微積分 第四章 不定積分

1、第四章：不定積分一、本章的教學(xué)目標(biāo)及基本要求1、理解原函數(shù)與不定積分概念及其相互關(guān)系；知道不定積分的主要性質(zhì)；弄清不定積分與求導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即求導(dǎo)與不定積分互為逆運(yùn)算；已知曲線在一點(diǎn)的切線斜率，會(huì)求該曲線的方程。2、熟記基本積分公式；能熟練地利用基本積分公式及積分的性質(zhì)，第一換元積分法和分部積分法計(jì)算不定積分；掌握第二換元積分法。對(duì)于復(fù)合函數(shù)求不定積分一般用第一換元積分法（湊微分法），記住常見(jiàn)的湊微分形式。3、掌握化有理函數(shù)為部分分式的方法，并會(huì)計(jì)算較簡(jiǎn)單的有理分式函數(shù)的積分、三角有理式的積分、無(wú)理式的積分。二、本章教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)1、重點(diǎn)：不定積分和定積分的概念及性質(zhì)，不定積分的基本公式，

2、不定積分、定積分的換元法與分部積分法；2、難點(diǎn)：不定積分和定積分的概念及性質(zhì)，湊微分法，有理分式函數(shù)的積分、三角有理式的積分、無(wú)理式的積分。三、本章內(nèi)容的深化和拓廣 1、了解不定積分在現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展史上的重要意義；2、初步了解不定積分的實(shí)際意義，為后面定積分的學(xué)習(xí)及定積分的應(yīng)用做好一定的鋪墊；3、簡(jiǎn)介不定積分在建立數(shù)學(xué)模型中的重要意義。四、本章教學(xué)方式及教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn)題1、以講課方式為主，留一個(gè)課時(shí)的時(shí)間講解習(xí)題中的難點(diǎn)和容易犯錯(cuò)誤的地方；2、教學(xué)中應(yīng)注意教材前后內(nèi)容之間的聯(lián)系，突出重點(diǎn)和難點(diǎn)；3、本章主要以計(jì)算題為主，要強(qiáng)調(diào)本章內(nèi)容本今后學(xué)習(xí)的重要性，鼓勵(lì)學(xué)生細(xì)致、耐心地完成作業(yè)，防止學(xué)

3、生只抄教材后的答案。4.1 不定積分的概念與性質(zhì)一、內(nèi)容要點(diǎn)1、原函數(shù)與不定積分的概念2、不定積分的性質(zhì)二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)教學(xué)要求：理解原函數(shù)與不定積分概念及其相互關(guān)系；知道不定積分的主要性質(zhì)；弄清不定積分與求導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即求導(dǎo)與不定積分互為逆運(yùn)算。注意點(diǎn)：1、原函數(shù)與不定積分的概念：由導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的意義引入原函數(shù)的概念；解釋不定積分的幾何意義；強(qiáng)調(diào)原函數(shù)和不定積分的特性，并舉例說(shuō)明；由基本積分表說(shuō)明基本積分方法；2、不定積分的性質(zhì)：說(shuō)明不定積分的性質(zhì)對(duì)不定積分計(jì)算的重要性；列出不定積分的性質(zhì)并給與證明，證明過(guò)程中有意識(shí)地加深學(xué)生對(duì)不定積分概念更深入的理解；一、 原函數(shù)與不定積分的概念定義1

4、如果在區(qū)間上，可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，即對(duì)任一，都有或， 那末函數(shù)就稱為（或）在區(qū)間上的原函數(shù)。例如，x2是2x的原函數(shù)，lnx是1/x的原函數(shù)因，故是的原函數(shù)。注：1由此定義上問(wèn)題是：已知f(x),如何去求原函數(shù)2那一個(gè)函數(shù)具備何種條件，才能保證它的原函數(shù)一定存在呢？若存在是否唯一定理1：若f(x)在I上連續(xù)，則f(x)在I上一定有原函數(shù)。注意：并不是任意在I上有定義的函數(shù)都有原函數(shù)，反例定理2：設(shè)f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù)，且F(x)是其中一個(gè)原函數(shù)，則1 f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)2 F(x)+C也是f(x)的原函數(shù)定義2 在區(qū)間上，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為（或）在區(qū)間上的

5、不定積分，記作。其中記號(hào)稱為積分號(hào)，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量。由此定義及前面的說(shuō)明可知，如果是在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，那么就是的不定積分，即。因而不定積分可以表示的任意一個(gè)原函數(shù)。第一，如果有，那么，對(duì)任意常數(shù)C，顯然也有，即如果是的原函數(shù)，那也是的原函數(shù)。 第二，當(dāng)為任意常數(shù)時(shí)，表達(dá)式就可以表示的任意一個(gè)原函數(shù)。也就是說(shuō)，的全體原函數(shù)所組成的集合，就是函數(shù)族。例 1 求.解 由于=，所以是的一個(gè)原函數(shù)。因此.例 2 求.解 當(dāng)時(shí),由于=,所以是在內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)。因此，在內(nèi)，當(dāng)時(shí)，由于=，由上同理，在內(nèi)，將結(jié)果合并起來(lái)，可寫(xiě)作例3、已知是的一個(gè)原函數(shù)， 求：解： 例4、的導(dǎo)函數(shù)

6、是 ，則的原函數(shù)，(、為任意常數(shù))例5、在下列等式中，正確的結(jié)果是 C A、 B、C、 D、二、基本積分表由于積分是微分的逆運(yùn)算，因此可以有微分基本表導(dǎo)出積分表。見(jiàn)課本積分表。三不定積分的性質(zhì)根據(jù)不定積分的定義，可以推得它的如下兩個(gè)性質(zhì)：性質(zhì)1 函數(shù)的和的不定積分等于各個(gè)函數(shù)的不定積分的和，即.注意：差的積分等于積分的差性質(zhì)2 求不定積分時(shí),被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來(lái),即(是常數(shù),).例 1 求.解 =例2 例3例44.2 換元積分法一、內(nèi)容要點(diǎn)舉較多的例以說(shuō)明利用換元積分法求不定積分的基本方法1、教材上的例1-例3，講解時(shí)充分強(qiáng)調(diào)第一換元積分法“湊微分”的基本方法，強(qiáng)調(diào)熟

7、悉一些簡(jiǎn)單函數(shù)的微分的重要性；2、 材上的例4-例11，講解時(shí)充分強(qiáng)調(diào)第一換元積分法應(yīng)結(jié)合被積函數(shù)的代數(shù)恒等變形等手段求不定積分；3、教材上的例12-例20，講解時(shí)強(qiáng)調(diào)要充分利用三角函數(shù)的代數(shù)特性及微分特性求不定積分；萬(wàn)能變換的應(yīng)用及其與三角函數(shù)恒等變形方法之間的關(guān)系。二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)教學(xué)要求：了解第一換元積分法的意義及證明方法；掌握第一換元積分法求不定積分的基本方法和步驟；熟悉一些常見(jiàn)簡(jiǎn)單函數(shù)的微分。了解第二換元積分法的意義及證明方法；掌握第二換元積分法求不定積分的基本方法和步驟；強(qiáng)調(diào)第二換元發(fā)與第一換元法之間的區(qū)別，了解第二換元積分法適用的函數(shù)類(lèi)型。教學(xué)注意點(diǎn)：1、由不定積分的意義引入

8、換元積分法的公式；2、由不定積分的意義證明第一換元公式的正確性；3、講解利用第一換元法求不定積分的基本方法和步驟4、由不定積分的意義引入第二換元積分法的公式；5、由不定積分的意義證明第二換元公式的正確性；6、講解利用第二換元法求不定積分的基本方法和步驟，強(qiáng)調(diào)換元函數(shù)的可逆性。7、例題：舉例以說(shuō)明利用第二換元積分法求不定積分的基本方法8、教材上的例21-例24，說(shuō)明第二換元法的基本方法和適應(yīng)的函數(shù)；9、介紹二次多項(xiàng)式的平方根的積分方法利用基本積分表與積分的性質(zhì),所能計(jì)算的不定積分是非常有限的.因此,有必要進(jìn)一步來(lái)研究不定積分的求法.把復(fù)合函數(shù)的微分法反過(guò)來(lái)求不定積分,利用中間變量的代換,得到復(fù)合

9、函數(shù)的積分法,稱為換元積分法,簡(jiǎn)稱換元法.換元法通常分成兩類(lèi).一、 第一類(lèi)換元法 設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u)，即和令u =(x)，其中(x)是可導(dǎo)的，則F(u)=F(x)顯然是復(fù)合函數(shù)，又由于：這說(shuō)明，則定理1 設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u), u =(x)可導(dǎo), 則有換元公式:注意：1.不是的原函數(shù)！2. F(u)是f(u)的原函數(shù)是針對(duì)積分變量u而言的，是的原函數(shù)是針對(duì)積分變量x而言的。3. 運(yùn)用第一類(lèi)積分換元法關(guān)鍵在于設(shè)法將被積函數(shù)湊成的形式，在令變成不定積分進(jìn)行計(jì)算，最后用進(jìn)行回代。4. 在下，例1 求2cos2xdx.解 作變換u=2x,便有2cos2xdx =cos2x2dx =c

10、os2x(2x) dx =cos u du = sin u+C,再以u(píng)=2x代入,即得2cos2xdx =sin 2x+C.例2 求tan x dx.解 tan x dx =sin x /cos x dx.因?yàn)?-sin x dx = d cos x,所以如果設(shè)u=cos x,那么du=-sin xdx,即 -du=sin xdx,因此.類(lèi)似地可得cot x dx =ln|sin x|+C.在對(duì)變量代換比較熟練以后,就不一定寫(xiě)出中間變量u.例3 求ch(x/a) dx.解 .例4 求 (a0).解 .下面的一些求積分的例子,它們的被積函數(shù)中含有三角函數(shù),在計(jì)算這種積分的過(guò)程中,往往要用到一些三

11、角恒等式.例5 求sin3 x dx.解 sin3x dx =sin2x sinx dx=-(1-cos2x)d(cosx)=-d(cosx)+cos2xd(cosx)=-cosx+(1/3)cos3x+C.例6 求cos2 x dx.解 .附加：1、2、 3、4、5、6、利用定理1來(lái)求不定積分,一般卻比利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要來(lái)的困難,因?yàn)槠渲行枰欢ǖ募记?而且如何適當(dāng)?shù)倪x擇變量代換u=(x)沒(méi)有一般途徑可循,因此要掌握換元法,除了熟悉一些典型的例子外,還要做較多的練習(xí)才行.二、第二類(lèi)換元法第二類(lèi)換元法從 形式上看與第一類(lèi)換元法恰好相反，它是將不定積分通過(guò)轉(zhuǎn)換成來(lái)計(jì)算，但有幾點(diǎn)

12、需要說(shuō)明。1要存在，2盡量尋找這樣的使容易求出，3。求出后要用將積分變量換回到x,因此這里還要求的反函數(shù)存在。定理2 設(shè)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù), 并且. 又設(shè)具有原函數(shù),，則f(x)具有原函數(shù)則有換元公式：其中是的反函數(shù).證明：所以是f(x)的原函數(shù)，從而例1 求 (a0)解 求這個(gè)積分的困難在于有根式,但我們可以利用三角公式sin2t+cos2t=1來(lái)化去根式.設(shè)x=asint,-/2t/2,那么,于是根式化為了三角式,所求積分化為.利用例6的結(jié)果得.由于x=asint,-/2t/2,所以,于是所求積分為.具體解題時(shí)要分析被積函數(shù)的具體情況,選取盡可能簡(jiǎn)捷的代換.注意 檢驗(yàn)積分結(jié)果是否正確,只

13、要對(duì)結(jié)果求導(dǎo),看它的導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)，相等時(shí)結(jié)果是正確的，否則結(jié)果是錯(cuò)誤的。常用變量代換(1)被積函數(shù)中含有二次根式，令，令，令如是配方1例2、令xt 解：原式 例3、二種解法 （2）被積函數(shù)中含一般根式例4、解：令原式 例5、令原式例6、解：令 原式 4.3分部積分法一、內(nèi)容要點(diǎn)1、分部積分法：由不定積分的意義引入不定積分的分部積分公式；教材上的例1-例7，說(shuō)明分部積分法的基本方法及其特性；教材上的例8-例10，說(shuō)明應(yīng)注意分部積分法應(yīng)與其它的方法結(jié)合使用。2、有理式的積分：有理式分解的最后形式和分解方法；有理式分解后每一部分的積分法；例：分解及說(shuō)明分解的步驟。二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)教學(xué)要求

14、：了解分部積分法的意義及證明方法；掌握分布積分法的基本步驟和適應(yīng)函數(shù)；了解有理式積分的基本思想及有理式分解的基礎(chǔ)這是一個(gè)新的積分方法，設(shè)u(x),v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有，即，兩邊同時(shí)積分則有，即，上式就是分布積分公式。注意：使用分部積分的關(guān)鍵是如何選取u和v例1、 例2、 例3、例4、 例5、 例6、 例7、 例8、 例9、 例10、 例11、注意：1一般而言分部積分法和換元法同時(shí)使用會(huì)有更好的效果。2分部積分常適用于下列積分等等。44幾種特殊類(lèi)型的函數(shù)積分舉例一、內(nèi)容要點(diǎn)1、有理函數(shù)的積分：例1-例4，說(shuō)明有理函數(shù)積分的基本方法和步驟；三角有理似的積分，說(shuō)明三角有理式的積分可通過(guò)萬(wàn)能變換化為有理式的積分，用教材上的例5說(shuō)明；無(wú)理式的積分，用例6-例9說(shuō)明一次無(wú)理式和二次無(wú)理式可通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q化為有理式的積分，并總結(jié)變換式的規(guī)律；2、歸納不定積分的積分方法和應(yīng)注意的地方二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)掌握有理函數(shù)積分的基本方法；歸納不定積分的積分方法和應(yīng)注意的地方一有理函數(shù)的積分舉例 有理函數(shù)是指形如，其中 ,m,n為正整數(shù)或者0，都是常數(shù)，且，當(dāng)nm是真分式，當(dāng)時(shí)是假分式，但總可以通過(guò)多項(xiàng)式除法寫(xiě)成一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)真分式的和，因此問(wèn)題就集中在解決真分式的積分問(wèn)題。定理1：任何實(shí)多項(xiàng)式都可以分解成為一次因式與二次因式的乘積。定理2：有理函數(shù)的分解部分分