圓與方程中的數學思想

1、圓與方程中的數學思想廣東省陸豐市啟恩中學(516500)林敏燕圓與方程是高中數學解析幾何的一個基礎內容，在歷年的高考中占有一席之地。本文就圓與方程中的數學思想在解題中的運用展開討論，供同學們參考。1函數與方程思想函數與方程思想在圓與方程中應用最廣泛,求圓的方程，求直線與圓的交點，求圓與圓的交點等等都要運用到函數與方程的數學思想.例1設圓滿足：截y軸所得弦長為2；被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3：1在滿足條件、的所有圓中，求圓心到直線1：x2y=0的距離最小的圓的方程分析：本題給出了二個條件，我們需要把二個條件轉化為代數式，然后聯(lián)立方程。解:設圓的圓心坐標為P（a，b），半徑為r，則點P到x軸

2、、y軸的距離分別為|b|，|a|由題設知圓P截x軸所得劣弧的圓心角為90，于是圓P截x軸所得的弦長為，故又圓P截y軸所得的弦長為2，所以有從而得點P（a，b）到直線x2y=0的距離為所以，當且僅當a=b時上式取等號，此時，從而d取得最小值由此有解此方程組得或由知，故所求圓的方程是，或點評:本題是一道較為復雜的綜合題,既要用到函數的最值求法,又要解方程組.一般情況下同學們對于復雜的方程組缺乏信心,因些解方程組時一定要先找好突破口,以免花費太多時間.2對稱思想圓既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形,對稱的數學思想在圓中有著淋漓盡致的體現(xiàn).解對稱問題要把握對稱的實質,結合幾何圖形來解題.例2已知，點是圓

3、上的動點，點是圓上的動點，則的最大值是（）ABCD分析：如果把M，N看成圓上的動點，設出坐標，則本題變得特別復雜。所以，我們要考慮圓的對稱性，把點到圓上的點的距離轉化為點到圓心的距離來求解，減少未知量解:由幾何知識可知（三角形的性質）,|PN|,|PM|要取到最值,必過圓心.不妨設兩圓的圓心分別為A,B,因此,原題轉化為在直線上找一個點P,使最大.由例1可知,只需作點B關于直線的對稱點B,顯然B的坐標是(1,0),從而原點即為要求的點.故的最大值為,選D點評：善于利用圓的對稱性，是本題解題的關鍵所在。3數形結合思想數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思

4、維結合，通過對圖形的認識，數形結合的轉化，可以培養(yǎng)思維的靈活性，形象性，使問題化難為易，化抽象為具體.例3已知，若，求的取值范圍.分析：集合M是一條直線的點的集合，集合N是一個半圓上的點的集合，故可以從圖像上考慮直線與圓的交點問題。解：集合是斜率為1，在軸上的截距為的一束平行線，集合是以原點為圓心，半徑為3的圓在軸上方的部分（包括與軸的交點）.由題意作出圖形，如圖，當直線過時，.當直線與半圓相切時，由點到直線的距離公式得.，由圖形易知，故，.點評：在涉及到半圓或圓的一部分的題目時，如果解方程是相當困難的，而應用數形結合來解則比較簡單.4化歸思想所謂轉化思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時，采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決的一種方法.一般總是將復雜的問題通過轉化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉化為容易的問題，將未解決的問題變換轉化為已解決的問題.例4求圓上的點到的最近、最遠距離.分析：直接設圓上的點的坐標來求解，可以轉化為三角函數的問題。但如果換一個角度，從幾何圖形的性質上來看，只需求出圓心到直線的距離即可輕松獲解。解：由圓的方程易知圓心坐標為，半徑.而到直線之距為.故圓上的點到直線的最遠距離為，最近距離為.點評：凡是涉及與圓有