關于函數極限教學的改革與實踐

1、 關于函數極限教學的改革與實踐 1.函數極限教學的難點所在函數極限是討論函數y=f（x）在自變量x為如下的六種變化趨勢下，函數因變量y隨著自變量x的變化而變化的規(guī)律性.函數自變量x的六種變化趨勢是：1）xx；2）xx；3）xx；4）x；5）x+；6）x-。當x是上面六種變化情況的某一種時，若函數的因變量y越來越接近于某一常量a，則我們稱當x趨向于某個東西時，f（x）以a為極限.但這是只是描述性定義，而非精確定義.此外，我們還需要考慮x趨向于某個數值時，f（x）以，或+或-為函數極限的定義，因此，講函數極限時，將有二十四個函數極限的定義，討論函數極限的概念后，我們還要講函數極限的相關性質，主要有

2、：（1）極限的唯一性；（2）有界性；（3）保號性.關于這個方面有不少的定理.然而事實上，沒有一本教材能全部介紹相關定義并證明相關性質.而學生面對這么多的定義及相關性質證明也往往是一頭霧水，所有這些，正是函數極限教學的難點所在，也是多年來高等數學教學中沒有解決的一個重要問題.2.函數極限教學的探索與實踐2.1定義的改進用“xw”表示x趨向于xx；xx；xx；x；x+；x-六種情形中的任意一種，簡稱當x趨向于某個東西，則函數極限的表達式可改為：f（x）=a，這里的a可取，或+或-，從而將二十四個極限情形統(tǒng)一到一個表達式中。當然a為有限值時，稱極限存在；a為無窮時，稱極限不存在.2.2函數極限定義的

3、探索2.2.1當a為有限值，即極限存在時，函數極限的定義探索.對極限f（x）=a，我們定義為：?坌0，?堝“w”的某個范圍，只要x屬于“w”的這個范圍，就有|f（x）-a|成立，即f（x）u（a，），則稱xw時，f（x）以常數a為極限，記為f（x）=a.例1.f（x）=a可定義為：?坌0，?堝u（x，）（0），當xu（x，）時，就有f（x）u（a，），則稱f（x）=a.例2.f（x）=a可定義為：?坌0，?堝（x，x+）（0），當x（x，x+）時，就有f（x）u（a，），則稱f（x）=a.例3.f（x）=a可定義為：?坌0，?堝某個范圍（m，+）（m0），當x（m，+）時，就有f（x）u（a，

4、），則稱f（x）=a.總之，可將所有有限極限的情況歸于一個模式列出，讓學生對照比較，找出其共性，從而加深對概念的認識和理解.2.2.2xw時，f（x）以無窮為極限定義的探索.有了前面的討論，我們可給出f（x）=或f（x）=+或f（x）=-的定義：?坌m0，?堝“w”的某個范圍，當x屬于“w”的這某個范圍時，f（x）屬于關于m的某個范圍，則稱xw時，f（x）以無窮為極限.例4.f（x）=可定義為：?坌m0，?堝u（x，）（0），當xu（x，）時，有f（x）（-，-m）u（m，+），即|f（x）|m.例5.f（x）=+可定義為：?坌m0，?堝m0，當x（-，-m）時，有f（x）（m，+），即f（x

5、）m.我們也可將十八個定義列出讓學生比較，并引導學生思考，從而掌握上述十八種定義的精髓.3.關于極限性質的教學改革探索有了上述改進，關于極限性質，我們也可以根據不同情況將某一性質放在同一地方來講.例如講極限唯一性，證明當f（x）為有限極限時，則極限是唯一的，可分別將：f（x）=a及f（x）=a極限的唯一性放到一塊證明；f（x）=a及f（x）=a極限的唯一性也放在一塊證明.通過其證明過程，學生會發(fā)現(xiàn)證明的過程只是稍微改變就可以了.在極限性質的教學過程中都可以做類似的處理，通過分析和引導，讓學生發(fā)現(xiàn)函數極限真正的內涵和本質.例如在局部保號性情況方面：對f（x）=a，若a0與f（x）=a，a0兩種情形中：第一個說明在x的某個領域內，即xu（x，）時，有f（x）0；第二個說明在x足夠大時，即x（m，+）（m0）時，有f（x）0.通過這種比較，學生會對極限的性質有一個本質的認識，即若a0，只要x屬于一定的范圍，則這個范圍內的函數值都大于零.4.結語高等數學的教學改革是當前必須面對的一個重大課題，在中學數學課程改革的背景