橫看成嶺側(cè)成峰

1、青，取之于藍而青于藍；冰，水為之而寒于水橫看成嶺側(cè)成峰 篇一：橫看成嶺側(cè)成峰 遠近高低各不同 橫看成嶺側(cè)成峰 遠近高低各不同 湖北省襄陽市襄州區(qū)黃集鎮(zhèn)初級中學(xué) 趙國瑞 “橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同不識廬山真面目，只緣身在此山中”這是宋代詩人蘇軾的著名詩名題西林壁其中的“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”表面意思是說，廬山從正面看，它是一道道連綿起伏的山嶺；從側(cè)面看，它是一座巍然聳立的險峰從遠處近處高處低處看，廬山呈現(xiàn)出不同的形象實際的意思是指同一個事物在不同的角度和不同的時間看是不一樣的 同是一枝梅花，有人贊嘆它風(fēng)骨傲霜，有人則感慨它孤寂落寞；同是一塊石頭，有人覺得它冥頑不化，有人則欣賞它堅

2、韌固守；同樣是半杯可樂，悲觀的人說：“唉，只有半杯，”樂觀的人說：“天啊，還有半杯”同一種事物，理解緣何不同？其實很簡單，人們觀察事物的角度不同罷了 在思維過程中善于改變看問題的角度，往往會收到意想不到的效果因此我們要善于變換思考方式，盡可能地選擇新視角，解決數(shù)學(xué)問題亦是如此 例 (2021年山東青島中考題)如圖1，是用棋子擺成的圖案，擺第1個圖案需要7枚棋子，擺第2個圖案需要19枚棋子，擺第3個圖案需要37枚棋子，按照這樣的方式擺下去，則擺第6個圖案需要枚棋子，擺第n個圖案需要枚棋子 圖1 圖2 分析：解答此類問題要充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用，注意從不同角度觀察圖形 方法1 將圖形分割成六邊形

3、如圖2，將圖形分割成大小不同的六邊形，從里向外，第1個六邊形包含的棋子數(shù)為62-6=61，第2個六邊形包含的棋子數(shù)為63-6=62，第3個六邊形包含的棋子數(shù)為64-6=63，第n個六邊形包含的棋子數(shù)為6(n+1)-6=6n，因此擺第n個圖案需要的棋子 6+1=數(shù)為61+62+63+6n+1=(1+2+3+n)n(n+1)6+1=3n(n+1)+1=3n2+3n+1 說明：方法1用到了這樣一個公式：1+2+3+n= 式 方法2 將圖形分割成三角形 按如圖3的方式將圖形分割成六個全等的三角形，每個三角形包含的棋子數(shù)為1+2+3+n+1=(n+1)(n+2)，六個三角形包含的棋子數(shù)為(n+1)(n+

4、2)6=3(n+1)(n+2)，減n(n+1)，我們把它叫做高斯求和公 2去重復(fù)的六條邊包含的棋子數(shù)6(n+1)，得3(n+1)(n+2)-6(n+1)=3n+3n由于處于正六邊形的 中心處的棋子重復(fù)計算了6次，減去重復(fù)的六條邊包含的棋子數(shù)后的結(jié)果不包含這枚棋子， 2所以結(jié)果應(yīng)再加上這枚棋子，即第n個圖案需要的棋子數(shù)為3n+3n+1 圖3 圖4 說明：在計算棋子數(shù)時要注意正確處理重復(fù)部分，既不能多算，也不能漏算 按如圖4的方式將圖形分割成六個全等的三角形，每個三角形包含的棋子數(shù)為1+2+3+n =n(n+1) ，六個三角形包含的棋子數(shù)為n(n+1)6=3n2+3n加上正六邊形的 2中心處的棋子

5、，得第n個圖案需要的棋子數(shù)為3n+3n+1 方法3 將圖形分割成平行四邊形 如圖5，將圖形分割成三個全等的平行四邊形，每個平行四邊形包含的棋子數(shù)為n(n+1)，3個平行四邊形包含的棋子數(shù)為3n(n+1)，加上正六邊形的中心處的棋子，得第n個圖案需 2要的棋子數(shù)為3n+3n+1 圖5 方法4 將圖形分割成菱形 2如圖6，將圖形分割成三個全等的菱形，每個菱形包含的棋子數(shù)為(n+1)，3個菱形包 222含的棋子數(shù)為3(n+1)，減去重復(fù)的三條邊包含的棋子數(shù)3(n+1)，得3(n+1)-3(n+1)=3n+3n由 于處于正六邊形的中心處的棋子重復(fù)計算了3次，減去重復(fù)的三條邊包含的棋子數(shù)后的結(jié)果 2不包

6、含這枚棋子，所以結(jié)果應(yīng)再加上這枚棋子，即第n個圖案需要的棋子數(shù)為3n+3n+1 圖6 方法5 將圖形分割成平行四邊形和菱形 按如圖7的方式將圖形分割成平行四邊形和菱形，則平行四邊形包含的棋子數(shù)分別為n(n+1)，兩個菱形包含的棋子數(shù)為(n+1)2和n2，所以第n個圖案需要的棋子數(shù)為n(n+1)+(n+1)2+n2=3n2+3n+1 圖7 按如圖8的方式將圖形分割成平行四邊形和菱形，則上面兩個平行四邊形包含的棋子數(shù)n(n+1)，下面兩個平行四邊形包含的棋子數(shù)為(n+1)，中間菱形包含的棋子數(shù)為n，所以 222第n個圖案需要的棋子數(shù)為n(n+1)+(n+1)+n=3n+3n+1 22 圖8 方法6

7、 將圖形分割成菱形和三角形 2如圖9，將圖形分割成兩個菱形和兩個三角形，則每個菱形包含的棋子數(shù)為(n+1)，每 個三角形包含的棋子數(shù)為1+2+3+n+1=(n+1)(n+2)，兩個菱形和兩個三角形包含的棋子 22數(shù)為2(n+1)+(n+1)(n+2)=3n+7n+4減去重復(fù)的四條邊包含的棋子數(shù)4(n+1)，得 3n2+7n+4-4(n+1)=3n2+3n由于處于正六邊形的中心處的棋子重復(fù)計算了4次，減去重復(fù)的 四條邊包含的棋子數(shù)后的結(jié)果不包含這枚棋子，所以結(jié)果應(yīng)再加上這枚棋子，即第n個圖案 2需要的棋子數(shù)為3n+3n+1 圖9 方法7 將圖形分割成梯形 如圖10，將圖形分割成梯形，先看中心線上

8、面的梯形，從里向外，第1個梯形的上底 1-1=2，第2個梯形的上底和兩腰(除去下底和兩腰(除去下底的兩個頂點)包含的棋子數(shù)為3 2-1=5，第3個梯形的上底和兩腰(除去下底的兩個頂點)包含的兩個頂點)包含的棋子數(shù)為3 3-1=8，第n個梯形的上底和兩腰(除去下底的兩個頂點)包含的棋子數(shù)為的棋子數(shù)為3 3n-1，所以這n個梯形含的棋子數(shù)為31-1+32-1+33-1+3n-1=(1+2+3+n)3-n =n(n+1)-n 圖10 由對稱性可知，中心線下面n個梯形包含的棋子數(shù)也為 子數(shù)為2n+1所以第n個圖案需要的棋子數(shù)為n(n+1)-n，而中心線包含的棋n(n+1)-n2+2n+1=3n2+3n+1 感悟：看似一道普通的“用代數(shù)式描述圖形規(guī)律”題，我們通過從不同的角度進行觀察圖形、探究圖形的構(gòu)成，不僅體驗到了探究數(shù)學(xué)的樂趣，而且培養(yǎng)了我們的發(fā)散思維能力和創(chuàng)新思維，使我們的思維變得更加靈活 篇二：橫看成嶺側(cè)成峰 橫看成嶺側(cè)成峰 “木秀于林，風(fēng)必摧之；行高于人，眾必非之?！闭呛ε隆皹尨虺鲱^鳥”，幾千年來，我們多慣于謹(jǐn)守中庸之道，我們的腦筋被傳統(tǒng)和習(xí)慣緊緊地綁住，看問題力求合乎大眾的眼光，論事情千萬不敢“離經(jīng)叛道”這種“標(biāo)準(zhǔn)化”的思維給過我們所謂的安寧與平靜，卻也給了我們老套