薛定諤方程一維勢阱

1、第十一章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程 一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 薛定諤方程一維勢阱 量子力學(xué)建立于量子力學(xué)建立于 1923 1927 年間，兩個等價年間，兩個等價 的理論的理論矩陣力學(xué)和波動力學(xué)。矩陣力學(xué)和波動力學(xué)。 相對論量子力學(xué)（相對論量子力學(xué)（1928 年，狄拉克）：描述高年，狄拉克）：描述高 速運(yùn)動的粒子的波動方程。速運(yùn)動的粒子的波動方程。 Erwin Schrodinger，18871961） 奧地利物理學(xué)家。奧地利物理學(xué)家。 1926年建立了以薛定諤方程為年建立了以薛定諤方程為 基礎(chǔ)的波動力學(xué)基礎(chǔ)的波動力學(xué),并建立了量

2、子力學(xué)并建立了量子力學(xué) 的近似方法。的近似方法。 第十一章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程 一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 薛定諤方程一維勢阱 薛定諤是奧地利著名的理論物理學(xué)家，量子力學(xué)薛定諤是奧地利著名的理論物理學(xué)家，量子力學(xué) 的重要奠基人之一，同時在固體的比熱、統(tǒng)計(jì)熱力的重要奠基人之一，同時在固體的比熱、統(tǒng)計(jì)熱力 學(xué)、原子光譜及鐳的放射性等方面的研究都有很大學(xué)、原子光譜及鐳的放射性等方面的研究都有很大 成就。成就。 薛定諤的波動力學(xué)，是在德布羅意提出的物質(zhì)薛定諤的波動力學(xué)，是在德布羅意提出的物質(zhì) 波的基礎(chǔ)上建立起來的。他把物質(zhì)波表示成數(shù)

3、學(xué)形波的基礎(chǔ)上建立起來的。他把物質(zhì)波表示成數(shù)學(xué)形 式，建立了稱為薛定諤方程的量子力學(xué)波動方程。式，建立了稱為薛定諤方程的量子力學(xué)波動方程。 薛定諤方程在量子力學(xué)中占有極其重要的地位，它薛定諤方程在量子力學(xué)中占有極其重要的地位，它 與經(jīng)典力學(xué)中的牛頓運(yùn)動定律的價值相似。在經(jīng)典與經(jīng)典力學(xué)中的牛頓運(yùn)動定律的價值相似。在經(jīng)典 極限下，薛定諤方程可以過渡到哈密頓方程。薛定極限下，薛定諤方程可以過渡到哈密頓方程。薛定 諤方程是量子力學(xué)中描述微觀粒子諤方程是量子力學(xué)中描述微觀粒子( (如電子等如電子等) )運(yùn)動狀運(yùn)動狀 態(tài)的基本定律，在粒子運(yùn)動速率遠(yuǎn)小于光速的條件態(tài)的基本定律，在粒子運(yùn)動速率遠(yuǎn)小于光速的條件

4、 下適用。下適用。 第十一章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程 一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 薛定諤方程一維勢阱 薛定諤對分子生物學(xué)的發(fā)展也做過工作。由于薛定諤對分子生物學(xué)的發(fā)展也做過工作。由于 他的影響，不少物理學(xué)家參與了生物學(xué)的研究工作，他的影響，不少物理學(xué)家參與了生物學(xué)的研究工作， 使物理學(xué)和生物學(xué)相結(jié)合，形成了現(xiàn)代分子生物學(xué)的使物理學(xué)和生物學(xué)相結(jié)合，形成了現(xiàn)代分子生物學(xué)的 最顯著的特點(diǎn)之一。最顯著的特點(diǎn)之一。 薛定諤對原子理論的發(fā)展貢獻(xiàn)卓著，因而于薛定諤對原子理論的發(fā)展貢獻(xiàn)卓著，因而于1933 年同英國物理學(xué)家狄拉克共獲諾貝爾物理獎

5、金。年同英國物理學(xué)家狄拉克共獲諾貝爾物理獎金。 (18871961) 在量子力學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動狀態(tài)由波函數(shù)來在量子力學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動狀態(tài)由波函數(shù)來 描寫；狀態(tài)隨時間的變化遵循著一定的規(guī)律。描寫；狀態(tài)隨時間的變化遵循著一定的規(guī)律。1926年，年， 薛定諤在德布羅意關(guān)系和態(tài)疊加原理的基礎(chǔ)上，建立薛定諤在德布羅意關(guān)系和態(tài)疊加原理的基礎(chǔ)上，建立 了勢場中微觀粒子的微分方程，并提出了一系列理論了勢場中微觀粒子的微分方程，并提出了一系列理論 體系，當(dāng)時被稱作波動力學(xué)，現(xiàn)在統(tǒng)稱量子力學(xué)。體系，當(dāng)時被稱作波動力學(xué)，現(xiàn)在統(tǒng)稱量子力學(xué)。 第十一章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程

6、一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 薛定諤方程一維勢阱 1、薛定諤方程建立應(yīng)滿足的條件、薛定諤方程建立應(yīng)滿足的條件 （1）波函數(shù)應(yīng)滿足含有時間微商的微分方程）波函數(shù)應(yīng)滿足含有時間微商的微分方程。 （2）要建立的方程是線性的，即如果）要建立的方程是線性的，即如果 1 、 2是方程的是方程的 解，則解，則 1 和和 2的線性疊加的線性疊加a 1+b 2 也應(yīng)是方程也應(yīng)是方程 的解（量子力學(xué)態(tài)的疊加原理）。的解（量子力學(xué)態(tài)的疊加原理）。 （3）這個方程應(yīng)該是普適的，其系數(shù)不應(yīng)含有狀態(tài)參）這個方程應(yīng)該是普適的，其系數(shù)不應(yīng)含有狀態(tài)參 量（動量、能量等）。量（動量、能量等）。 11

7、.7 薛定諤方程薛定諤方程 （4）經(jīng)典力學(xué)中自由粒子動量與能量的關(guān)系（非相對）經(jīng)典力學(xué)中自由粒子動量與能量的關(guān)系（非相對 論關(guān)系）論關(guān)系）E=p2/2m在量子力學(xué)中仍成立。在量子力學(xué)中仍成立。 第十一章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程 一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 薛定諤方程一維勢阱 )( 0 ),( xpEt i etx 沿沿x方向運(yùn)動的動能為方向運(yùn)動的動能為E和動量為和動量為 的自由粒子的波函數(shù)的自由粒子的波函數(shù)p ),( ),( txE i t tx 2、單能自由粒子（沿、單能自由粒子（沿x方向勻速運(yùn)動）的薛定諤方程方向勻速運(yùn)動）的

8、薛定諤方程 2 22 2 1 p x p i x 分別對時間和位置坐標(biāo)求偏導(dǎo)數(shù)得：分別對時間和位置坐標(biāo)求偏導(dǎo)數(shù)得： 第十一章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程 一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 薛定諤方程一維勢阱 0 2 2 22 t i xm 這就是一維自由運(yùn)動粒子的薛定諤方程這就是一維自由運(yùn)動粒子的薛定諤方程 。 2 2 2 2 p x E t i 利用利用E=P2/2m 整理得：整理得： 第十一章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程 一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 薛定諤方程一維勢阱 3、

9、勢場中單能粒子（沿、勢場中單能粒子（沿x方向勻速運(yùn)動）的薛定諤方程方向勻速運(yùn)動）的薛定諤方程 此時粒子具有的能量：此時粒子具有的能量： V m P VEE K 2 2 同樣導(dǎo)出：同樣導(dǎo)出： m p xm22 2 2 22 ),( ),( txE t tx i 這就是勢場中單能粒子的薛定諤方程這就是勢場中單能粒子的薛定諤方程 t iV xm 2 22 2 利用利用E=P2/2m得：得： 第十一章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程 一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 薛定諤方程一維勢阱 對勢場中三維運(yùn)動的粒子對勢場中三維運(yùn)動的粒子 t itzyxV

10、zyxm ),()( 2 2 2 2 2 2 22 引入拉普拉斯算符：引入拉普拉斯算符： 則有則有 2 2 2 2 2 2 2 zyx t itzyxV m ),( 2 2 2 再引入哈密頓算符：再引入哈密頓算符： 則有則有 ),( 2 2 2 tzyxV m H t iH 一般的薛定諤方程一般的薛定諤方程 第十一章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程 一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 薛定諤方程一維勢阱 4、 定態(tài)薛定諤方程（即定態(tài)薛定諤方程（即V(x,y,z)是不隨時間變化）是不隨時間變化） 若作用在粒子上的勢場不顯含時間若作用在粒子上的勢場

11、不顯含時間 t ，在經(jīng)典，在經(jīng)典 力學(xué)中這相應(yīng)于粒子機(jī)械能守恒的情況，可用分離力學(xué)中這相應(yīng)于粒子機(jī)械能守恒的情況，可用分離 變量法求薛定諤方程的特解。變量法求薛定諤方程的特解。 )()(),(:tfrtr 設(shè) dt tdf ritfrrVrtf m )( )()()()()()( 2 2 2 兩邊除以兩邊除以 可得：可得：)()(tfr dt tdf tf irrVr mr )( )( 1 )()()( 2 )( 1 2 2 第十一章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程 一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 薛定諤方程一維勢阱 由于空間變量與時間變量

12、相互獨(dú)立，所以等式由于空間變量與時間變量相互獨(dú)立，所以等式 兩邊必須等于同一個常數(shù)，設(shè)為兩邊必須等于同一個常數(shù)，設(shè)為E則有：則有： )()()( 2 2 2 rErrV m 0)()( 2 )( 2 2 rVE m r )( )( tEf dt tdf ict i E tf )(ln )exp()(Et i Atf （定態(tài)薛定諤方程）（定態(tài)薛定諤方程） 第十一章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程 一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 薛定諤方程一維勢阱 與自由粒子波函數(shù)類比，與自由粒子波函數(shù)類比，E具有能量的量綱，它具有能量的量綱，它 代表粒子的能

13、量。代表粒子的能量。 把常數(shù)把常數(shù)A歸到空間部分，薛定諤方程的特解可歸到空間部分，薛定諤方程的特解可 寫為：寫為： )exp()(),(Et i Artr （定態(tài)波函數(shù)）（定態(tài)波函數(shù)） )()(),(),(rrtrtr 對應(yīng)的幾率密度與時間無關(guān)。即：對應(yīng)的幾率密度與時間無關(guān)。即： 處于定態(tài)下的粒子具有確定的能量處于定態(tài)下的粒子具有確定的能量E、粒子在空粒子在空 間的概率密度分布不隨時間變化，而且力學(xué)量的測量間的概率密度分布不隨時間變化，而且力學(xué)量的測量 值的幾率分布和平均值都不隨時間變化。值的幾率分布和平均值都不隨時間變化。 第十一章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程

14、一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 薛定諤方程一維勢阱 量子力學(xué)的處理方法量子力學(xué)的處理方法 （1）已知粒子的）已知粒子的m，勢能函數(shù)勢能函數(shù)V，即可給出薛定諤即可給出薛定諤 方程方程 （2）由給定的初、邊值條件，求出波函數(shù)）由給定的初、邊值條件，求出波函數(shù) （3）由波函數(shù)）由波函數(shù) 給出不同地點(diǎn)、時刻粒子的幾率給出不同地點(diǎn)、時刻粒子的幾率 密度密度| |2 下面以一維無限深勢阱為例，求解定態(tài)薛定諤方程下面以一維無限深勢阱為例，求解定態(tài)薛定諤方程 第十一章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程 一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)

15、院 薛定諤方程一維勢阱 11.8 一維無限深方勢阱一維無限深方勢阱 1、以一維定態(tài)為例，求解已知勢場的定態(tài)薛定諤方程。、以一維定態(tài)為例，求解已知勢場的定態(tài)薛定諤方程。 了解怎樣確定定態(tài)的能量了解怎樣確定定態(tài)的能量E，從而看出能量量子化是薛，從而看出能量量子化是薛 定諤方程的自然結(jié)果。定諤方程的自然結(jié)果。 axxV0, 0)( axxxV, 0,)( 已知粒子所處的勢場為已知粒子所處的勢場為： 粒子在勢阱內(nèi)受力為零，勢能為零。粒子在勢阱內(nèi)受力為零，勢能為零。 在阱外勢能為無窮大，在阱壁上受在阱外勢能為無窮大，在阱壁上受 極大的斥力。稱為一維無限深勢阱。極大的斥力。稱為一維無限深勢阱。 其定態(tài)薛定

16、諤方程其定態(tài)薛定諤方程： )()()( )( 2 2 22 xExxV dx xd m )(xV x ao 第十一章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程 一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 薛定諤方程一維勢阱 axxxEx dx xd m , 0)()( )( 2 2 22 axoxE dx xd m )( )( 2 2 22 在阱內(nèi)粒子勢能為零，滿足：在阱內(nèi)粒子勢能為零，滿足： 在阱外粒子勢能為無窮大，滿足：在阱外粒子勢能為無窮大，滿足： 方程的解必處處為零：方程的解必處處為零：axxx, 00)( 根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件，在邊界上根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)

17、準(zhǔn)化條件，在邊界上0)(, 0) 0 (a 粒子被束縛在阱內(nèi)運(yùn)動。粒子被束縛在阱內(nèi)運(yùn)動。 第十一章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程 一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 薛定諤方程一維勢阱 axoxkx mE dx xd )()( 2)( 2 22 2 在阱內(nèi)的薛定諤方程可寫為：在阱內(nèi)的薛定諤方程可寫為： 類似于簡諧振子的方程，其通解：類似于簡諧振子的方程，其通解： kxBkxAxcossin)( 代入邊界條件得：代入邊界條件得： 00cos0sin)0(BA 0cossin)(kaBkaAa 解得：解得： , 3 , 2 , 10nnkaB n

18、不能取零，否則無意義。不能取零，否則無意義。 第十一章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程 一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 薛定諤方程一維勢阱 2 2 2 mE k 因?yàn)橐驗(yàn)?, 3 , 2 , 1nnka , 3 , 2 , 1 2 2 2 22 nn ma En 此結(jié)果說明粒子被束縛在勢阱中時，能量只能此結(jié)果說明粒子被束縛在勢阱中時，能量只能 取一系列分立值，其能量是量子化的。取一系列分立值，其能量是量子化的。 , 3 , 2 , 1),sin()(n a xn Ax 1)(sin 0 2 dx a xn A a 由歸一化條件由歸一化條件

19、a A 2 第十一章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程 一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 薛定諤方程一維勢阱 axn a xn Ax n 0, 3 ,2, 1),sin()( axxx n , 0, 0)( 一維無限深方勢阱中運(yùn)動的粒子其定態(tài)波函數(shù)：一維無限深方勢阱中運(yùn)動的粒子其定態(tài)波函數(shù)： 稱稱 為量子數(shù)；為量子數(shù)； 為本征態(tài)；為本征態(tài)； 為本征能量。為本征能量。 n E)(x n n 1、存在最小能級存在最小能級 ，稱為基態(tài)能量。，稱為基態(tài)能量。 2 22 1 2ma E 2、能量是量子化的。能量是量子化的。 2 22 1 2 ) 12(

20、ma n EEE nnn 當(dāng)當(dāng) 能級分布可視為連能級分布可視為連 續(xù)的，能量可視為連續(xù)變化。續(xù)的，能量可視為連續(xù)變化。 0/2/,nEEn n 討論討論 3、能級間隔：、能級間隔： 第十一章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程 一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 薛定諤方程一維勢阱 若若 ，同理可得，同理可得 例：電子在例：電子在 的一維無限深勢阱中的一維無限深勢阱中m100 . 1 2 a eV1054. 7 8 2 15 2 2 n ma h nE （近似于連續(xù)）（近似于連續(xù)） （能量分立）（能量分立） nm10. 0a eV1077. 3 8

21、 152 2 2 2 n ma h nEn eV4 .75nE 第十一章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程 一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 薛定諤方程一維勢阱 在某些極限的條件下，量子規(guī)律可以轉(zhuǎn)化為經(jīng)在某些極限的條件下，量子規(guī)律可以轉(zhuǎn)化為經(jīng) 典規(guī)律典規(guī)律 . 2 2 1 8 ) 12( ma h nEEE nn 勢阱中相鄰能級之差勢阱中相鄰能級之差 2 1,1amE 能量能量), 3 , 2 , 1(, 8 2 2 2 n ma h nEn 能級相對間隔能級相對間隔 nma h n ma h n E E n n 2 88 2 2 2 2 2

22、2 當(dāng)當(dāng) 時，時， ，能量視為連續(xù)變化，能量視為連續(xù)變化.n 0)( nn EE 第十一章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程 一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 薛定諤方程一維勢阱 例：電子在例：電子在 的勢阱中的勢阱中 .m100 . 1 2 a eV1054. 7 8 2 15 2 2 n ma h nE （近似于連續(xù)）（近似于連續(xù)） 若若 時時, （能量分立）（能量分立）eV4 .75nm10. 0nEa 當(dāng)當(dāng) 很大時，很大時， ，量子效應(yīng)不，量子效應(yīng)不 明顯，能量可視為連續(xù)變化。明顯，能量可視為連續(xù)變化。 amn, 0E 物理意義物理意義

23、 eV1077. 3 8 152 2 2 2 n ma h nE 第十一章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程 一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 薛定諤方程一維勢阱 一維無限深方勢阱中粒子的能級、波函數(shù)和幾率密度一維無限深方勢阱中粒子的能級、波函數(shù)和幾率密度 0 x2a a 1n 2n 3n 4n n 0 x2a a 2 n x a n Ax sin)(x a n a x sin 2 )( 2 2 0 p E 1 E 1 4E 1 9E 1 16E 第十一章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程 一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大

24、學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 薛定諤方程一維勢阱 2、 勢壘貫穿（隧道效應(yīng)）勢壘貫穿（隧道效應(yīng)） axxxV, 0, 0)( axVxV0,)( 0 在經(jīng)典力學(xué)中在經(jīng)典力學(xué)中,若粒子的動能若粒子的動能 , 它只能在它只能在 I 區(qū)中運(yùn)動。區(qū)中運(yùn)動。 0 VE 0 V V O a III x III 在量子物理學(xué)中其定態(tài)薛定諤方程為：在量子物理學(xué)中其定態(tài)薛定諤方程為： 0),( )( 2 1 2 1 22 xxE dx xd m axxExV dx xd m 0),()( )( 2 220 2 2 22 axxE dx xd m ),( )( 2 3 2 3 22 第十一章第十一章 量子物理學(xué)基

25、礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程 一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 薛定諤方程一維勢阱 2 0 2 1 )(2 EVm k 2 2 2 mE k 令： 0, 0)( )( 1 2 2 1 2 xxk dx xd axxk dx xd 0, 0)( )( 2 2 1 2 2 2 axxk dx xd , 0)( )( 3 2 2 3 2 三個區(qū)間的薛定諤方程化為：三個區(qū)間的薛定諤方程化為： 第十一章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程 一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 薛定諤方程一維勢阱 若考慮粒子是從若考慮粒子是從

26、I 區(qū)入射，在區(qū)入射，在 I 區(qū)中有入射波和反射區(qū)中有入射波和反射 波；粒子從波；粒子從I區(qū)經(jīng)過區(qū)經(jīng)過II區(qū)穿過勢壘到區(qū)穿過勢壘到III 區(qū)，在區(qū)，在III區(qū)只區(qū)只 有透射波。粒子在處的幾率要大于在處有透射波。粒子在處的幾率要大于在處 出現(xiàn)的幾率。出現(xiàn)的幾率。 0 xax 其解為：其解為： 0,)( 1 xReAex ikxikx axTex xk 0,)( 1 2 axCex ikx ,)( 3 邊邊 界界 條條 件件 )0()0( 21 )()( 32 aa 0 2 0 1 | )( | )( xx dx xd dx xd axax dx xd dx xd | )( | )( 32 第十一

27、章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程 一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 薛定諤方程一維勢阱 0 V V ao x I II III 求出解的形式如圖求出解的形式如圖 第十一章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程 一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 薛定諤方程一維勢阱 0 V V ao x I II III 隧道效應(yīng) 量子力學(xué)結(jié)果分析：量子力學(xué)結(jié)果分析： （1）EV0情況情況 在經(jīng)典力學(xué)中，該情況的粒子在經(jīng)典力學(xué)中，該情況的粒子 可以越過勢壘運(yùn)動到可以越過勢壘運(yùn)動到xa區(qū)域，而區(qū)域，而 在量子力學(xué)中有

28、一部分被反彈回去，在量子力學(xué)中有一部分被反彈回去， 即粒子具有波動性的具體體現(xiàn)。即粒子具有波動性的具體體現(xiàn)。 （2）EV0情況情況 在經(jīng)典力學(xué)中，該情況的粒子將完全被勢壘擋回，在經(jīng)典力學(xué)中，該情況的粒子將完全被勢壘擋回， 在在x0的區(qū)域內(nèi)運(yùn)動；而在量子力學(xué)中結(jié)果卻完全不同的區(qū)域內(nèi)運(yùn)動；而在量子力學(xué)中結(jié)果卻完全不同 ，此時，雖然粒子被勢壘反射回來，但它們?nèi)杂辛Ｗ哟?，此時，雖然粒子被勢壘反射回來，但它們?nèi)杂辛Ｗ哟?透勢壘運(yùn)動到勢壘里面去，所以我們將這種量子力學(xué)特透勢壘運(yùn)動到勢壘里面去，所以我們將這種量子力學(xué)特 有的現(xiàn)象稱有的現(xiàn)象稱“隧道效應(yīng)隧道效應(yīng)”。 第十一章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基

29、礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程 一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 薛定諤方程一維勢阱 隧道效應(yīng)和掃描隧道顯微鏡隧道效應(yīng)和掃描隧道顯微鏡STM 1981年在年在IBM公司瑞士蘇黎士實(shí)驗(yàn)室工作的賓尼希和公司瑞士蘇黎士實(shí)驗(yàn)室工作的賓尼希和 羅雷爾利用針尖與表面間的隧道電流隨間距變化的性質(zhì)羅雷爾利用針尖與表面間的隧道電流隨間距變化的性質(zhì) 來探測表面的結(jié)構(gòu)，獲得了實(shí)空間的原子級分辨圖象，來探測表面的結(jié)構(gòu)，獲得了實(shí)空間的原子級分辨圖象， 為此獲得為此獲得1986年諾貝爾物理獎。年諾貝爾物理獎。 由于電子的隧道效應(yīng)，金屬中的電子并不完全局由于電子的隧道效應(yīng)，金屬中的電子并不完全局 限于表面

30、邊界之內(nèi)，電子密度并不在表面邊界處突變限于表面邊界之內(nèi)，電子密度并不在表面邊界處突變 為零，而是在表面以外呈指數(shù)形式衰減，衰減長度約為零，而是在表面以外呈指數(shù)形式衰減，衰減長度約 為為1nm。 只要將原子線度的極細(xì)探針以及被研究物質(zhì)的表面只要將原子線度的極細(xì)探針以及被研究物質(zhì)的表面 作為兩個電極，當(dāng)樣品與針尖的距離非常接近時，它們作為兩個電極，當(dāng)樣品與針尖的距離非常接近時，它們 的表面電子云就可能重疊。的表面電子云就可能重疊。 第十一章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程 一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 薛定諤方程一維勢阱 若在樣品與針尖之間加

31、一微小電壓若在樣品與針尖之間加一微小電壓Ub電子就會穿過電子就會穿過 電極間的勢壘形成隧道電流。電極間的勢壘形成隧道電流。 隧道電流對針尖與樣品間的距離十分敏感。若控制隧道電流對針尖與樣品間的距離十分敏感。若控制 隧道電流不變，則探針在垂直于樣品方向上的高度變化隧道電流不變，則探針在垂直于樣品方向上的高度變化 就能反映樣品表面的起伏。就能反映樣品表面的起伏。 因?yàn)樗淼离娏鲗︶樇馀c樣品因?yàn)樗淼离娏鲗︶樇馀c樣品 間的距離十分敏感。控制針尖高間的距離十分敏感。控制針尖高 度不變，通過隧道電流的變化可度不變，通過隧道電流的變化可 得到表面態(tài)密度的分布；得到表面態(tài)密度的分布； 空氣隙空氣隙 STM工作示

32、意圖工作示意圖 樣品樣品 探針探針 利用利用STM可以分辨表面上可以分辨表面上 原子的臺階、平臺和原子陣列。原子的臺階、平臺和原子陣列。 可以直接繪出表面的三維圖象可以直接繪出表面的三維圖象 第十一章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程 一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 薛定諤方程一維勢阱 使人類第一次能夠?qū)崟r地觀測到單個原子在物質(zhì)使人類第一次能夠?qū)崟r地觀測到單個原子在物質(zhì) 表面上的排列狀態(tài)以及與表面電子行為有關(guān)的性質(zhì)。表面上的排列狀態(tài)以及與表面電子行為有關(guān)的性質(zhì)。 在表面科學(xué)、材料科學(xué)和生命科學(xué)等領(lǐng)域中有著重大在表面科學(xué)、材料科學(xué)和生命科學(xué)等領(lǐng)

33、域中有著重大 的意義和廣闊的應(yīng)用前景。的意義和廣闊的應(yīng)用前景。 利用光學(xué)中的受抑全反射理論，研制成功光子利用光學(xué)中的受抑全反射理論，研制成功光子 掃描隧道顯微鏡（掃描隧道顯微鏡（PSTM)。1989年提出成象技術(shù)。年提出成象技術(shù)。 它可用于不導(dǎo)電樣品的觀察。它可用于不導(dǎo)電樣品的觀察。 STM樣品必須具有一定程度的導(dǎo)電性；在恒流工樣品必須具有一定程度的導(dǎo)電性；在恒流工 作模式下有時對表面某些溝槽不能準(zhǔn)確探測。任何一作模式下有時對表面某些溝槽不能準(zhǔn)確探測。任何一 種技術(shù)都有其局限性。種技術(shù)都有其局限性。 下面是用掃描隧道顯微鏡觀察到的一些結(jié)果下面是用掃描隧道顯微鏡觀察到的一些結(jié)果 第十一章第十一章 量子物理學(xué)基礎(chǔ)量子物理學(xué)基礎(chǔ)薛定諤方程薛定諤方程 一維勢阱一維勢阱 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院哈