Z變換及逆變換與 穩(wěn)定性

1、數(shù)字信號處理課 程 設(shè) 計(jì)課程名稱數(shù)字信號處理題目名稱Z變換及逆變換與穩(wěn)定性專業(yè)班級電子信息（12）學(xué)生姓名 學(xué) 號指導(dǎo)教師二年月日Z變換-反變換求系統(tǒng)響應(yīng)及穩(wěn)定性判斷引言1數(shù)字信號處理2MATLAB2GUI2課題相關(guān)2設(shè)計(jì)要求1理論知識1離散時間系統(tǒng)2Z變換2數(shù)字信號處理2離散時間系統(tǒng)的頻域分析2系統(tǒng)函數(shù)6因果性和穩(wěn)定在Z域的描述6系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)位置6MATLAB仿真1M腳本涉及函數(shù)2GUI控件介紹2常用控件6控件的公共屬性6程序?qū)崿F(xiàn)1穩(wěn)定系統(tǒng)I5穩(wěn)定系統(tǒng)II5非穩(wěn)定系統(tǒng)5致謝1參考文獻(xiàn)4附錄11 引 言1.1 數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理就是用數(shù)值計(jì)算的方式對信號進(jìn)行加工的理論和技術(shù)，它的英

2、文原名叫digital signal processing，簡稱DSP。另外DSP也是digital signal processor的簡稱，即數(shù)字信號處理器，它是集成專用計(jì)算機(jī)的一種芯片，只有一枚硬幣那么大。有時人們也將DSP看作是一門應(yīng)用技術(shù)，稱為DSP技術(shù)與應(yīng)用。數(shù)字信號處理是將信號以數(shù)字方式表示并處理的理論和技術(shù)。數(shù)字信號處理與模擬信號處理是信號處理的子集。數(shù)字信號處理的目的是對真實(shí)世界的連續(xù)模擬信號進(jìn)行測量或?yàn)V波。因此在進(jìn)行數(shù)字信號處理之前需要將信號從模擬域轉(zhuǎn)換到數(shù)字域，這通常通過模數(shù)轉(zhuǎn)換器實(shí)現(xiàn)。而數(shù)字信號處理的輸出經(jīng)常也要變換到模擬域，這是通過數(shù)模轉(zhuǎn)換器實(shí)現(xiàn)的。1.2 MATLAB

3、MATLAB是美國MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算的高級技術(shù)計(jì)算語言和交互式環(huán)境，主要包括MATLAB和Simulink兩大部分。MATLAB是matrix&laboratory兩個詞的組合，意為矩陣工廠（矩陣實(shí)驗(yàn)室）。是由美國mathworks公司發(fā)布的主要面對科學(xué)計(jì)算、可視化以及交互式程序設(shè)計(jì)的高科技計(jì)算環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成在一個易于使用的視窗環(huán)境中，為科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)以及必須進(jìn)行有效數(shù)值計(jì)算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互

4、式程序設(shè)計(jì)語言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當(dāng)今國際科學(xué)計(jì)算軟件的先進(jìn)水平。MATLAB和Mathematica、Maple并稱為三大數(shù)學(xué)軟件。它在數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用軟件中在數(shù)值計(jì)算方面首屈一指。MATLAB可以進(jìn)行矩陣運(yùn)算、繪制函數(shù)和數(shù)據(jù)、實(shí)現(xiàn)算法、創(chuàng)建用戶界面、連接其他編程語言的程序等，主要應(yīng)用于工程計(jì)算、控制設(shè)計(jì)、信號處理與通訊、圖像處理、信號檢測、金融建模設(shè)計(jì)與分析等領(lǐng)域。1.3 GUIGUI是提供人機(jī)交互的工具和方法。GUI是包含圖形對象，如窗口、圖標(biāo)、菜單和文本的用戶界面。以某種方式選擇或激活這些對象，通常引起動作或發(fā)生變化。最長常的激活方法是用鼠標(biāo)或其他單擊設(shè)備去選擇或激

5、活這些對象，通常引起動作或發(fā)生變化。最常見的激活方法是用鼠標(biāo)或其他單擊設(shè)備去控制屏幕上鼠標(biāo)指針的運(yùn)動。單擊鼠標(biāo)，標(biāo)志著對象的選擇或其他動作。一個設(shè)計(jì)優(yōu)秀的GUI能夠非常直觀地讓用戶知道如何操作MATLAB界面，了解設(shè)計(jì)者開發(fā)意圖。令人興奮的是，對于絕大多數(shù)使用GUI的計(jì)算機(jī)用戶都知道如何去應(yīng)用GUIDE的標(biāo)準(zhǔn)控件，這也為GUI設(shè)計(jì)提供了廣闊的前景。MATLAB的GUI為開發(fā)者提供了一個不脫離MATLAB的開發(fā)環(huán)境，有助于MATLAB程序的集成。1.4 課題相關(guān)利用MATLAB及其GUI功能通過z變換-反變換的方法求取線性離散系統(tǒng)（LTI）的響應(yīng)。2 設(shè)計(jì)要求利用z變換-反變換的方法求取系統(tǒng)的響

6、應(yīng)，判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。具體要求：設(shè)計(jì)三個離散的線性定常系統(tǒng)（其中應(yīng)包括穩(wěn)定的和不穩(wěn)定的），并利用Z變換和反變換的方法計(jì)算系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)，并通過極點(diǎn)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3 理論知識3.1 離散時間系統(tǒng)3.1.1 離散時間系統(tǒng)定義離散時間線性定常系統(tǒng)（也稱線性時不變系統(tǒng)）（Linear time invariant，LTI）是指該離散系統(tǒng)既是線性系統(tǒng)又是時不變系統(tǒng)。離散時間系統(tǒng)的性質(zhì)3.1.2 離散時間系統(tǒng)重要性質(zhì)齊次性：若激勵x(n）產(chǎn)生的響應(yīng)為y(n），則激勵A(yù) x(n）產(chǎn)生的響應(yīng)即為A y(n），此性質(zhì)即為齊次性。其中A為任意常數(shù)。疊加性：若激勵x1(n）與x2(n）產(chǎn)生的響

7、應(yīng)分別為y1(n）， y2(n），則激勵x1(n)+x2(n）產(chǎn)生的響應(yīng)即為y1(n)+y2(n），此性質(zhì)稱為疊加性。線性：若激勵x1(n）與x2(n）產(chǎn)生的響應(yīng)分別為y1(n）， y2(n），則激勵A(yù)1x1(n)+A2x2(n）產(chǎn)的響應(yīng)即為A1y1(n)+A2y2(n），此性質(zhì)稱為線性。時不變性：若激勵x(n）產(chǎn)生的響應(yīng)為y(n），則激勵x(n-n0）產(chǎn)生的響應(yīng)即為y(n-n0），此性質(zhì)稱為時不變性，也稱定常性或延遲性。它說明，當(dāng)激勵x(n）延遲時間n0時，其響應(yīng)y(n）也延遲時間n0，且波形不變。3.2 Z變換3.2.1 Z變換的定義及性質(zhì)Z變換（英文：z-transformation）可

8、將時域信號（即：離散時間序列）變換為在復(fù)頻域的表達(dá)式。單邊Z變換：通常意義下的Z變換指單邊Z變換，單邊Z變換只對右邊序列（n0部分）進(jìn)行Z變換。表達(dá)式：XZ=n=0+xnZ-n單邊Z變換可以看成是雙邊Z變換的一種特例，對于因果序列雙邊Z變換與單邊Z變換相同。Z變換有線性性、序列移位、時域卷積、頻移、頻域微分等性質(zhì)。3.2.2 收斂域Z變換的存在充分必要條件是：級數(shù)絕對可和。使級數(shù)絕對可和的成立的所有Z值稱為Z變換域的收斂域。由Z變換的表達(dá)式及其對應(yīng)的收斂域才能確定原始的離散序列。收斂域可用公式表示為：ROC=z:n=-+xnz-n Z變換收斂域的特點(diǎn)：(1) 收斂域是一個圓環(huán)，有時可向內(nèi)收縮到

9、原點(diǎn)，有時可向外擴(kuò)展到，只有x(n)=(n)的收斂域是整個Z平面；(2)在收斂域內(nèi)沒有極點(diǎn)，X(Z)在收斂域內(nèi)每一點(diǎn)上都是解析函數(shù)。3.2.3 逆Z變換定義已知Z變換X(Z)求對應(yīng)的離散時間序列xn稱為Z變換的逆變換。逆Z變換的定義式為：xn=12jcXzzn-1 dz c(Rx- ,Rx+)逆Z變換是一個對Z進(jìn)行的圍線積分，積分路徑C是一條在X(Z)收斂環(huán)域（Rx-，Rx+）以內(nèi)逆時針方向繞原點(diǎn)一周的單圍線。3.2.4 解逆Z變換常用方法(1) 部分分式展開法部分分式展開法：部分分式法又稱查表法，其基本思想是根據(jù)已知的 ，通過查Z變換表找出相應(yīng)的 ，或者 ，采用部分分式法可以求出離散函數(shù)的閉

10、合形式。其方法與求拉普拉斯反變換的部分分式法相似。稍有不同的是，由于 在分子中通常都含有z，因此先將 除以z然后再展開為部分分式，最后將所得結(jié)果的每一項(xiàng)都乘以z，即得 的部分分式展開式。(2)留數(shù)法對于有理的Z變換，圍線積分通?？捎昧魯?shù)定律計(jì)算，xn=ResXZZn-1,Zk，即為X(Z)Zn-1，在圍線C內(nèi)所有極點(diǎn)Zk上留數(shù)值得總和。3.3 離散時間系統(tǒng)的頻域分析3.3.1 系統(tǒng)函數(shù)我們知道，用單位脈沖響應(yīng)h(n)可以表示線性時不變離散系統(tǒng)，這時y（n）=x（n）*h（n）兩邊取z變換： Y(z)=X(z) H(z) ,Hz=YZXZ則定義為系統(tǒng)函數(shù)。它是單位脈沖響應(yīng)的z變換。單位圓上的系統(tǒng)

11、函數(shù)z=e就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。所以可以用單位脈沖響應(yīng)的z變換來描述線性時不變離散系統(tǒng)。3.3.2 因果性和穩(wěn)定性在Z域的描述(1) 因果性 因果系統(tǒng)：因果系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸出y(n)只取決于此時，以及此時以前的輸入，即x(n)，x(n-1)，x(n-2)等。相反，如果系統(tǒng)的輸出y(n)不僅取決于現(xiàn)在和過去的輸入，而且還取決于未來的輸入，如x(n+1)，x(n+2)等，這在時間上就違背了因果規(guī)律，因而它是非因果系統(tǒng)，也就是不現(xiàn)實(shí)的系統(tǒng)。一個線性時不變系統(tǒng)具有因果性的充要條件為：時域：當(dāng)n0時，h(n)=0Z域：當(dāng)H(z)的收斂域包括點(diǎn)，即ROC:Rx-|Z| (2) 穩(wěn)定性穩(wěn)定系統(tǒng)：只要輸入序列是有界的，其輸出必定是有界的，這樣的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。一個線性時不變系統(tǒng)具有穩(wěn)定性的充要條件為:時域：n=-h(n)Z域：H(z)的收斂域包含單位圓(3) 因果穩(wěn)定因果穩(wěn)定系統(tǒng)：同時滿足因果性、穩(wěn)定性。因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)的收斂域?yàn)椋簉|Z| (r=1) disp(系統(tǒng)不穩(wěn)定); else disp(系統(tǒng)穩(wěn)定); end;subplot(3,1,