第四章 頻域濾波

1、第四章 頻域圖像增強 2 4.1 背景 法國數(shù)學(xué)家Jean Baptiste Joseph Fourier 在1807年和1822年提出傅立葉變換 60年代出現(xiàn)快速傅立葉變換 傅立葉變換域也稱為頻域 3 4.2 傅立葉變換 傅立葉積分 調(diào)諧信號：調(diào)諧信號： )sin()cos(tjte tj 其中其中j2=-1 傅立葉積分：傅立葉積分： dtethfH ftj 2 )()( 其中其中t代表時間，代表時間，f代表頻率代表頻率 4 傅立葉變換的定義(一維) f(x)為連續(xù)可積函數(shù)，其傅立葉變換定義為： dxexfuF uxj2 )()( 其反變換為： dueuFxf uxj2 )()( F(u)=

2、R(u)+jI(u) 幅度譜： 相位譜： )(/ )(arctan)( )()()( 2 1 22 uRuIu uIuRuF 能量譜（譜密度） 2 )()(uFuP 5 變換分析的直觀說明 505 1 1 f t ( ) t 505 0.5 0.5 g t ( ) t 42024 2 1 1 2 1.299 1.299 h t ( ) 55t 把一個信號的波形分解為許多把一個信號的波形分解為許多 不同頻率正弦波之和。不同頻率正弦波之和。 6 一維傅立葉變換舉例 方波信號： 經(jīng)過傅立葉變 換后： 7 一維離散傅立葉變換(DFT) 1, 1 , 0)( 1 )( 1 0 2 Muexf M uF

3、M x M ux j 1, 1 , 0)()( 1 0 2 MxeuFxf M u M ux j 一維離散傅立葉變換公式為： 逆變換為： 8 二維傅立葉變換 二維傅立葉變換由一維傅立葉變換推廣而來： yxvyuxjyxfvuFdd)(2exp),(),( 逆變換： vuvyuxjyxFyxfdd)(2exp),(),( 幅度譜： 相位譜： ),( ),( arctan),( ),(),(),( 2 1 22 vuR vuI vu vuIvuRvuF F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v) 9 二維傅立葉變換舉例 對于二維方波信號 傅立葉變換為： 幅度： 10 二維離散傅立葉變換 對于二維傅

4、立葉變換，其離散形式為： 1 0 1 0 2 ),( 1 ),( M x N y N vy M ux j eyxf MN vuF 逆變換為： 1 0 1 0 2 ),(),( M u N v N vy M ux j evuFyxf 幅譜(頻譜)、相譜： ),( ),( arctan),( ),(),(),( ),(),(),(),( 2 1 22 ),( vuR vuI vu vuIvuRvuF vujIvuRevuFvuF vuj 11 12 13 二維離散傅立葉變換的性質(zhì) 1. 線性性質(zhì)： ),(),(),(),( 22112211 vuFavuFayxfayxfa 2. 比例性質(zhì)： b

5、v a u F ab byaxf, 1 ),( 3. 可分離性： ),(),(),( ),(),(),( 1111 vuFFFvuFFFyxf yxfFFyxfFFvuF uvvu xyyx 14 15 4. 空間位移： Nvyuxj evuFyyxxf / )(2 00 00 ),(),( 5. 頻率位移： ),(),( 00 / )(2 00 vvuuFeyxf Nyvxuj ) 2 , 2 () 1)(,( N v N uFyxf yx 圖像中心化： 當(dāng)u0=v0=N/2時， 16 6. 周期性： F(u,v)=F(u+aN,v+bN), f(x,y)=f(x+aN,y+bN) 7. 共

6、軛對稱性： ),(),( * vuFyxf 8. 旋轉(zhuǎn)不變性： ),(),( 00 Frf 9. 平均值： 1 0 1 0 2 ),(),( 1 )0 , 0( N x N y yxfyxf N F 如果f(x,y)為實數(shù) ),(),( * vuFvuF ),(),(vuFvuF 說明圖像的譜是 對稱的 17 10. 卷積定理： f(x,y)*h(x,y) F(u,v)H(u,v) f(x,y)h(x,y) F(u,v)*H(u,v) 11. 相關(guān)定理： 互相關(guān)：f(x,y)Og(x,y) F *(u,v)G (u,v) f *(x,y)g (x,y) F(u,v) OG(u,v) 自相關(guān)：f

7、(x,y)Of(x,y) |F(u,v)|2 |f(x,y)|2 F(u,v) OF(u,v) 1 0 1 0 ),(),( 1 ),(),( M m N n nymxhnmf MN yxhyxf 20 12. 帕塞瓦定理（能量定理）： 1 0 1 0 1 0 1 0 * 21 * 21 ),(),(),(),( N x N y N u N v vuFvuFyxfyxf 若f1(x,y)=f2(x,y)=f(x,y)，則有： 1 0 1 0 1 0 1 0 22 ),(),( N x N y N u N v vuFyxf 信號在空域的總能量等于其頻域的總能量。 21 頻率位移性質(zhì) 當(dāng)圖像在頻率

8、域移動時需要用到頻率位移性 質(zhì)： ),(),( 00 / )(2 00 vvuuFeyxf Nyvxuj 圖像中心化 把圖像進(jìn)行傅立葉變換后，往往要把中心移 到u0=v0=N/2的位置上 ) 2 , 2 () 1)(,( ) 1( )(/ )(2 00 N v N uFyxf ee yx yxyxjNyvxuj 22 周期性和共軛對稱性 周期性不難證明。共軛對稱性： 1 0 1 0 2 ),( 1 ),( M x N y N vy M ux j eyxf MN vuF f *(x,y)的傅立葉變換： ),( ),( 1 ),( 1 * 1 0 1 0 * 2 1 0 1 0 2 * vuF e

9、yxf MN eyxf MN M x N y N vy M ux j M x N y N vy M ux j 23 周期性和共軛對稱性的應(yīng)用 1. 圖形的頻譜分析和顯示 2. 圖像中心化 1 0 2 1 0 2 )()1( 1 )( 1 ) 2 ( N x N ux j x N x xj N ux j exf N eexf N N uF 24 25 26 平均值 平均值定義： 1 0 1 0 2 ),( 1 ),( N x N y yxf N yxf 由傅立葉變換定義： 1 0 1 0 2 ),( 1 )0 , 0( N x N y yxf N F 因此，f(x,y)的平均值與傅立葉變換系數(shù)的

10、關(guān)系為： ),()0 , 0(yxfF 27 卷積 卷積積分：如果函數(shù)卷積積分：如果函數(shù) y(t) 滿足下列關(guān)系式滿足下列關(guān)系式 )()()()()(thtxdthxty 則稱函數(shù)則稱函數(shù) y(t) 為函數(shù)為函數(shù) x(t) 和和 h(t) 的卷積的卷積 卷積積分的圖解表示：卷積積分的圖解表示： x(t) t h(t) t 1/2 11 1 28 卷積積分的圖解表示（續(xù)）：卷積積分的圖解表示（續(xù)）： 位移位移 h(t1- ) 1 1 x( ) x( ) h(- ) 1/2 -1 折迭折迭 h(t- ) 1/2 t 1 1 * 相相 乘乘 2 y(t) 1 t1 t 積分積分 29 卷積積分的步驟

11、：卷積積分的步驟： 1 折迭：把折迭：把 h( ) 相對縱軸作出其鏡像相對縱軸作出其鏡像 2 位移：把位移：把 h(- ) 移動一個移動一個 t 值值 3 相乘：將位移后的函數(shù)相乘：將位移后的函數(shù) h(t- ) 乘以乘以 x( ) 4 積分：積分： h(t- ) 和和 x( ) 乘積曲線下的面積即為乘積曲線下的面積即為 t 時刻的卷積值時刻的卷積值 30 包含脈沖函數(shù)的卷積：即包含脈沖函數(shù)的卷積：即 x(t) 或或 h(t) 中有一個為脈沖函數(shù)，則它中有一個為脈沖函數(shù)，則它 們的卷積是一種最簡單的卷積們的卷積是一種最簡單的卷積 -T0T0 h(t)*x(t) t a x(t) t A -T0T

12、0 h(t) t A 31 卷積定理：如果卷積定理：如果 x(t) 和和 h(t) 的富里葉變換分別為的富里葉變換分別為 X(f) 和和 H(f) ,則則 x(t) * h(t) 的富里葉變換為的富里葉變換為 X(f)H(f)。即即 )()()()(fXfHtxth 卷積定理的簡單推導(dǎo)：卷積定理的簡單推導(dǎo)： dtedthx ftj 2 )()(dtety ftj 2 )(= ddtethx ftj )()( 2 = )()(fXfH = = 令令 =t- ddehex fjfj )()( 22 32 1 0 1 0 ),(),( 1 ),(),( M m N n nymxhnmf MN yxh

13、yxf ),(),(yxyxf MN eyx MN vuF M x N y N vy M ux j 1 ),( 1 ),( 1 0 1 0 2 ),( 1 ),(),( 1 ),(),( 1 0 1 0 yxh MN nymxhnm MN yxhyxf M m N n ),(),(),(),(vuHvuFyxhyxf ),(),(),(),(vuHyxyxhyx ),(),(vuHyxh ),(),(),(),(vuHvuFyxhyxf 22 2 )( u AeuH 2 2 2 2 1 2 2 2 )( u u Be AeuH 222 2 2 )( x Ae xh 22 2 2 22 1 2

14、2 2 2 1 2 2)( x x Be Aexh 35 38 頻域濾波 在傅立葉變換域，變換系數(shù)反映了圖像的某些特征。 頻譜的低頻分量對應(yīng)于圖像的平滑區(qū)域，而外界疊加噪聲、 邊緣對應(yīng)于頻譜中頻率較高的部分等。 39 基本步驟 圖像乘以 yx )1( 計算),( vuF 圖像 乘以濾波器函數(shù) ),( vuF),( vuH 計算),(),(vuHvuF的反變換 得到實數(shù)部分 將結(jié)果乘以 yx )1( ),(),(),(vuHvuFvuG 濾波后圖像 ),( 1 vuG 40 41 基本濾波器及其性質(zhì) 構(gòu)造一個低通濾波器，使低頻分量順利通過而 有效地阻止高頻分量，即可濾除頻域中高頻部 分的噪聲，再

15、經(jīng)逆變換就可以得到平滑圖像。 高通濾波與低通濾波的作用相反，它使高頻分 量順利通過，而使低頻分量受到削弱。 陷波濾波器：使圖像的均值為0。 otherwise1 ) 2/, 2/(),(0 ),( NMvu vuH 43 44 0) 0 , 0(F 45 4.3 頻域平滑濾波器 頻域基本的濾波模型為 H(u,v) : A Filter transfer function. F(u,v) : Fourier transform of the image G(u,v) : Objective image ),(),(),(vuFvuHvuG 46 4.3.1 理想低通濾波器 0 0 ),( 0 )

16、,( 1 ),( DvuDif DvuDif vuH 2/122 )2/()2/(),(NvMuvuD D(u,v) is the distance from point (u,v) to the origin of the frequency rectangle. Image size is M*N. 二維理想低通濾波器的傳遞函數(shù) 47 48 在每個點 (u,v)處的能量 1 0 1 0 ),( M u N v T vuPP uv T PvuP/ ),(100 49 51 ILPF的模糊和振鈴現(xiàn)象可以用卷積定理 來解釋。 ),(),(),(vuFvuHvuG ),(*),(),(yxfyxh

17、yxg in spatial domain in frequency domain 52 53 4.3.2 Butterworth低通濾波器 階數(shù)為n、截止頻率為D0 的Butterworth 低通濾波器(BLPF)被定義為 n DvuD vuH 2 0 / ),(1 1 ),( 54 0 ),(DvuD5 . 0),(vuH 55 57 4.3.3 Gaussian低通濾波器 二維高斯低通濾波器(GLPFs)的傳遞函數(shù)為 令 , 則 22 2/ ),( ),( vuD evuH 0 D 2 0 2 2/ ),( ),( DvuD evuH 58 0 ),(DvuD667. 0),(vuH 6

18、0 61 62 4.3.4 低通濾波器的附加例子 64 高分辨率輻射計圖像 65 4.4 頻域銳化濾波器 圖像的銳化可以通過高通濾波過程實現(xiàn)， 減弱傅立葉變換的低頻成份，而不改變 高頻信息。 是低通濾波的相反過程。 ),(1),(vuHvuH lphp 68 4.4.1 理想高通濾波器 2-D ideal highpass filter (IHPF) is defined as 0 0 ),( 1 ),( 0 ),( DvuDif DvuDif vuH 69 4.4.2 Butterworth高通濾波器 n vuDD vuH 2 0 ),(/1 1 ),( 70 4.4.3 Gaussian高

19、通濾波器 2 0 2 2/ ),( 1),( DvuD evuH 71 4.4.4 頻域的Laplacian變換 )()( )( uFju dx xfd n n n ),()( ),()(),()( ),(),( 22 22 2 2 2 2 vuFvu vuFjvvuFju y yxf x yxf ),()(),( 222 vuFvuyxf )(),( 22 vuvuH )2/()2/(),( 22 NvMuvuH ),()2/()2/(),( 2212 vuFNvMuyxf 73 4.4.4 The Laplacian in the Frequency Domain We form an enhanced image g(x,y) by subtracting the Laplacian from the original image ),(),(),( 2 yxfyxfyxg ),()2/()2/(1),( 221 vuFNvMuyxg 4.4.5 非銳化掩模、高頻增強、高頻強調(diào)濾波 Unsharp masking High-Boost Filtering High-Frequency Emphasis Filtering )