正弦定理公開課用PPT學習教案

1、會計學1正弦定理公開課用正弦定理公開課用創(chuàng)設情境創(chuàng)設情境.B.A.C第1頁/共27頁8/6/2021ACBcba想一想想一想? ?中在一個直角三角形ABCAsincaAacsinBsincbBbcsinCsincc1Cccsin問題問題 （2 2）上述結論是否可推廣到任意三角形）上述結論是否可推廣到任意三角形? ?若成立，如何證明？若成立，如何證明？CcBbAasinsinsin（1 1）你有何結論）你有何結論? ?一、定理的猜想一、定理的猜想cc1第2頁/共27頁8/6/2021二、定理的證明二、定理的證明如圖，當如圖，當 ABC是銳角三角是銳角三角形時，設形時，設AB邊上的高是邊上的高是C

2、D，根據三角函數的定義可得根據三角函數的定義可得BCAaAbBaCDsinsinBbAasinsin同理可得同理可得，CcBbsinsinCcBbAasinsinsin那么當那么當 ABC是鈍角是鈍角三角形時，以上結論三角形時，以上結論還成立么？還成立么？是否可以用其他方法是否可以用其他方法證明正弦定理？證明正弦定理？bDca第3頁/共27頁 asinAbsinBcsinC2R.=2RbsinB則設并延長交圓于連結為圓心作三角形的外接圓已知中在鈍角,2,RABBAOOcABbACaBCABC.2sinsinsin，對任意三角形都成立RCcBbAa090 ,sinsin2ACBBBbBBR 同理

3、可得同理可得CABBobac第4頁/共27頁8/6/2021正弦定理正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角在一個三角形中，各邊和它所對角 的正弦的比相等的正弦的比相等. .正弦定理正弦定理: 一般地，把三角形的三個角一般地，把三角形的三個角A A，B B，C C和它們的的對邊和它們的的對邊a a，b b，c c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素求其他元素的過程叫做素求其他元素的過程叫做解三角形解三角形外接圓的半徑為 ABCRRCcBbAa2sinsinsin第5頁/共27頁8/6/2021公式變形公式變形: :ARasin2 BRb

4、sin2 CRcsin2 CBAcbasin:sin:sin: 第6頁/共27頁8/6/2021三、正弦定理的應用三、正弦定理的應用RCcBbAa2sinsinsin（2）已知兩角和任一邊，求其他）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；兩邊和一角；（1）已知兩邊和其中一邊的對）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角（從而進一角，求另一邊的對角（從而進一步求出其他步求出其他 的邊和角）的邊和角）知知 “三三” 求求 “三三”第7頁/共27頁8/6/2021 學以致用學以致用C.B.A 已知三角形的兩個角已知三角形的兩個角 和一條邊和一條邊AB=1公里，求另一條邊公里，求另一條邊AC。45,60C

5、B解：由正弦定理得；解：由正弦定理得；AC ABsinB sinC=解得解得AC=（公里）26第8頁/共27頁8/6/2021例例1.在在ABC中，已知中，已知a2，b ，A45，求求B和和c。22變式變式1：在在ABC中，已知中，已知a4，b ，A45， 求求B和和c。22變式變式2：在在ABC中，已知中，已知a ，b ，A45， 求求B和和c。22334正弦定理應用一：正弦定理應用一： 已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角而可求其它的邊和角。（要注意可能有兩解）。（要注意可能有兩解）290122222sinsinsinsin

6、:0cBaAbBBbAa解232224264sinsin105)(150302142222sinsinsinsin:000 ACacCBaAbBBbAa舍去舍去或或解解338822426334sinsin157512060233342222sinsinsinsin:0000 ACacC B aAbB BbAa或或或或解解第9頁/共27頁8/6/2021點撥點撥：已知兩邊和其中一邊的對已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時角解三角形時,通常要用到通常要用到三角形三角形內角和定理或大邊對大角定理內角和定理或大邊對大角定理等等三角形有關性質三角形有關性質.第10頁/共27頁8/6/2021例例2 2、

7、用正弦定理證明三角形面積用正弦定理證明三角形面積BacAbcCabSABCsin21sin21sin21BACDabc證明：過點A作 交BC于點D，則aADSABC21CbBcADsinsin利用正弦定理可得CabBacSABCsin21sin21同理BacAbcCabSABCsin21sin21sin21AbcSABCsin21BCAD 第11頁/共27頁8/6/2021;,120,30,12)1(.30aBAbABC求已知中在例., 2,60,30)2(00caCBA求已知.,30,105,10)3(ABCSbCAc求已知第12頁/共27頁8/6/2021;,)(aBAb求已知120301

8、2100012030121sinsinsinsin,sinsin)(BAbaBbAa解：34第13頁/共27頁8/6/2021., 2,60,30)2(caCBA求已知,sinsinCcAa又60,30 CBA:解150 CB45 C2230452sinsinsinsinACac第14頁/共27頁8/6/2021.,30,105,103ABCSbCAc求）已知（,sinsinCcBb 解解：)(1325,45)30105(180)(180CAB21030sin45sin10sinsinCBcbAbcSABCsin21 105sin1021021第15頁/共27頁8/6/2021點撥：點撥：已知

9、兩角和任意已知兩角和任意一邊，求其余兩邊和一一邊，求其余兩邊和一角角, ,此時的解是唯一的此時的解是唯一的. .第16頁/共27頁8/6/2021;,60, 1, 3) 1 (. 4CAaBcbABC，和求已知中在例。求已知ABba,45,22,32)2(0(3)20,28,120 ,.abA已知解這個三角形第17頁/共27頁8/6/2021;,60, 1,3)1 (.4CAaBcbABC，和求已知中在例9030,60, ACCBCBcb，為為銳銳角角，,sinsinCcBb 解解：21360sin1sinsin bBcC222 bca第18頁/共27頁8/6/2021.,45,22,32)2

10、(ABba求求已已知知 bBaAsinsin 解解：232245sin32 )(,大邊對大角BAba12060 或或 A第19頁/共27頁8/6/2021(3)20,28,120 ,.abA已知解這個三角形sinsinbABa解 ：20120sin28 11037 .本本題題無無解解第20頁/共27頁8/6/20213練習練習2、在、在 ABC中，若中，若 a=2bsinA，則，則B( ) A、 B、 C、 D、36653326或或或或練習練習1、在、在 ABC中，若中，若A：B：C=1：2：3，則，則 a:b:c( ) A、1:2:3 B、3:2:1 C、1: :2 D、2: :133自我提

11、高！自我提高！A、等腰三角形、等腰三角形 B、直角三角形、直角三角形 C、等腰直角三角形、等腰直角三角形 D、不能確定、不能確定)(,sinsinsin,. 3222ABCCBAABC的形狀是的形狀是則則若若中中在在練習練習 CCB第21頁/共27頁8/6/2021正弦定理的用途：正弦定理的用途：(1) (1) 已知已知兩角兩角和和任一邊任一邊，解三角形，解三角形（解唯一）（解唯一）(2) (2) 已知已知兩邊兩邊和其中和其中一邊的一邊的對對角角，解三角形，解三角形（解不唯一（解不唯一）(3)(3) 判斷三角形的形狀判斷三角形的形狀. .從已知條件出發(fā)，尋找到三角形的邊與邊從已知條件出發(fā)，尋找到三角形的邊與邊或角與角之間的關系，然后判斷之?；蚪桥c角之間的關系，然后判斷之。第22頁/共27頁8/6/2021 課時小結課時小結 二個二個 應用應用 ： 已知兩角和一邊（只有一解）已知兩角和一邊（只有一解） 已知兩邊和其中一邊的對角已知兩邊和其中一邊的對角 （有一解，兩解，