數列在日常經濟生活中的應用(2)ppt課件

1、4 數列在日常經濟生活中的運用 1.1.了解銀行存款的種類及存款計息方式；了解銀行存款的種類及存款計息方式； 2.2.領會領會“零存整取、零存整取、“定期自動轉存等日常經濟定期自動轉存等日常經濟 生活中的實踐問題；生活中的實踐問題； 3.3.了解了解“教育儲蓄教育儲蓄. . 等差數列、等比數列是日常經濟生活中的重要數學模等差數列、等比數列是日常經濟生活中的重要數學模 型型. .例如存款、貸款、購物房、車分期付款、保險、資例如存款、貸款、購物房、車分期付款、保險、資 產折舊等問題都與其相關產折舊等問題都與其相關. . 以銀行存款為例，它是老百姓日常生活中最根本的經以銀行存款為例，它是老百姓日常生

2、活中最根本的經 濟活動濟活動. .銀行存款計息方式有兩種：單利和復利，它們分別銀行存款計息方式有兩種：單利和復利，它們分別 以等差數列和等比數列為數學模型以等差數列和等比數列為數學模型. .下面分別舉例闡明下面分別舉例闡明. . 例例1.1.一個熱氣球在第一分上升了一個熱氣球在第一分上升了25m25m的高度，在以后的的高度，在以后的 每一分里，它上升的高度都是它在前一分上升高度的每一分里，它上升的高度都是它在前一分上升高度的 80%.80%.這個熱氣球上升的高度能超越這個熱氣球上升的高度能超越125m125m嗎？嗎？ 等比數列的實踐運用等比數列的實踐運用 4 25 1 ( ) 4 5 125

3、1 ( ) 125. 4 5 1 5 n n 答：這個熱氣球上升的高度不能夠超越答：這個熱氣球上升的高度不能夠超越125m.125m. 單利單利 單利的計算是僅在原有本金上計算利息單利的計算是僅在原有本金上計算利息, ,對本金對本金 所產生的利息不再計算利息所產生的利息不再計算利息. .其公式為其公式為 利息利息= =本金利率存期本金利率存期 以符號以符號P P代表本金代表本金,n,n代表存期代表存期,r,r代表利率代表利率,S,S代表代表 本金與利息和本金與利息和( (以下簡稱本利和以下簡稱本利和),),那么有那么有 S=P(1+nr). S=P(1+nr). 復利復利 把上期末的本利和作為

4、下一期的本金把上期末的本利和作為下一期的本金, ,在計算時每在計算時每 一期本金的數額是不同的一期本金的數額是不同的. .復利的計算公式是復利的計算公式是 S=P(1+r)n . S=P(1+r)n . 例例2.2.零存整取模型零存整取模型 銀行有一種叫作零存整取的儲蓄業(yè)務銀行有一種叫作零存整取的儲蓄業(yè)務, , 即每月定時存入一筆一樣數目的現金即每月定時存入一筆一樣數目的現金, ,這是零存這是零存; ;到商定日到商定日 期期, ,可以取出全部本利和可以取出全部本利和, ,這是整取這是整取. .規(guī)定每次存入的錢不規(guī)定每次存入的錢不 計復利計復利( (暫不思索利息稅暫不思索利息稅).). (1)(

5、1)假設每月存入金額為假設每月存入金額為x x元元, ,月利率月利率r r堅持不變堅持不變, ,存期為存期為n n個月個月, ,試試 推導出到期整取時本利和的公式；推導出到期整取時本利和的公式； (2)(2)假設每月初存入假設每月初存入500500元元, ,月利率為月利率為0.3%,0.3%,到第到第3636個月末整取時個月末整取時 的本利和是多少的本利和是多少? ? (3)(3)假設每月初存入一定金額假設每月初存入一定金額, ,月利率是月利率是0.3%,0.3%,希望到第希望到第1212個月個月 末整取時獲得本利和末整取時獲得本利和2 0002 000元元. .那么每月初應存入的金額是多那么

6、每月初應存入的金額是多 少少? ? 分析：零存整取儲蓄業(yè)務規(guī)定每次存入的錢不計復利，即分析：零存整取儲蓄業(yè)務規(guī)定每次存入的錢不計復利，即 按單利計息：利息按單利計息：利息= =本金利率存期本金利率存期 解：解：1 1根據題意根據題意, ,第第1 1個月存入的個月存入的x x元元, ,到期利息為到期利息為x xr rn n 元元; ; 第第2 2個月存入的個月存入的x x元元, ,到期利息為到期利息為x xr rn-1n-1元元 第第n n個月存入的個月存入的x x元元, ,到期利息為到期利息為xrxr元元. . (1) (12)(, 2 n nr xrnx 元) (1) ( 2 , n nr

7、ynxx 元) 不難看出不難看出, ,這是一個等差數列求和的問題這是一個等差數列求和的問題. .各月利息之和為各月利息之和為 而本金為而本金為nxnx元元, ,這樣就得到本利和公式這樣就得到本利和公式 (1) (); 2 n nr yx n + 即元)(nN 2 2每月存入每月存入500500元元, ,月利率為月利率為0.30.3, ,根據式根據式, ,本利和為本利和為 36 37 ;500 (360.3%)18999() 2 y元 3 3依題意依題意, ,在式中在式中,y=2 000,y=2 000，r=0.3%,n=12,r=0.3%,n=12, 答：每月應存入答：每月應存入163.481

8、63.48元元. . 2 000 (1) 126 13 0.3% 2 163.48() y x n n nr 元 ， 例例2.2.定期自動轉存模型定期自動轉存模型 銀行有另一種儲蓄業(yè)務為定期存銀行有另一種儲蓄業(yè)務為定期存 款自動轉存款自動轉存. .例如例如, ,儲戶某日存入一筆儲戶某日存入一筆1 1年期定期存款年期定期存款,1,1年后年后, , 假設儲戶不取出本利和假設儲戶不取出本利和. .那么銀行自動辦理轉存業(yè)務那么銀行自動辦理轉存業(yè)務, ,第第2 2年年 的本金就是第的本金就是第1 1年的本利和年的本利和. .按照定期存款自動轉存的儲蓄按照定期存款自動轉存的儲蓄 業(yè)務業(yè)務( (暫不思索利息

9、稅暫不思索利息稅),),我們來討論以下問題我們來討論以下問題: : (1)(1)假設儲戶存入定期為假設儲戶存入定期為1 1年的年的P P元存款元存款, ,定期年利率為定期年利率為r,r, 連存連存n n年后年后, ,再取出本利和再取出本利和. .試求出儲戶試求出儲戶n n年后所得本利和年后所得本利和 的公式的公式; ; (2)(2)假設存入假設存入1 1萬元定期存款萬元定期存款, ,存期為存期為1 1年年, ,年利率為年利率為2.79%,2.79%, 那么那么5 5年后共得本利和多少萬元年后共得本利和多少萬元( (準確到準確到0.001)?0.001)? 解：解：1 1記記n n年后得到的本利

10、和為年后得到的本利和為an,an,根據題意，第根據題意，第1 1年年 存入的本金存入的本金P P元，元，1 1年后到期利息為年后到期利息為Pr,1Pr,1年后本利和為年后本利和為 a1=P+Pr=P(1+r)(a1=P+Pr=P(1+r)(元元);); 2 2年后到期利息為年后到期利息為P(1+r)rP(1+r)r元，元，2 2年后本利和為年后本利和為 a2=P(1+r)+P(1+r)r=P(1+r)2(a2=P(1+r)+P(1+r)r=P(1+r)2(元元); ); 各年的本利和是一個以各年的本利和是一個以a1=P(1+r)a1=P(1+r)為首項，公比為首項，公比q=1+rq=1+r的等

11、的等 比比 數列數列an,an,故故n n年后到期的本利和年后到期的本利和 an=a1qn-1an=a1qn-1 =P(1+r)(1+r)n-1=P(1+r)(1+r)n-1 =P(1+r)n(=P(1+r)n(元元) )復利公式復利公式. . (2)(2)根據上式，根據上式，5 5年后本利和為年后本利和為 a5=1a5=1(1+0.027 9)51.148(1+0.027 9)51.148(萬元萬元).). 答：答：5 5年后得本利和約為年后得本利和約為1.1481.148萬元萬元. . 分期付款的有關規(guī)定：分期付款的有關規(guī)定： 1.1.分期付款分假設干次付款分期付款分假設干次付款, ,每次

12、付款額一樣每次付款額一樣, ,各次付款的各次付款的 時間間隔一樣時間間隔一樣. . 2.2.分期付款中雙方的每月分期付款中雙方的每月( (年年) )利息均按復利計算利息均按復利計算, ,即上月即上月 ( (年年) )的利息要計入本金的利息要計入本金. . 3.3.各期所付的款額連同到最后一次付款時所產生的利息和各期所付的款額連同到最后一次付款時所產生的利息和, , 等于商品售價及從購買到最后一次付款的利息和等于商品售價及從購買到最后一次付款的利息和, ,這在市這在市 場經濟中是相對公平的場經濟中是相對公平的. . 例例3.3.分期付款模型分期付款模型 小華預備購買一臺售價為小華預備購買一臺售價

13、為5 0005 000元的元的 電腦電腦, ,采用分期付款方式采用分期付款方式, ,并在一年內將款全部付清并在一年內將款全部付清. .商場商場 提出的付款方式為提出的付款方式為: :購買后購買后2 2個月第個月第1 1次付款次付款, ,再過再過2 2個月第個月第2 2 次付款次付款購買后購買后1212個月第個月第6 6次付款次付款, ,每次付款金額一樣每次付款金額一樣, , 商定月利率為商定月利率為0.8%,0.8%,每月利息按復利計算每月利息按復利計算. .求小華每期付的求小華每期付的 金額是多少金額是多少? ? 分析分析1:1:思索小華每次還款后思索小華每次還款后, ,還欠商場的金額還欠商

14、場的金額. . 解：設小華每期還款解：設小華每期還款x x元元, ,第第k k個月末還款后的本利欠款個月末還款后的本利欠款 數為數為AkAk元元, ,那么那么 2 2 5 0001 0.008;Ax 2 42 4 2 1 0.008 5 0001 0.0081.008; AAx xx 2 64 6 42 1 0.008 5 0001 0.0081.0081.008; AAx xxx 2 1210 12 108 642 10.008 5 00010.0081.0081.008 1.0081.0081.008; AAx xx xxxx 由題意年底還清由題意年底還清, ,所以所以 12 0.A 解得

15、解得: : 12 2410 5 000 1.008 1 1.0081.0081.008 880.8() x 元 答答: :小華每期付款的金額為小華每期付款的金額為880.8880.8元元. . 分析分析2:2:小華在小華在1212月中共付款月中共付款6 6次次, ,它們在它們在1212個月后的本個月后的本 利和的累加與一年后付款總額相等利和的累加與一年后付款總額相等. . 解解: :設小華每期還款設小華每期還款 元元, ,那么那么 x 購買購買2 2個月后第個月后第1 1次付款次付款 元元, ,此此 元到元到1010個月后個月后 本利和為本利和為 元元. . 10 10.008x x x 購買

16、購買4 4個月后第個月后第2 2次付款次付款 元元, ,此此 元到元到8 8個月后個月后 本利和為本利和為 元元. . 8 1 0.008x xx 購買購買1212個月后第個月后第6 6次付款次付款 元元, ,此此 元當月的元當月的 本利和為本利和為 元元. . 0 10.008x xx 又小華一年后應還給商場的總金額增值為又小華一年后應還給商場的總金額增值為: : 12 5 0001 0.008元 241012 1 1.0081.0081.0085 000 1.008x 12 2410 5 0001.008 1 1.0081.0081.008 880.8() x 元 答：小華每期付款的金額為

17、答：小華每期付款的金額為880.8880.8元元. . “教育儲蓄教育儲蓄, ,是一種零存整取的定期儲蓄存款方式是一種零存整取的定期儲蓄存款方式, ,是國家是國家 為了鼓勵城鄉(xiāng)居民以儲蓄存款方式為了鼓勵城鄉(xiāng)居民以儲蓄存款方式, ,為子女接受非義務教育為子女接受非義務教育 積存資金積存資金, ,從而促進教育事業(yè)開展而興辦的從而促進教育事業(yè)開展而興辦的. .某同窗依教育儲某同窗依教育儲 蓄方式從蓄方式從20042004年年1111月月1 1日開場日開場, ,每月按時存入每月按時存入250250元元, ,延續(xù)存延續(xù)存6 6 年年, ,月利率為月利率為0.30.3. .到期一次可支取本利共多少元到期一次可支取本利共多少元? ? 解：由例解：由例3 3到期一次可支取本利和公式可知到期一次可支取本利和公式可知 答：到期一次可支取本利和共為答：到期一次可支取本利和共為20 118.620