矩陣在常系數(shù)遞推關(guān)系中的應(yīng)用

1、目 錄內(nèi)容摘要1關(guān)鍵詞11引言11.1研究現(xiàn)狀11.2研究意義21.3研究思路及研究方法22矩陣相關(guān)知識(shí)22.1矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘法22.2矩陣的乘法32.3矩陣對(duì)角化42.4可對(duì)角化矩陣的性質(zhì)53矩陣在常系數(shù)線性遞推關(guān)系中的應(yīng)用73.1矩陣在常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系(組)的應(yīng)用83.1.1應(yīng)用矩陣表示常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系83.1.2矩陣方法求解常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系93.2矩陣在常系數(shù)線性非齊次遞推關(guān)系(組)的應(yīng)用113.2.1應(yīng)用矩陣表示常系數(shù)線性非齊次遞推關(guān)系113.2.2矩陣方法求解常系數(shù)線性非齊次遞推關(guān)系124應(yīng)用矩陣方法求解常系數(shù)線性遞推關(guān)系的優(yōu)劣 135結(jié)論15參考文獻(xiàn)16

2、Abstract16Key words16矩陣在常系數(shù)線性遞推關(guān)系中的應(yīng)用專(zhuān)業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué)號(hào)：201413008132 學(xué)生姓名：李成金指導(dǎo)老師：李勇剛 職稱(chēng)：講師【內(nèi)容摘要】 本文在前人的研究基礎(chǔ)上，對(duì)應(yīng)用矩陣的相關(guān)知識(shí)與常系數(shù)線性遞推關(guān)系進(jìn)行研究.首先，歸納出一些矩陣的相關(guān)知識(shí).其次，應(yīng)用矩陣來(lái)表示常系數(shù)線性遞推關(guān)系.然后再應(yīng)用矩陣求解常系數(shù)線性遞推關(guān)系，介紹矩陣方法如何應(yīng)用.最后，舉出簡(jiǎn)單的遞推關(guān)系的問(wèn)題，用一般方法和矩陣方法分別對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行解答，并比較這些方法在解決實(shí)際問(wèn)題中的優(yōu)劣之處，提出一些自己的建議.將遞推關(guān)系組與矩陣相結(jié)合，用矩陣對(duì)角化及特征值理論求解一類(lèi)遞推關(guān)系組，

3、并給出通解.感覺(jué)像流水帳，不是太自然，可以使用一些將這些點(diǎn)串起來(lái)【關(guān)鍵詞】 矩陣的加法只是加法？應(yīng)該是運(yùn)算；可對(duì)角化；應(yīng)用矩陣；遞推關(guān)系；1 引言1.1 研究現(xiàn)狀遞推關(guān)系不僅對(duì)組合論有重要意義，而且?guī)缀鯇?duì)一切數(shù)學(xué)分支都有重要意義.求解常系數(shù)線性遞推關(guān)系的最有效的常見(jiàn)的方法是母函數(shù)法和特征根法，而本文將用矩陣進(jìn)行求解，其基本思想為：對(duì)于某些遞推關(guān)系定義的數(shù)列,根據(jù)矩陣特征值理論，將數(shù)列的一般項(xiàng)表為含有對(duì)角陣的矩陣乘法形式，在此基礎(chǔ)上推出數(shù)列的通項(xiàng)公式.楊振生在組合數(shù)學(xué)及其算法1中提到常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系以及常系數(shù)線性非齊次遞推關(guān)系的求解，通過(guò)對(duì)不同形式的遞推關(guān)系問(wèn)題采用不同的方法進(jìn)行求解歸納，

4、以及簡(jiǎn)單的應(yīng)用.岳嶸在利用矩陣對(duì)角化求數(shù)列通項(xiàng)2中提出利用矩陣求解具有特殊性質(zhì)的數(shù)列的通項(xiàng)公式；尹飛，楊方，趙天玉在用矩陣對(duì)角化求解一類(lèi)遞推關(guān)系組3中把遞推關(guān)系與矩陣相結(jié)合，用矩陣對(duì)角化來(lái)求解一類(lèi)遞推關(guān)系組；鄭華盛，徐偉在矩陣對(duì)角化的應(yīng)用4中利用矩陣對(duì)角化求解一類(lèi)具有遞推關(guān)系式的數(shù)列的通項(xiàng)與極限及一類(lèi)三對(duì)角線行列式，這是矩陣在求解遞推關(guān)系問(wèn)題中知識(shí)的延拓與提升.通過(guò)文獻(xiàn)整理可知，目前矩陣在常系數(shù)線性遞推關(guān)系中的應(yīng)用只是簡(jiǎn)單的利用矩陣對(duì)角化解決常系數(shù)線性遞推關(guān)系問(wèn)題.對(duì)矩陣方法在常系數(shù)線性遞推關(guān)系中的應(yīng)用沒(méi)有具體說(shuō)明該怎么用，為什么要這么用或是為什么要用矩陣方法來(lái)解決，只是草草地給出定義以及引理

5、，并沒(méi)有深入去研究應(yīng)用矩陣解決常系數(shù)線性遞推關(guān)系問(wèn)題可以帶來(lái)怎么樣的方便，只是簡(jiǎn)單地說(shuō)明了應(yīng)用矩陣解遞推關(guān)系問(wèn)題的方便之處在于將常系數(shù)線性遞推關(guān)系問(wèn)題簡(jiǎn)單化、統(tǒng)一化，降低了思維難度.1.2 研究意義 矩陣在求解一類(lèi)具有遞推關(guān)系式中占有非常重要的作用，通過(guò)矩陣的對(duì)角化將數(shù)列的一般項(xiàng)表示為含有對(duì)角陣的矩陣乘法形式，運(yùn)用矩陣相關(guān)知識(shí),并且結(jié)合數(shù)學(xué)思想與方法，并與高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識(shí)融為一體，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力及創(chuàng)新能力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.矩陣在常系數(shù)線性遞推關(guān)系中的相關(guān)研究是符合當(dāng)代大學(xué)生的一項(xiàng)研究.研究的目的在于通過(guò)一系列研究得出矩陣對(duì)角化解法在某類(lèi)遞推關(guān)系中是具體優(yōu)勢(shì)的，讓學(xué)生能夠在解題中

6、明白知識(shí)是環(huán)環(huán)相扣的.1.3 研究思路及研究方法本文研究的基本思路：首先收集資料進(jìn)行綜合分析，歸納整理，了解當(dāng)前研究的背景及其現(xiàn)狀.基于目前研究矩陣的現(xiàn)狀，提出研究的意義.然后，對(duì)矩陣的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行分析.將矩陣知識(shí)與常系數(shù)線性遞推關(guān)系進(jìn)行結(jié)合，應(yīng)用矩陣表示常系數(shù)線性遞推關(guān)系；用滿(mǎn)足矩陣可對(duì)角化的條件，證明常系數(shù)線性遞推關(guān)系.由矩陣知識(shí)用到某些復(fù)雜的遞推關(guān)系問(wèn)題上，綜合比較常規(guī)的解題方法總結(jié)出各自的優(yōu)缺點(diǎn)以及適用情況.在掌握了矩陣方法解決常系數(shù)線性遞推關(guān)系問(wèn)題的一般步驟后，對(duì)矩陣方法應(yīng)用于常系數(shù)線性遞推關(guān)系進(jìn)行進(jìn)一步研究，分析得出用矩陣方法解題所適合的情況及其優(yōu)劣之處.基于對(duì)文獻(xiàn)資料的分析上，歸

7、納出應(yīng)用矩陣在求解常系數(shù)線性遞推關(guān)系的技巧與方法.最后，對(duì)文章進(jìn)行總結(jié).本研究首先采用文獻(xiàn)研究法，根據(jù)所研究的論文題目，通過(guò)查閱相關(guān)文獻(xiàn)，從而能夠正確的了解掌握所要研究的問(wèn)題.在研究矩陣在常系數(shù)線性遞推關(guān)系中的研究現(xiàn)狀上運(yùn)用文獻(xiàn)研究法，能形成關(guān)于研究對(duì)象的印象.然后采用比較研究法，通過(guò)縱橫比較，對(duì)矩陣方法與常規(guī)方法進(jìn)行利弊分析，最后總結(jié)矩陣方法是否實(shí)用.2 矩陣相關(guān)知識(shí)2.1 矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘法定義2.15 兩個(gè)行列矩陣，對(duì)應(yīng)位置元素相加得到的行列矩陣，稱(chēng)為矩陣與矩陣的和，記為，即. 例2.1.1 設(shè)矩陣,求. 解： 注1 只有對(duì)于兩個(gè)行數(shù)、列數(shù)分別相等的矩陣（即同型矩陣），加減法運(yùn)算

8、才有意義，即加減運(yùn)算是可行的.定義2.2 以數(shù)乘矩陣的每一個(gè)元素所得到的矩陣，稱(chēng)為數(shù)與矩陣的積，記作.如果，那么. 例2.1.2 設(shè),求. 解：2.2 矩陣的乘法 定義2.3 設(shè)矩陣的數(shù)列與矩陣的行數(shù)相同,則由元素 構(gòu)成的行列矩陣稱(chēng)為矩陣與矩陣的積，記為或.這個(gè)定義說(shuō)明，如果矩陣的列數(shù)等于矩陣的行數(shù)，則與的乘積中第行第列的元素，等于矩陣的第行元素與矩陣的第列對(duì)應(yīng)元素乘積的和，并且矩陣的行數(shù)等于矩陣的行數(shù)，矩陣的列數(shù)等于矩陣的列數(shù).例2.2.1設(shè)矩陣,，計(jì)算.解：是的矩陣.設(shè)它為，那么 . 注2 (1)只有當(dāng)左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才可以相乘；(2)乘積矩陣的行數(shù)等于左矩陣的行數(shù)

9、，列數(shù)等于右矩陣的列數(shù)；(3)乘積矩陣的第行第列的元素等于左矩陣的第行與右矩陣的第列的對(duì)應(yīng)元素的乘積之和.2.3 矩陣對(duì)角化定義2.46 設(shè),為階矩陣，如果有階可逆矩陣存在，使得 成立，則稱(chēng)矩陣與相似，記為.例2.3.1 ,則 ,所以,即.通俗地說(shuō)就是經(jīng)過(guò)矩陣的一系列行、列變換（初等變換）后，能得到一個(gè)只有主對(duì)角線上元素不全為零，而且其他位置全為零的另一個(gè)矩陣（這個(gè)矩陣稱(chēng)為對(duì)角陣），這個(gè)過(guò)程叫做矩陣的對(duì)角化，并不是所有的矩陣都能對(duì)角化.矩陣可對(duì)角化在求矩陣的高次冪中有重要作用，矩陣的對(duì)角化有多種判別方法.本節(jié)對(duì)矩陣對(duì)角化作一點(diǎn)討論.例2.3.2 矩陣是否能對(duì)角化？如果能，將其對(duì)角化.解：先求的

10、特征值和特征向量.特征方程為則的特征值為 ，.把代入，求得特征向量；把代入，求得特征向量.由于特征值都是單根，所以矩陣是可對(duì)角化的.取 , 則,于是有 .注3 (1)當(dāng)矩陣的特征值全部是單根時(shí)，是可對(duì)角化的.(2)當(dāng)矩陣的特征值是重根時(shí)，只要每一個(gè)重根的特征值所對(duì)應(yīng)的全部線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)都等于特征值的重?cái)?shù)，則是可對(duì)角化的；當(dāng)有一個(gè)重根的特征值所對(duì)應(yīng)的全部線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)小于特征值的重?cái)?shù)時(shí)，則不能對(duì)角化.引理2.3.1 設(shè)，且,則存在可逆矩陣,使可同時(shí)對(duì)角化.引理2.3.2 如果有個(gè)互不相同的對(duì)角元素，對(duì)某個(gè)，則當(dāng)且僅當(dāng)本身是對(duì)角陣.2.4 可對(duì)角化矩陣的性質(zhì) 定理2.4.1 設(shè)

11、是數(shù)域上的一個(gè)可對(duì)角化的階矩陣,是的互不相同的特征根，則存在階矩陣，使 ； ,為單位矩陣； ； ,為零矩陣，其中.證明1)由可對(duì)角化,則存在上的一個(gè)階可逆矩陣,使得其中的重?cái)?shù)為,由于既,所以記,其中故.2)由每個(gè)為對(duì)角形冪等陣，則，,故.3)由，則 故.4)當(dāng)時(shí),；為零矩陣故,.3 矩陣在常系數(shù)線性遞推關(guān)系中的應(yīng)用常系數(shù)線性遞推關(guān)系分為常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系和常系數(shù)線性非齊次遞推關(guān)系兩種情況.定義3.1 常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系，其形如或這里全部是常數(shù).例如就是一個(gè)常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系.定義3.2 常系數(shù)線性非齊次遞推關(guān)系，其形如這里全部是常數(shù).例如都是常系數(shù)線性非齊次遞推關(guān)系.那么對(duì)于非常系

12、數(shù)非線性遞推關(guān)系的求解一般是非常困難的，目前的求解方法還不夠成熟，因此我們只考慮求解常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系以及常系數(shù)線性非齊次遞推關(guān)系這兩類(lèi)特殊的遞推關(guān)系.3.1 矩陣在常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系(組)的應(yīng)用 3.1.1 應(yīng)用矩陣表示常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系遞推數(shù)列形如7對(duì)此情形的數(shù)列，通過(guò)觀察等式，可等價(jià)給出方程組該方程組可表示為矩陣形式.(1)例3.1.18構(gòu)造數(shù)列且滿(mǎn)足遞推關(guān)系 現(xiàn)在考慮將數(shù)列采用矩陣的形式表示.因?yàn)?所以 3.1.2 矩陣方法求解常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系令,則式(1)可以寫(xiě)成.由該式遞推得.那么求的問(wèn)題就轉(zhuǎn)為求矩陣,也就是求解矩陣.若矩陣可以對(duì)角化，即存在可逆矩陣,使得為對(duì)角形

13、矩陣，則問(wèn)題變得更方便求解.例3.1.2 已知數(shù)列滿(mǎn)足.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：由原數(shù)列可得 也即 .可令 ,則存在 ,使得 .從而 ,綜上所述 .小結(jié)：對(duì)于該題的求解,我們可以發(fā)現(xiàn)矩陣方法解決此類(lèi)型題比較簡(jiǎn)便，首先我們應(yīng)用矩陣方法求出矩陣,進(jìn)而求出可逆矩陣，在求解矩陣的逆矩陣時(shí)，使用矩陣的乘法需要細(xì)心，避免求解錯(cuò)誤，運(yùn)用矩陣方法可避免了構(gòu)造新的數(shù)列難點(diǎn)，更突出了矩陣方法方便、快捷的優(yōu)點(diǎn).例3.1.3 有遞推關(guān)系求解這個(gè)常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系.解：該遞推關(guān)系的遞推定義方式可以看成是由與的聯(lián)立方程組，作矩陣向量,則上述聯(lián)立方程組可表為：,記,則的特征多項(xiàng)式,故的特征根為，.故可對(duì)角化,令,可得.又

14、由于,故有：,可得 即 .小結(jié)：類(lèi)似上題的斐波那契數(shù)列也是一類(lèi)常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系，在求解時(shí)用矩陣的加減法求出，進(jìn)而利用矩陣對(duì)角化方法，將遞推關(guān)系的定義方式看成聯(lián)立的方程組，作出矩陣向量，避免了母函數(shù)構(gòu)造新數(shù)列的復(fù)雜操作，使得求解方便快捷.3.2 矩陣在常系數(shù)線性非齊次遞推關(guān)系(組)的應(yīng)用3.2.1 應(yīng)用矩陣表示常系數(shù)線性非齊次遞推關(guān)系情況3.2.1 遞推數(shù)列形如，由此數(shù)列可得寫(xiě)成矩陣形式表示為情況3.2.2 雙遞推數(shù)列形如(為常數(shù)).對(duì)此數(shù)列,可寫(xiě)成矩陣形式.因此原遞推關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求解冪矩陣問(wèn)題，從而可求出數(shù)列和的通項(xiàng)公式.3.2.2 矩陣方法求解常系數(shù)線性非齊次遞推關(guān)系 對(duì)于遞推數(shù)列將

15、其寫(xiě)成矩陣形式進(jìn)而對(duì)其求解即 .由此原問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求矩陣運(yùn)算，進(jìn)而可求出通項(xiàng)公式.例3.2.1本文所舉的例子是引用他人的，還是自己寫(xiě)的？ 設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足 求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：將遞推關(guān)系變形后寫(xiě)成矩陣形式易求得矩陣 的特征根和對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量分別為 則存在 使得 所以 從而可知 小結(jié)：這個(gè)問(wèn)題的正常思路是通過(guò)構(gòu)造型的常數(shù)列來(lái)求解，但是卻不容易易想得到，應(yīng)用矩陣方法可以避開(kāi)這些難點(diǎn)，因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求解矩陣的問(wèn)題.例 3.2.2 設(shè)數(shù)列和滿(mǎn)足 .求證：是完全平方數(shù).解：有已知條件容易推知 記矩陣 .易求得矩陣的特征根為 則存在可逆矩陣使得 .于是可由 .求得的通項(xiàng)公式形如 將代入上式可求得 于是有 .

16、小結(jié):雙遞推數(shù)列問(wèn)題在使用一般方法解決的過(guò)程中較為繁雜，類(lèi)似此題，需要構(gòu)造新的數(shù)列再使用特征方程的方法求解.若用矩陣方法求解,可達(dá)到事半功倍的效果.4 應(yīng)用矩陣方法求解常系數(shù)線性遞推關(guān)系的優(yōu)劣求解常系數(shù)線性遞推關(guān)系最有效的常見(jiàn)的方法是母函數(shù)法和特征根法，而本文用矩陣方法進(jìn)行求解，那么矩陣方法又存在怎樣的優(yōu)勢(shì)以及局限性，以下對(duì)三種方法進(jìn)行一下討論.例4.1.1 設(shè)邊界條件，,求解該遞推關(guān)系.解法一：(母函數(shù)法)設(shè)則存在 所以 易求得 又有 所以 解法二：(特征根法)該遞推關(guān)系的特征方程為： ，所以 ,從而 ，又由可得 解得 因此 .解法三：(矩陣方法)由原數(shù)列可得也即 ,可令 ,則存在 ,使得

17、,從而 所以 .小結(jié)：母函數(shù)法需要構(gòu)造新的數(shù)列，操作比較復(fù)雜，但是能夠有效的解決遞推關(guān)系問(wèn)題.特征根法求解便捷，類(lèi)似這一道題，如果在遇到有重根的問(wèn)題時(shí)會(huì)對(duì)求解遞推關(guān)系帶來(lái)不便.矩陣方法求解遞推關(guān)系時(shí)，如果能夠?qū)⑦f推關(guān)系寫(xiě)成矩陣形式，并且該矩陣能夠?qū)腔?，進(jìn)而求解冪矩陣，那么求解遞推關(guān)系就很方便了.例4.2.1 設(shè)邊界條件，求該遞推關(guān)系.解法一：(母函數(shù)法)設(shè)則存在 所以 易求得 又有 所以 綜上所述 .解法二：(特征根法)該遞推關(guān)系的特征方程為 提公因式得 解得 所以 因?yàn)?所以 所以 綜上所述 . 解法三：(矩陣方法)將遞推關(guān)系變形后寫(xiě)為矩陣形式易求得矩陣的特征根和對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量分別為因

18、為該矩陣的特征方程有相同的特征根并且特征向量線性相關(guān)，因此無(wú)法求出對(duì)角化矩陣，無(wú)法應(yīng)用矩陣方法求解.小結(jié)：母函數(shù)方法能夠有效求解遞推關(guān)系，但是需要構(gòu)造新的數(shù)列，操作比較復(fù)雜，特征根法求解便捷，但是如果在遇到有重根的問(wèn)題時(shí)會(huì)對(duì)求解遞推關(guān)系帶來(lái)不便.而矩陣方法則可避免重新構(gòu)造數(shù)列，但是類(lèi)似上題，通過(guò)變形求解得出兩個(gè)特征向量線性相關(guān)，無(wú)法求出對(duì)角化矩陣，因此應(yīng)用矩陣方法求解遞推關(guān)系具有一定的局限性.5 結(jié)論矩陣的對(duì)角化將數(shù)列的一般項(xiàng)表示為含有對(duì)角陣的矩陣乘法形式，避免了類(lèi)似母函數(shù)一樣需要構(gòu)造新的數(shù)列，解決問(wèn)題時(shí)較為方便快捷，至于特征根法，對(duì)于有重根的特征方程求解不方便，我們利用矩陣方法時(shí)，列出矩陣，

19、求出矩陣可對(duì)角化,再得出可逆矩陣，進(jìn)而求出冪矩陣，最終求解出遞推關(guān)系式.本文在研究中也存在很多不足之處：對(duì)于某些方陣不可對(duì)角化時(shí)，矩陣方法存在很大的局限性；對(duì)于階數(shù)較大的方陣不便于求解.并且由于研究水平能力有限等原因，因此，本文對(duì)矩陣方法應(yīng)用于常系數(shù)線性遞推關(guān)系中只是初步的研究，實(shí)踐中還有需進(jìn)一步驗(yàn)證和總結(jié).【參考文獻(xiàn)】1 楊振生.組合數(shù)學(xué)及其算法M.合肥：中國(guó)科學(xué)科技大學(xué)出版社，1997.110-124.2 岳嶸. 利用矩陣對(duì)角化求數(shù)列通項(xiàng)J. 高等數(shù)學(xué)研究, 2007, 10(4):66-68.3 尹飛，楊方，趙天玉.用矩陣對(duì)角化求解一類(lèi)遞推關(guān)系組J.科學(xué)與財(cái)富, 2010(1):37-3

20、8.4 鄭華盛, 徐偉. 矩陣對(duì)角化方法的應(yīng)用J. 高等數(shù)學(xué)研究, 2008, 11(3):58-64.5 趙樹(shù)嫄.線性代數(shù)M.北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2017.45-50.6 徐愛(ài)華.線性代數(shù)M.上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2015.102-104.7 龔麗燕, 陳益智, 蔡俊樹(shù). 遞推數(shù)列通項(xiàng)的矩陣解法J. 高等數(shù)學(xué)研究, 2014(5):3-6.8 鄭長(zhǎng)波. 利用矩陣特征值理論求解遞推關(guān)系J. 沈陽(yáng)師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2011, 29(3):347-351.Application of Matrix in Linear Recursive relation with constant coefficientsAbstract On the basis of previous studies, this paper studies the relationship between the relative knowledge of applied matrices and linear recursion of constant coefficients. Firstly, some related knowledge of matrices is summarized. The matrix is used to express