖圖是一個郁悶的正 弦波 cos（x）； b圖圖是 2 個賣萌的正 弦波的疊加 cos (x) +a.cos (3x)； c圖圖是 4 個糾結的正弦 波的疊加； d圖圖是 10 個生氣的正 弦波的疊加。 1 1、直流分量與交流分量、直流分量與交流分量 其中其中f fD D為直流分量即信號的平均值；為直流分量即信號的平均值； f fA A(t)(t)為交流分量為交流分量, , 直流分量直流分量f fD D與交流分量與交

22、流分量f fA A(t):(t):)()(tfftf AD 1 ( )() 2 1 ( ) f () 2 fo e f tft f tft 其中 為偶分量 為奇分量 2 2、偶分量與奇分量、偶分量與奇分量 )()( )()( tftf tft：f oo ee 即 分解為)(tf)(tfe)(tfo （1 1）矩形窄脈沖序列矩形窄脈沖序列 f( ) 組合極限 其中為窄脈沖分量沖激信號的疊加 3 3、脈沖分量、脈沖分量 將信號分解為沖激信號疊加的方法應用很廣，將信號分解為沖激信號疊加的方法應用很廣， 后面的卷積積分中將用到，可利用卷積積分求系統(tǒng)后面的卷積積分中將用到，可利用卷積積分求系統(tǒng) 的零狀態(tài)

23、響應。的零狀態(tài)響應。 4.4.實部分量與虛部分量實部分量與虛部分量 對于瞬時值為復數的信號對于瞬時值為復數的信號f(t)f(t)可分解為實、虛部可分解為實、虛部 兩個部分之和。兩個部分之和。 分解為 )(tf)(tf r )(tjfi 其實部為：其實部為：)()( 2 1 )( * tftftf r 其復數信號的模為：其復數信號的模為：)()()()()( 22* 2 tftftftftf ir j 其虛部為：其虛部為： )()( 2 1 )( * tftftfi 實際中產生的信號為實信號，可以借助于復信實際中產生的信號為實信號，可以借助于復信 號來研究實信號。號來研究實信號。 分解 其中正交

24、函數集各分量相互正交 如矩形脈沖各次諧波的正弦與余弦表示 5 5、正交函數分量、正交函數分量 用正交函數集來表示一個信號，組成信號的各用正交函數集來表示一個信號，組成信號的各 分量就是相互正交的。分量就是相互正交的。 )()(tftf 分解為 即：正交函數分量：即：正交函數分量：由正交函數集表示由正交函數集表示 1.6 1.6 系統(tǒng)模型及分類系統(tǒng)模型及分類 一、系統(tǒng)的定義 若干相互作用、相互聯系的事物按一定規(guī)律組成具有特定功 能的整體稱為系統(tǒng)。 二、系統(tǒng)的分類及性質 1. 連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng) 輸入和輸出均為連續(xù)時間信號的系統(tǒng)稱為連續(xù)時間系統(tǒng)。 輸入和輸出均為離散時間信號的系統(tǒng)稱為離散時間系統(tǒng)。

25、 連續(xù)時間系統(tǒng)的數學模型是用微分方程來描述，而離散時間 系統(tǒng)的數學模型是用差分方程來描述。 2. 動態(tài)系統(tǒng)與即時系統(tǒng) 若系統(tǒng)在任一時刻的響應不僅與該時刻的激勵有關，而且 與它過去的歷史狀況有關，則稱為動態(tài)系統(tǒng)或記憶系統(tǒng)。 含有記憶元件(電容、電感等)的系統(tǒng)是動態(tài)系統(tǒng)。否則稱 即時系統(tǒng)或無記憶系統(tǒng)。 3. 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) 能同時滿足齊次性與疊加性的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。滿足疊加 性是線性系統(tǒng)的必要條件。 不能同時滿足齊次性與疊加性的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。 4. 4. 時不變系統(tǒng)與時變系統(tǒng)時不變系統(tǒng)與時變系統(tǒng) 滿足時不變性質的系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng)。滿足時不變性質的系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng)。 時不變性質時不

26、變性質: : 若系統(tǒng)滿足輸入延遲多少時間，其激勵引起的響應也若系統(tǒng)滿足輸入延遲多少時間，其激勵引起的響應也 延遲多少時間，延遲多少時間， 即若即若Te(t) = r(t)Te(t) = r(t)， Te(t - tTe(t - td d) = ) = r(t - tr(t - td d) ) 。 5 5、 因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng) 激勵引起的響應不會出現在激勵之前的系統(tǒng)，稱為因果系統(tǒng)激勵引起的響應不會出現在激勵之前的系統(tǒng)，稱為因果系統(tǒng) 即對因果系統(tǒng)，當即對因果系統(tǒng)，當t tt t0 0 ，e(t) = 0e(t) = 0時，有時，有t tt t0 0 ，r(t) = r(t)

27、= 0 0。 如：下列系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)：如：下列系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)：r(t) = 3e(t 1) 而下列系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)：而下列系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)： (1) (1) r(tr(t) = 2e(t + 1) = 2e(t + 1)， 因為，令因為，令t=1t=1時，有時，有r(1) = 2e(2)r(1) = 2e(2) (2) r(t) = e(2t) (2) r(t) = e(2t)，因為，若，因為，若e(t) = 0e(t) = 0， t tt t0 0 ，有，有r(t) r(t) = e(2t)=0, t 0.5 t= e(2t)=0, t 0.5 t0 0 。 也就是說，如果響應也就是說，

28、如果響應r r( (t t) )并不依賴于將來的激勵并不依賴于將來的激勵 如如 e(t+1)e(t+1)，那么系統(tǒng)就是因果的。，那么系統(tǒng)就是因果的。 6. 6. 穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng) 一個系統(tǒng)，若對有界的激勵一個系統(tǒng)，若對有界的激勵e(t)e(t)所產生的響應所產生的響應 r(t)r(t)也是有界時，則稱該系統(tǒng)為也是有界時，則稱該系統(tǒng)為有界輸入有界輸出有界輸入有界輸出 穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定。 即若即若e(t)e(t)，其，其r(t) r(t)0；當x(0-) =2，輸入信號e2(t)=3e1(t)時，全 響應r2(t) = 2 +3 cos(t)，t0；求輸入e3(

29、t) = +2e1(t-1)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。 解：設當x(0) =1，輸入因果信號e1(t)時，系統(tǒng)的零輸入響應 和零狀態(tài)響應分別為r1zi1zi(t)、r1zs1zs(t) 。 當x(0-) =2，輸入信號e2(t)=3e1(t)時，系統(tǒng)的零輸入響 應和零狀態(tài)響應分別為r2zi2zi(t)、r2zs2zs(t) 。 t e t e r1(t) = r1zi(t)+ r1zs(t) = = + cos(t)，t0 （1） r2(t)= r2zi(t)+ r1zs(t) = 2 +3 cos(t)，t0 （2） 根據線性系統(tǒng)的齊次性 r2zi(t)=2 r1zs(t) ，r2zs(t)=3

30、 r1zs(t) t e t e 代入式（2）得 r2(t)=2r2zi(t)+3 r1zs(t) = 2 +3 cos(t)，t0 （3） 式(3) 2式(1)，得 r1zs(t) = 4 + cos(t)，t0 由于r1zs(t)是因果系統(tǒng)對因果輸入信號e1(t)的零狀態(tài)響應，故當 t0， r1zs(t)= 0； 因此r1zs(t)可改寫成 r1zs(t) = 4 + cos(t)u(t) (4) t e t e t e 根據LTI系統(tǒng)的微分特性 = 3(t) + 4 sin(t)u(t) 根據LTI系統(tǒng)的時不變特性 e1(t1) r1zs(t 1) = 4 + cos(t1)u(t1) 由線性性質，得：當輸入e3(t) = +2e1(t1)時， r3zs(t) = + 2r1zs(t1) = 3(t) + 4 sin(t)u(t)+ 24 + cos(t1)u(t1) dt tde )( 1 dt tdrzs)( 1 dt tde )( 1 ）（1t e t e dt tdr zs )( 1t e ）（1t e 1.7 LTI1.7 LTI系統(tǒng)分析概述系統(tǒng)分析概述 系統(tǒng)分析研究的主要問題：系統(tǒng)分析研究的主要問題