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文檔簡介
1、97年a題:零件的參數(shù)設(shè)計(jì)一件產(chǎn)品由若干零件組裝而成,標(biāo)志產(chǎn)品性能的某個(gè)參數(shù)取決于這些零件的參數(shù)。零件參數(shù)包括標(biāo)定值和容差兩部分。進(jìn)行成批生產(chǎn)時(shí),標(biāo)定值表示一批零件該參數(shù)的平均值,容差則給出了參數(shù)偏離其標(biāo)定值的容許范圍。若將零件參數(shù)視為隨機(jī)變量,則標(biāo)定值代表期望值,在生產(chǎn)部門無特殊要求時(shí),容差通常規(guī)定為均方差的3 倍。 進(jìn)行零件參數(shù)設(shè)計(jì),就是要確定其標(biāo)定值和容差。這時(shí)要考慮兩方面因素:一是當(dāng)各零件組裝成產(chǎn)品時(shí),如果產(chǎn)品參數(shù)偏離預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)值,就會造成質(zhì)量損失,偏離越大,損失越大;二是零件容差的大小決定了其制造成本,容差設(shè)計(jì)得越小,成本越高。試通過如下的具體問題給出一般的零件參數(shù)設(shè)計(jì)方法。 粒
2、子分離器某參數(shù)(記作)由七個(gè)零件的參數(shù)(記作)決定,經(jīng)驗(yàn)公式為:的目標(biāo)值(記作)為1.50。當(dāng)偏離時(shí),產(chǎn)品為次品,質(zhì)量損失為1000(元);當(dāng)偏離時(shí),產(chǎn)品為廢品,質(zhì)量損失為9000(元);零件參數(shù)的標(biāo)定值有一定的容許變化范圍;容差分為a、b、c三個(gè)等級,用與標(biāo)定值的相對值表示,a等為,b等為,c等為.七個(gè)零件的參數(shù)標(biāo)定值的容許范圍,及不同容差等級的成本(元)如下表(符號/表示五此等級零件):標(biāo)定值容許范圍c等b等a等0.075,0.125/2525000/0.318/0.225,0.375205050000/20000/0.075,0.12520502000.075,0.12550100500
3、1.125,1.87550/12,2010251000.5625,0.935/25100現(xiàn)進(jìn)行成批生產(chǎn),每批產(chǎn)量1000個(gè)。在原設(shè)計(jì)中,七個(gè)零件參數(shù)標(biāo)定值為,;容差均取最便宜的等級。請你綜合考慮偏離造成的損失和零件成本,重新設(shè)計(jì)零件參數(shù)(包括標(biāo)定值和容差),并與原設(shè)計(jì)比較,總費(fèi)用降低了多少?零件的參數(shù)設(shè)計(jì)摘要 模型是研究產(chǎn)品各零件參數(shù)對產(chǎn)品某一性能影響的連續(xù)模型,以生產(chǎn)產(chǎn)品總費(fèi)用最小為最終目的的,主要用非線性規(guī)劃的思想建立。因?yàn)榱慵?shù)為隨機(jī)變量,所以建模時(shí)要用概率論的方法給出非線性規(guī)劃問題目標(biāo)函數(shù)。模型形式簡潔。因?yàn)榱慵庸ぞ鹊南拗?,?shí)際參數(shù)標(biāo)定制的選取是離散的,我們可充分利用計(jì)算機(jī)軟件的
4、數(shù)值計(jì)算能力,用 方法搜索最優(yōu)值。其中 法是我們認(rèn)為最好的。1、 問題重述 2、 合理的假設(shè) 根據(jù)零件設(shè)計(jì)工藝中的一些具體要求,并為達(dá)到簡化問題的目的,除題中已給出的假設(shè)外,我們進(jìn)一步做出以下假設(shè):1. 假設(shè)組成產(chǎn)品的各個(gè)零件在生產(chǎn)過程中互不影響,而且這些零件可以無困難地 組裝成一件產(chǎn)品。即若視各個(gè)零件的參數(shù)為隨機(jī)變量,則它們相互獨(dú)立。2.假設(shè)問題中的經(jīng)驗(yàn)公式在給定的零件參數(shù)變化范圍之中是有效的。3.在大批量生產(chǎn)當(dāng)中,假設(shè)整批零件都處在同一等級。本題可視1000個(gè)零件都是a等、b等或c等。 4.設(shè)得到的產(chǎn)品分散等級:正品、次品、廢品。各級產(chǎn)品性能參數(shù)的目標(biāo)值分別為:正品:y();次品:y);廢
5、品:y并設(shè)生產(chǎn)過程中沒有工藝失誤造成產(chǎn)品的損壞。5.由于制造工藝技術(shù)上的限制,標(biāo)定值只能以某種確定的時(shí)間間隔來選取。例如本問題中,則由于精度的關(guān)系,我們可以選取的最小步長為0.0013、 符號的約定 y: 粒子分離器性能參數(shù);y: y的目標(biāo)值(y=1.50)y: y的計(jì)算值; 其中為7個(gè)零件參數(shù);: 的取值下限;: 的取值上限;f(x): y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)公式;: 參數(shù)的標(biāo)定值;: 參數(shù)的容差;: 容差關(guān)于標(biāo)定值的相對系數(shù); 即;: 的方差; : y的方差;c(x): 產(chǎn)品的成本函數(shù)(單位/元);: 表示以為均值,為方差的正態(tài)分布;: y的分布密度函數(shù);: 產(chǎn)品質(zhì)量損失函數(shù)(單位/元);: 產(chǎn)品
6、的總成本(單位/元); : 產(chǎn)品質(zhì)量總損失(單位/元);: 產(chǎn)品個(gè)數(shù)(單位/個(gè));: 零件容差等級分類標(biāo)準(zhǔn)值4、 問題分析 本問題是一個(gè)有條件約束的非線性規(guī)劃問題。問題的約束條件由零件參數(shù)(包括標(biāo)定值和容差)變化范圍確定。參數(shù)標(biāo)定值的有效取值范圍構(gòu)成問題的可行域。我們的目標(biāo)是確定零件參數(shù)的可行值,使得我們的產(chǎn)品總費(fèi)用盡可能低。問題的目標(biāo)函數(shù)就是總費(fèi)用函數(shù)。總費(fèi)用由產(chǎn)品參數(shù)偏離目標(biāo)值引起的質(zhì)量損失費(fèi)用和產(chǎn)品的成本費(fèi)用兩部分組成。由于零件參數(shù)為隨機(jī)變量,具有不確定性,我們考慮采用概率論方法來生成目標(biāo)函數(shù),對于值在可行域內(nèi)的參數(shù)變量,利用它們的概率分布通過經(jīng)驗(yàn)公式得出產(chǎn)品參數(shù)的概率分布,從而可以得出
7、產(chǎn)品的質(zhì)量損失費(fèi)用函數(shù),而對應(yīng)參數(shù)向量存在一個(gè)成本費(fèi)用函數(shù)。于是得出我們的產(chǎn)品總費(fèi)用函數(shù)表示。我們的目標(biāo)就是確定參數(shù)向量的值以及各種零件的等級,使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小。本問題的求解過程實(shí)際上是一種優(yōu)解搜索過程,由于參數(shù)的標(biāo)定值容許范圍是一個(gè)連續(xù)域,窮舉法顯然是不可行的,而各種傳統(tǒng)的優(yōu)解搜索方法都只能得到局部最優(yōu)解。既然得到全局最優(yōu)解有困難,從方法的可行性和有效性方面考慮,我們考慮采用混合搜索方法,利用計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的計(jì)算能力,由點(diǎn)到面,從多個(gè)局部最優(yōu)解中選取最優(yōu)的作為近似最優(yōu)解。具體的算法及其實(shí)現(xiàn)將在第六小節(jié)中詳細(xì)討論。5、 原理和建模 因原問題是一個(gè)非線性規(guī)劃問題,我們可設(shè)目標(biāo)函數(shù)為,則一般模型可以
8、寫成如下形式: 在本問題中,目標(biāo)函數(shù)受y偏移造成的損失和選取零件所需成本方面的影響。則有。下面分別求出和就可以得到本問題的數(shù)學(xué)模型。1. 求成本消耗函數(shù)。2. 求目標(biāo)y值偏離造成的損耗。因?yàn)榱慵?shù)是隨機(jī)變量,是其標(biāo)定值,即是的數(shù)學(xué)期望,是其均方差。當(dāng)進(jìn)行大批量生產(chǎn)時(shí),根據(jù)概率論中的大數(shù)定理就有服從正態(tài)分布,即,服從期望為0,方差為的正態(tài)分布。記為。又容差通常規(guī)定為均方差的3倍,則有。由得其中對于一組給定的標(biāo)定值是確定的數(shù)值,記為。由概率論中相關(guān)的結(jié)論就有,從而由服從期望為,方差為的正態(tài)分布,則其密度函數(shù)為則由假設(shè)y為正品的概率為y為次品的概率為y為廢品的概率為則總損失為綜合上面(1)、(2)
9、、(5)的結(jié)論可得到數(shù)學(xué)模型如下6、 模型求解 用matlab或lingo7、 模型分析與檢驗(yàn)(1) 參數(shù)分析求解模型所得的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案,主要顯示了個(gè)參數(shù)的綜合效果,為了了解各參數(shù)對最優(yōu)設(shè)計(jì)方案的影響,以便于在以后的設(shè)計(jì)中控制這些參數(shù)的調(diào)整范圍。因此有必要將各參數(shù)對優(yōu)化設(shè)計(jì)方案的影響進(jìn)行具體分析。為了研究某個(gè)參數(shù)對結(jié)果的影響程度,以最優(yōu)解為基礎(chǔ),先暫時(shí)固定其余的參數(shù),有規(guī)律地改變該參數(shù)變量值,觀察其偏離最優(yōu)值變化對目標(biāo)函數(shù)的影響。(2) 誤差分析零件參數(shù)的取值誤差均會引起計(jì)算結(jié)果的誤差。結(jié)合誤差理論,根據(jù)多變量誤差傳遞公式,參數(shù)y的標(biāo)準(zhǔn)誤差為再由y的計(jì)算值,可得它的百分誤差為:在最優(yōu)點(diǎn)時(shí)有結(jié)果
10、 ,a,b,c三個(gè)等次相對偏差系數(shù)分別對最優(yōu)解的影響關(guān)系曲線8、 模型的特點(diǎn)、改進(jìn)、推廣及實(shí)際工藝操作在該模型建立過程中,我們利用了概率論和誤差傳遞的知識,簡潔地對實(shí)際問題構(gòu)造了一種數(shù)學(xué)模型。該模型可以用于一般的零件設(shè)計(jì),其給出的目標(biāo)函數(shù)也可以用于通常的產(chǎn)品生產(chǎn)中以估算成本。在建模過程中我們利用了,但是由于模型自身的問題,或許是非線性規(guī)劃的現(xiàn)行解法的問題,我們只能得到局部最優(yōu)解對搜索算法的評價(jià)對于該模型的改進(jìn),2.假設(shè)零件的尺寸公差列陣為,以零件尺寸作為設(shè)計(jì)變量,并引入隨機(jī)變量表示零件尺寸在公差范圍內(nèi)的隨機(jī)變化,可表示為:上式中,是在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)變化的量,由于的隨機(jī)性,公差對機(jī)構(gòu)的影響很難評估,
11、因此引入以概率密度函數(shù)形式描述上式中隨機(jī)變,以作為衡量系統(tǒng)性能的指標(biāo),得到的概率密度函數(shù),以零件公差作為設(shè)計(jì)變量,以加工成本(零件公差的倒數(shù))為目標(biāo),以的方差和零件公差限作為約束條件,對零件公差進(jìn)行優(yōu)化,有效的降低了成本。對于較為復(fù)雜的機(jī)構(gòu),由于難以得到其運(yùn)動方程,因此提出一個(gè)雙重優(yōu)化模型來實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)尺寸公差優(yōu)化。其中內(nèi)層優(yōu)化模型實(shí)現(xiàn)在給定尺寸公差配置下運(yùn)動軌跡極限偏差的計(jì)算,外層優(yōu)化則以尺寸公差為設(shè)計(jì)變量,實(shí)現(xiàn)運(yùn)動軌跡極限偏差的計(jì)算,外層優(yōu)化則以只存公差為設(shè)計(jì)變量,實(shí)現(xiàn)運(yùn)動軌跡極限偏差的最小化設(shè)計(jì)。取機(jī)構(gòu)上目標(biāo)點(diǎn)軌跡作為目標(biāo)函數(shù),它與設(shè)計(jì)變量和尺寸公差有關(guān),記為,在給定零件公差時(shí),式中的自變量
12、只有,在公差允許的范圍內(nèi)變動,可以找到一組使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大,即公差為時(shí)機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡可能達(dá)到的最大偏差。因此以為設(shè)計(jì)變量,建立如下優(yōu)化模型:利用相應(yīng)表面法優(yōu)化上述模型,可求得極限偏差,然后再以公差為設(shè)計(jì)變量,以極限偏差為目標(biāo)函數(shù),建立優(yōu)化模型得到一組公差,使得在這組公差配置下極限偏差最小化。式中,為給定的總公差。利用相應(yīng)表面法求解上述優(yōu)化模型得到左右公差配置??偟膩碚f,公差優(yōu)化是一個(gè)的雙重優(yōu)化,其物理意義是使機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡的極限偏差最小化。當(dāng)粒子分離器某參數(shù)()偏離時(shí),產(chǎn)品為次品,質(zhì)量損失1000元;偏離時(shí)產(chǎn)品為廢品,質(zhì)量損失9000元;且偏離越大質(zhì)量損失越大,由假設(shè),質(zhì)量損失是連續(xù)變化的,故可
13、以合理地認(rèn)為質(zhì)量損失函數(shù)為: 目標(biāo)函數(shù)是成批生產(chǎn)時(shí)每件產(chǎn)品的質(zhì)量損失與零件成本之和,決策變量是零件參數(shù)的標(biāo)定值和容差。由假設(shè),零件參數(shù)是相互獨(dú)立的,記期望(標(biāo)定值)和均方差分別為和,故容差,記,因?yàn)槿莶钆c標(biāo)定值的比值為定值,定義為相對容差產(chǎn)品參數(shù)是由七個(gè)零件參數(shù)共同決定的,記作:故是隨機(jī)變量。當(dāng)零件批量生產(chǎn)時(shí),每件產(chǎn)品的質(zhì)量損失可以用質(zhì)量損失的期望表示。所以=式中表示產(chǎn)品參數(shù)的方差。題中給出的經(jīng)驗(yàn)公式:發(fā)現(xiàn)是非線性函數(shù),在數(shù)學(xué)模型中不易求解,需要將其變成線性函數(shù),將在處作一階展開并略去其余項(xiàng)得到:式中表示在處的梯度,且簡化后得到:于是:從而:由于零件的成本只是由容差的等級決定的,故總成本可以表
14、示為個(gè)零件成本之和,即生產(chǎn)每個(gè)零件的總費(fèi)用(目標(biāo)函數(shù))是由產(chǎn)品的質(zhì)量損失和零件的總成本決定,即另一種情況,產(chǎn)品的質(zhì)量損失取離散的方式:由基本假設(shè)知,近似服從正態(tài)分布,由式 可以判定,也可以認(rèn)為近似服從正態(tài)分布,式中,已由前面的計(jì)算中得出。記概率:所以于是(的值可以通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查出)則目標(biāo)函數(shù)可表示為:目標(biāo)規(guī)劃:目標(biāo)函數(shù)由可以分為連續(xù)部分和離散部分,離散部分的結(jié)果有種,故可以分別討論,并用軟件實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化的求解,即原目標(biāo)規(guī)劃可以分為兩個(gè)部分:連續(xù)的目標(biāo)規(guī)劃:離散的目標(biāo)規(guī)劃:用mathematica求出關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù):變量偏導(dǎo)數(shù)參考文獻(xiàn)附件用matlab求出關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù):fun1.mclear
15、allclcsyms x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 y = 174.42*x1/x5*(x3/(x2 - x1). 0.85*(1 - 2.62*(1 - 0.36*(x4/x2). -0.56)1.5*(x4/x2)1.16)/(x6*x7)0.5;a1=diff(y,x1);a2=diff(y,x2);a3=diff(y,x3);a4=diff(y,x4);a5=diff(y,x5);a6=diff(y,x6);a7=diff(y,x7);x01=0.1;x02=0.3;x03=0.1;x04=0.1;x05=1.5;x06=16;x07=0.75;a11=subs(a1,x1
16、 x2 x3 x4 x5 x6 x7,0.1 0.3 0.1 0.1 1.5 16 0.75);a22=subs(a2,x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7,0.1 0.3 0.1 0.1 1.5 16 0.75);a33=subs(a3,x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7,0.1 0.3 0.1 0.1 1.5 16 0.75);a44=subs(a4,x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7,0.1 0.3 0.1 0.1 1.5 16 0.75);a55=subs(a5,x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7,0.1 0.3 0.1 0.1 1.5 16 0.75);a66=
17、subs(a6,x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7,0.1 0.3 0.1 0.1 1.5 16 0.75);a77=subs(a7,x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7,0.1 0.3 0.1 0.1 1.5 16 0.75);yy=subs(y,x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7,0.1 0.3 0.1 0.1 1.5 16 0.75);xr1=0.05;xr2=0.1;xr3=0.1;xr4=0.1;xr5=0.1;xr6=0.1;xr7=0.05;c1=25;c2=20;c3=20;c4=50;c5=50;c6=10;c7=25;(105/9)*(a11*xr1*x01
18、)2+(a22*xr2*x02)2+(a33*xr3*x03)2+(a44*xr4*x04)2+.(a55*xr5*x05)2+(a66*xr6*x06)2+(a77*xr7*x07)2)+105*(yy-1.5)2+200function f=fun(x)yx(1)=(8721*(-x(3)/(x(1) - x(2)(17/20)*(-(131*(x(4)/x(2)(29/25)*(1 - 9/(25*(x(4)/x(2)(14/25)(3/2)/50 - 1)/(x(6)*x(7)(1/2)/(50*x(5) + (148257*x(1)*x(3)*(-(131*(x(4)/x(2)(29
19、/25)*(1 - 9/(25*(x(4)/x(2)(14/25)(3/2)/50 - 1)/(x(6)*x(7)(1/2)/(1000*x(5)*(x(1) - x(2)2*(-x(3)/(x(1) - x(2)(3/20);yx(2)=(8721*x(1)*(24759*x(4)*(1 - 9/(25*(x(4)/x(2)(14/25)(1/2)/(31250*x(2)2*(x(4)/x(2)(2/5) + (3799*x(4)*(x(4)/x(2)(4/25)*(1 - 9/(25*(x(4)/x(2)(14/25)(3/2)/(1250*x(2)2)*(-x(3)/(x(1) - x(
20、2)(17/20)/(100*x(5)*x(6)*x(7)*(-(131*(x(4)/x(2)(29/25)*(1 - 9/(25*(x(4)/x(2)(14/25)(3/2)/50 - 1)/(x(6)*x(7)(1/2) - (148257*x(1)*x(3)*(-(131*(x(4)/x(2)(29/25)*(1 - 9/(25*(x(4)/x(2)(14/25)(3/2)/50 - 1)/(x(6)*x(7)(1/2)/(1000*x(5)*(x(1) - x(2)2*(-x(3)/(x(1) - x(2)(3/20);yx(4)=-(8721*x(1)*(24759*(1-9/(25
21、*(x(4)/x(2)(14/25)(1/2)/(31250*x(2)*(x(4)/x(2)(2/5)+(3799*(x(4)/x(2)(4/25)*(1-9/(25*(x(4)/x(2)(14/25)(3/2)/(1250*x(2)*(-x(3)/(x(1)-x(2)(17/20)/(100*x(5)*x(6)*x(7)*(-(131*(x(4)/x(2)(29/25)*(1-9/(25*(x(4)/x(2)(14/25)(3/2)/50-1)/(x(6)*x(7)(1/2);yx(3)=-(148257*x(1)*(-(131*(x(4)/x(2)(29/25)*(1-9/(25*(x(4
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