微分中值定理的證明與推廣

1、微分中值定理的證明與推廣孫紅娟 01211018（徐州師范大學 數(shù)學系 徐州 221116）摘 要 本文分別用兩種方法證明了柯西中值定理及拉格朗日中值定理，并對微分中值定理加以推廣.關鍵詞 發(fā)現(xiàn)法；行列式型輔助函數(shù)；推廣0. 引言在數(shù)學分析中, 微分中值定理占有非常重要的地位,微積分的許多命題和不等式的證明都以它為依據(jù), 在證明有關中值問題中具有極其重要的作用.可以講,學好微分中值定理, 能為進一步學好微積分理論打下堅實的理論基礎.但我們在學習時卻感到比較困難, 本文分別用兩種方法證明柯西中值定理和拉格朗日中值定理, 并對微分中值定理加以推廣.1中值定理的證明 微分中值定理關于柯西中值定理的證

2、明中, 文獻1介紹了一種可精簡教學過程和教學時間, 而且對培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維能力十分有益的“發(fā)現(xiàn)法”. 從中我們可以得到兩個推論.羅爾定理（定理1）：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù), 在開區(qū)間內可導, 且則在推論1：且證：假設，根據(jù)羅爾定理，這與條件在內，矛盾，故推論 2：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內可導，且，其中為常數(shù)，則在內存在一點，使證 由于，故 構造函數(shù)滿足條件，于是滿足羅爾定理的全部條件，因而.又因推論(1)中內的條件,知:.所以 即 .柯西中值定理(定理2):.若（1）函數(shù)都在閉區(qū)間上連續(xù), （2）都在開區(qū)間內可導，（3）, （4）則在內至少存在一點,使得:證法一 由推論1和推論2 直接

3、可得到柯西中值定理.證法二 (2)1預備定理:設函數(shù)在點處可導,若這導數(shù)則當取右方充分接近于的數(shù)值時,就有.而當取左方接近于的數(shù)值時,就有2達布定理:若函數(shù)在閉區(qū)間上可導,且，為介于及之間的任一實數(shù)，則至少存在一點，使得證明柯西中值定理: 設由于在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內可導，可知在上連續(xù),在內可導，且容易得出. 下證：一定有，使得，因若不然，假定在內，則依達布定理,在內不能異號，因此或，而由預備定理，在兩種情況下都有這與相矛盾，因此必有，使得，即 （1）如果，則由，推出，這與假設不同時為零相矛盾，因此.（1）式兩端同除以，則得：拉格朗日中值定理（定理3）：設函數(shù)滿足條件（1）在閉區(qū)間上連續(xù)，

4、 （2）在開區(qū)間內可導，則在內至少存在一點,使得：證法一 根據(jù)“發(fā)現(xiàn)”法可證：設，則，即.造函數(shù)滿足條件，于是滿足羅爾定理的全部條件.而有：，即，故根據(jù)文獻3中習題11的思考，我們還可以構造行列式型輔助函數(shù)來證明定理3.證法二 設因在上連續(xù),在內可導，所以在上連續(xù),在內可導，且，故由羅爾定理知，至少存在一點，使得所以2微分中值定理的推廣定理4：設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內可導,則在內至少存在一點,使得： 證 作輔助函數(shù) 則在上連續(xù),在內可導，且，故由羅爾定理知，至少存在一點，使得，即當時，就可得到柯西中值定理；當，又可得到拉格朗日中值定理.故定理4可以看作是中值定理的一般形式.假如我們把羅

5、爾中值定理也作為一般定理的特殊情形，定理4又可以這樣證明另證：因為在上連續(xù)，則在上必有最大最小值.因為，所以最大最小值至少有一個在內的某一點處取得，因為在內每一點可導，所以在處可導.因為是最大值（最小值也一樣），所以也是極大值.由于在處可導，由極限存在的必要條件知，即我們試著把三個函數(shù)推廣到四個函數(shù)，則有：定理5：設函數(shù)均在上連續(xù),在內二階可導,則 ，至少存在一點,使得：證:,設顯然，在上連續(xù),在內二階可導，且由羅爾定理知，,使，再由羅爾定理知：，使即我們還可以把這個推論推廣到個函數(shù)的情形：定理6：設函數(shù)均在上連續(xù),在內階可導,則對 ，至少存在一點,使得證：對，設顯然，在上連續(xù),在內階可導,且

6、，由羅爾定理知, ,使得,再次運用羅爾定理, ,使得,即:通過上面的分析與證明的過程中，不僅解決了微分中值定理的證明問題，而且推廣了微分中值定理.同時，讓我們看到教材上的結論并不終極，提高了我們的發(fā)散思維能力和創(chuàng)新能力.參考文獻:1張弘.微分中值定理的又一證明方法J.重慶交通學院學報.2004,(23):129-130.2 劉永志.柯西中指定理的一個證法J.數(shù)學通報.1990(1):42.3 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(第二版)M.北京:高等教育出版社.2000.4 侯謙民.中值定理的推廣J.武漢職業(yè)技術學院學報.2003,6：81-82. 5 胡付高.微分中值定理的推廣及應用.孝感學院報（

7、自然科學版）.2000，11：16-18.6 宋基華， 彭鑫根.微分中值定理的一種證明方法.北京石油化工學院學報.1995，6：26-28.7 童子雙，楊志芳. Lagrange微分中值定理的分析證明法.金華職業(yè)技術學院學報.2003：56-57.Proving and Spreading of the Differential Mean Value TheoremSun Hong Juan (Department of Mathematics , Xuzhou Normal University, Xuzhou 221116)Abstract The paper has given two methods to prove Cauchys & Lagranges mean value theorems and the spreadi