公因數(shù)與公倍數(shù)基本概念及應(yīng)用匯總

1、公因數(shù)與公倍數(shù)基本概念及應(yīng)用匯總1、公因數(shù)：幾個(gè)數(shù)共有的因數(shù)，叫這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)。最大公因數(shù)：公因數(shù)中最大的一個(gè)叫這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。2、公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)共有的倍數(shù)，叫這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。最小公倍數(shù)：公倍數(shù)中最小的一個(gè)叫這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。3、三種關(guān)系的數(shù)如何求最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)：當(dāng)兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)時(shí)，它們的最大公因數(shù)是 1,最小公倍是它 們的積；當(dāng)兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時(shí)，較小的數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)， 較大的數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)；當(dāng)兩個(gè)數(shù)是一般關(guān)系時(shí)，用短除法求這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)與 最小公倍數(shù)。由此可知，最大公因數(shù)是公有質(zhì)因數(shù)連乘的積，最小公倍數(shù)是公 有和獨(dú)有因數(shù)連成的積?？梢?，最小公

2、倍數(shù)是最大公因數(shù)的倍數(shù)，最 大公因數(shù)是最小公倍數(shù)的因數(shù)。掌握這一點(diǎn)是解決此類問題的關(guān)鍵。4、最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)實(shí)際應(yīng)用例題。例1、a=2 x3 x5 x7,貝u a因數(shù)有（）個(gè)。分析：一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，其因數(shù)是一個(gè)或幾個(gè)質(zhì)因數(shù)連成 的積。因此，數(shù)a的因數(shù)為;一個(gè)質(zhì)因數(shù)構(gòu)成的，2、3、5、7;兩個(gè) 質(zhì)因數(shù)構(gòu)成的6、10、14、15、21、35;三個(gè)質(zhì)因數(shù)構(gòu)成的 30、 42、105、70;四個(gè)質(zhì)因數(shù)構(gòu)成的210;除此之外還有1.共16個(gè)。例2、a=2 x2x3 b=2 x3x5則a、b的最大公因數(shù)與最小公倍 數(shù)分別是()()分析：因?yàn)椤白畲蠊驍?shù)是公有質(zhì)因數(shù)連乘的積”，所以a、b的最大公

3、因數(shù)為2x3=6; “最小公倍數(shù)是公有和獨(dú)有因數(shù) 連成的積” a、b的最小公倍數(shù)為2x3x2x5=60練習(xí)已知甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是 6,最小公倍數(shù)是36, 求甲、乙兩數(shù)。分析：“最小公倍數(shù)是公有和獨(dú)有因數(shù)連成的積，因此最小公倍 數(shù)是最大公因數(shù)的倍數(shù)，”解析36y=6 6即為獨(dú)有因數(shù)的積，6=1 x6或6=2 x3因此甲乙兩個(gè)數(shù)分別為(1 x6=6 6 x6=36 )或(2x6=12 3 x6=18 )兩個(gè)數(shù)最大公因數(shù)是12,最小公倍數(shù)是180,且大數(shù)不是小 數(shù)的倍數(shù)，求這兩個(gè)數(shù)。解析：180 +12=15 15=3 x5(3x12=36 5 x12=60 )例3、兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是42,

4、最小公倍數(shù)是2940 ,且兩個(gè) 數(shù)的和是714 ,這兩個(gè)數(shù)各是多少？解析：2940刃2=70 ( 70為獨(dú)有因數(shù)連成的積)?！皟蓚€(gè)數(shù) 的和是714”，則兩數(shù)和是最大公因數(shù)的倍數(shù)，它是最大公因數(shù)與獨(dú) 有因數(shù)和的積，因此714+42=17 , 17是獨(dú)有因數(shù)的和。因此70只 能分解成 10 和 7 的積，70=7 x10 (7x42=294 10 x42=420 )練習(xí)已知兩個(gè)自然數(shù)的和為 72,它們的最大公因數(shù)是12,求 這兩個(gè)數(shù)。解析：72 +12=6 6=1 +5 （1 x12=12 5 x12=60 ）例4、把長(zhǎng)20厘米，寬42厘米的長(zhǎng)方形鐵片剪成邊長(zhǎng)是整厘米數(shù)，面積相等的正方形鐵片，并且

5、沒有剩余，至少可剪多少塊？分析：因?yàn)橐舫伞懊娣e相等的正方形鐵片，并且沒有剩余”， 因此，正方的邊長(zhǎng)既是20的因數(shù)，也是42的因數(shù)，并且是最大的 公因數(shù)；42和20的最大公因數(shù)是2,故正方形邊長(zhǎng)為2厘米。剪得塊數(shù)即為：（20+2） x （42+2） =210 （塊）求54、36、72的最大公因數(shù)。練習(xí)把長(zhǎng)120厘米，寬80厘米的鐵板裁成面積相等，最大的 正方形而且沒有剩余，可以裁成多少塊？提示：求120、18的最大公因數(shù)。例5、用長(zhǎng)5厘米，寬3厘米的長(zhǎng)方形鐵片，擺成一個(gè)正方形（中 間沒有空隙），至少要有多少塊這種長(zhǎng)方形鐵片？分析：用這樣的長(zhǎng)方形擺成正方形，則正方形的邊長(zhǎng)既是5的倍 數(shù)，也是3的

6、倍數(shù)。因是至少需幾塊，所以應(yīng)該是 5和3的最小公 倍數(shù)。5和3的最小公倍數(shù)是15。所以需塊數(shù)為：（15+5） x （15+3） =15 （塊）練習(xí)排練團(tuán)體操時(shí)，要求隊(duì)伍變成 10行、15行、18行、24 行時(shí)，隊(duì)形都能成為長(zhǎng)方形，最少需要多少人參加團(tuán)體操的排練？提示：求 10 , 15 , 18,24 的最小公倍數(shù)，10 ,15,18, 24=3601例6、某幼兒園借閱圖書，如借35本，平均分給每個(gè)小朋友差1本；如借56本，平均分給每個(gè)小朋友后還剩 2本；如借69本，平均分給每個(gè)小朋友則差3本。這個(gè)班的小朋友最多有多少人？分析：小朋友數(shù)即為36、54、72的最大公因數(shù)。例7現(xiàn)在有香蕉42千克，蘋果112千克，桔子70千克，平均分給幼兒園的幾個(gè)班，每班分到的這三種水果的數(shù)量分別相等， 那么 最多分給了多少個(gè)班？每個(gè)班至少分到了三種水果各多少千克？分析：班數(shù)即為42、112、70的最大公因數(shù)。每種水果數(shù)除以班數(shù)即為分得的水果。練習(xí)有三根鐵絲，一根長(zhǎng)54米，一根長(zhǎng)72米，一根長(zhǎng)36米, 要把它們截成同樣長(zhǎng)的小段，不許剩余，每段最長(zhǎng)是多少米？例8、練習(xí)、有一個(gè)自然數(shù)，被6除余1 ,被5除余1 ,被4除