拋物線的幾何性質(zhì)(課堂版)

1、定義：在平面定義：在平面內(nèi)內(nèi),與一個(gè)定點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直和一條定直線線l(l不經(jīng)過點(diǎn)不經(jīng)過點(diǎn)F)的的距離相等距離相等的點(diǎn)的軌跡叫的點(diǎn)的軌跡叫拋物線拋物線.拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線方程焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程圖圖 形形x xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yl)0 ,2p(2px)0 ,2p(2px )2p0( ，2py)2p0(，2py 一、溫故知新一、溫故知新1.到定點(diǎn)到定點(diǎn)(3,5)與定直線與定直線2x+3y-21=0的距離相等的點(diǎn)的軌跡是的距離相等的點(diǎn)的軌跡是( )A.圓圓 B.拋物線拋物線C.線段線

2、段 D.直線直線 練習(xí)練習(xí)解析解析:(3,5)點(diǎn)在直線點(diǎn)在直線2x+3y-21=0上上,所以到所以到(3,5)與與定直線距離相等的點(diǎn)是過定直線距離相等的點(diǎn)是過(3,5)且與直線垂直的直線且與直線垂直的直線.D練習(xí)練習(xí)：2.填空（頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)填空（頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上）軸上） 方程方程焦點(diǎn)焦點(diǎn)準(zhǔn)線準(zhǔn)線開口方向開口方向xy62yx420722 yx)0 ,(23F)0 , 1(F) 1 , 0(F), 0(87F23x1x1y87yxy42開口向開口向右右開口向開口向左左開口向開口向上上開口向開口向下下 (1)令令x=0,由方程由方程x-2y-4=0得得y=-2,當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)為當(dāng)

3、拋物線的焦點(diǎn)為F(0,-2)時(shí)時(shí),設(shè)拋物線方程為設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p0),則由則由 =2得得p=4,所求拋物線方程為所求拋物線方程為x2=-8y.令令y=0,由方程由方程x-2y-4=0得得x=4,當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)為當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)為F(4,0)時(shí)時(shí),設(shè)拋物線方程為設(shè)拋物線方程為y2=2px(p0),則由則由 =4得得p=8,所求拋物線方程為所求拋物線方程為y2=16x.綜上綜上,所求拋物線方程為所求拋物線方程為x2=-8y或或y2=16x.2p2p題型一題型一 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程練習(xí)練習(xí)3:求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)焦點(diǎn)

4、在直線焦點(diǎn)在直線x-2y-4=0上上;（2） 求焦點(diǎn)在求焦點(diǎn)在x軸上軸上,且點(diǎn)且點(diǎn)A(-2,3)到焦點(diǎn)的到焦點(diǎn)的距離是距離是5的拋物線的方程的拋物線的方程,并寫出它的焦點(diǎn)坐并寫出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程標(biāo)與準(zhǔn)線方程.2222222x,y2px(p0),FFA5:2)035 ,p8p480,p12p4,p12,y24x,6,0 ,x6,p4,y8x,2,(,0),0 ,x2.2(2pp 解焦點(diǎn)在 軸上 可設(shè)拋物線方程為則焦點(diǎn)為由得即解得或當(dāng)時(shí) 拋物線的方程為它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為準(zhǔn)線方程為當(dāng)時(shí) 拋物線的方程為它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為準(zhǔn)線方程為探照燈、汽車前燈的反光曲面，手電筒的反光鏡面、探照燈、汽車前燈的反光曲面，

5、手電筒的反光鏡面、太陽灶的鏡面都是太陽灶的鏡面都是拋物鏡面。拋物鏡面。拋物鏡面：拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面。拋物鏡面：拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面。燈泡放在拋物線的焦點(diǎn)位置上，通過鏡面反射就變燈泡放在拋物線的焦點(diǎn)位置上，通過鏡面反射就變成了平行光束，這就是探照燈、汽車前燈、手電筒的成了平行光束，這就是探照燈、汽車前燈、手電筒的設(shè)計(jì)原理。設(shè)計(jì)原理。平行光線射到拋物鏡面上，經(jīng)鏡面反射后，反射光線都平行光線射到拋物鏡面上，經(jīng)鏡面反射后，反射光線都經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，這就是太陽灶能把光能轉(zhuǎn)化為熱能經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，這就是太陽灶能把光能轉(zhuǎn)化為熱能的理論依據(jù)。的理論依據(jù)。練習(xí)練習(xí)4：探照燈反射鏡的軸截

6、面是拋物線的一部分，光源：探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處。已知燈口圓的直徑為位于拋物線的焦點(diǎn)處。已知燈口圓的直徑為60cm，燈深，燈深40cm，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)位置。，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)位置。xyOBA(40,30)解解:所在平面內(nèi)建立直所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系角坐標(biāo)系,使反射鏡使反射鏡的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合, x軸垂直于燈口直徑軸垂直于燈口直徑.在探照燈的軸截面在探照燈的軸截面設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=2px由條件可得由條件可得A (40,30),代入方程得代入方程得:302=2p40解之解之: p=445故所求拋物

7、線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為: y2= x,245焦點(diǎn)為焦點(diǎn)為( ,0)845拋物線的幾何性質(zhì)拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)方程方程圖形圖形焦點(diǎn)焦點(diǎn)準(zhǔn)線準(zhǔn)線)0 ,2(p)2,0(p)2, 0(p)0 ,2(p2px 2px2py2py )0(22ppxy) 0(22ppxy)0(22ppyx) 0(22ppyx0 x0 x0y0y軸x軸x軸y軸y)0 , 0() 0 , 0()0 , 0()0 , 0(1e1e1e1ex xy yo oF Fx xy yo oF Fx xy yo oF Fx xy yo oF F范圍范圍對(duì)稱對(duì)稱軸軸頂頂點(diǎn)點(diǎn)離心離心率率補(bǔ)充補(bǔ)充（1）通徑：）通徑：通過焦點(diǎn)

8、且垂直對(duì)稱軸的直線，通過焦點(diǎn)且垂直對(duì)稱軸的直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接這與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的通徑通徑。|PF|=x0+p/2xOyFP通徑的長(zhǎng)度通徑的長(zhǎng)度：2PP越大越大,開口越開闊開口越開闊（2）焦半徑：）焦半徑： 連接拋物線任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的連接拋物線任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段叫做拋物線的線段叫做拋物線的焦半徑焦半徑。焦半徑公式：焦半徑公式：),(00yx（標(biāo)準(zhǔn)方程中（標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的幾何意義）的幾何意義）利用拋物線的利用拋物線的頂點(diǎn)頂點(diǎn)、通徑的兩個(gè)、通徑的兩個(gè)端點(diǎn)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫出可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特征的草圖。反映拋物線基本特征的草圖。0

9、020202020122222322422 ,.( ),|;( ),| -( ),|( ),| -P xypypxPFxpypxPFxpxpyPFypxpyPFy 拋拋物物線線上上一一點(diǎn)點(diǎn)與與焦焦點(diǎn)點(diǎn)的的連連線線叫叫拋拋物物線線的的焦焦半半徑徑 拋拋 物物線線的的焦焦半半徑徑 2212225 ( ),_.( ),_:.yxPPyxA BAB拋拋物物線線上上一一點(diǎn)點(diǎn) 到到焦焦點(diǎn)點(diǎn)的的 距距離離為為 則則 點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)標(biāo)標(biāo)為為拋拋物物線線上上兩兩點(diǎn)點(diǎn)到到焦焦點(diǎn)點(diǎn)的的距距離離 之之和和是是則則線線段段中中點(diǎn)點(diǎn)橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)是是例例1 17742:,P答答案案2.:答答案案KFOxyAB2124,.

10、yxA BAB斜斜率率為為的的直直線線過過拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn) 與與拋拋物物線線交交于于兩兩點(diǎn)點(diǎn) 求求線線段段的的長(zhǎng)長(zhǎng)例例211221212221212121211610611 148222628:,:(,),(,),|():| ()()AByxxxA xyB xyxxx xABxxxxppABxxxxp 解解法法直直線線的的方方程程為為代代入入雙雙曲曲線線方方程程得得設(shè)設(shè)則則解解法法112221221221221212223242 ,( ),|;( ),|( ),|( ),|A x yB xyypxABxxpypxABpxxxpyAByypxpyABpyy拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn)弦弦過過

11、拋拋物物線線焦焦點(diǎn)點(diǎn)的的弦弦叫叫焦焦點(diǎn)點(diǎn)弦弦 設(shè)設(shè)焦焦點(diǎn)點(diǎn)弦弦端端點(diǎn)點(diǎn)則則 2112212203,.|):|.(ypx pFlA x yB xyABxxp已已知知過過拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn) 的的直直線線 交交拋拋物物例例線線于于兩兩拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn)弦弦問問題題問問: :點(diǎn)點(diǎn)題題1 1 求求證證121222:()()ABAFBFppxxxxp解解21122220322.(),.,.si:nypx pFlA x yB xyplAB已已知知過過拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn) 的的直直線線 交交拋拋物物線線于于兩兩例例拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn)弦弦問問題題問問題題點(diǎn)點(diǎn)若若 的的傾傾斜斜角角為為則則2

12、22121212222222221202112121:,:()tan ,tan:,tan,tan()tantansinABpABpyplyxxypyppy ypyypAByyp 解解 若若則則此此時(shí)時(shí)為為拋拋物物線線的的通通徑徑結(jié)結(jié)論論得得證證若若設(shè)設(shè)直直線線 的的方方程程為為即即代代入入拋拋物物線線方方程程得得22(,)xy11(,)xy 與直線與直線的傾斜角的傾斜角無關(guān)無關(guān)! 11(,)xy11(,)xy11(,)xy22(,)xyMN211222303,.,.():ypx pFlA x yB xy例例拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn)弦弦問問題題已已知知過過拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn) 的的直直線線

13、交交拋拋物物線線于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)焦焦點(diǎn)點(diǎn)弦弦中中 通通題題徑徑最最短短問問 2222221221223:sinsin,sin,:;,;.:pABppABpp 解解 由由問問題題 知知: :的的最最小小值值為為即即通通徑徑最最短短. .通通徑徑的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度通通徑徑越越大大 拋拋物物線線開開口口越越大大通通徑徑是是拋拋物物線線的的所所有有焦焦點(diǎn)點(diǎn)弦弦中中通通徑徑的的性性最最短短的的質(zhì)質(zhì)2112222121234204.(),.:.:,ypx pFlA x yB xypx xy yp 例例拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn)弦弦問問題題問問題題已已知知過過拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn) 的的直直線線 交交拋拋物物線線于于

14、兩兩點(diǎn)點(diǎn)求求證證212221212221212222244:,()y ypyyxxppy yPx xP 解解 由由問問題題 的的解解法法知知: :211222305,.):(ypx pFlA x yB xyAB已已知知過過拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn) 的的直直線線 交交拋拋物物線線于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)求求證證例例拋拋物物以以為為直直線線的的焦焦徑徑的的圓圓點(diǎn)點(diǎn)弦弦與與問問題題問問題題準(zhǔn)準(zhǔn)線線相相切切111111222:,.ABMA B MA B MAABBAFBFABMM解解 設(shè)設(shè)的的中中點(diǎn)點(diǎn)為為過過分分別別作作準(zhǔn)準(zhǔn)線線的的垂垂線線垂垂足足分分別別為為則則結(jié)結(jié)論論得得證證211222011236,.:.(

15、):ypx pFlA x yB xyFAFBp已已知知過過拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn) 的的直直線線 交交例例拋拋物物線線于于兩兩拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn)弦弦問問題題題題點(diǎn)點(diǎn)問問求求證證222222111111111222220411112:, ,cos,coscoscos,.:,(),()A BxR SlPEREFFRPAFAFAFAFPBFPFAFBplpyk xlkypxk pk xp kxpFAFBxx解解法法過過作作 軸軸的的垂垂線線 垂垂足足分分別別為為直直線線 的的傾傾斜斜角角為為同同理理解解法法若若直直線線 的的斜斜率率不不存存在在 結(jié)結(jié)論論顯顯然然成成立立若若直直線線 的的斜斜率

16、率存存 設(shè)設(shè)為為則則222pp2112211113720,.,.():ypx pFlA x yB xyA BA BAFB F已已知知過過拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn) 的的直直線線 交交拋拋物物線線于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)過過分分別別作作準(zhǔn)準(zhǔn)例例拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn)線線的的垂垂弦弦問問題題問問題題線線 垂垂足足分分別別為為則則1111111111111190:,/ /,.AAAFAAFAFAAAOFAAFAFOAFOAFAB FOB FBAFBAFBF 解解同同理理2112211111121111112221113820123454,.,.(,( );( );( );( ),;( ).):ypx pFlA

17、x yB xyABMA B MA B MAMBMABM FM FAFBFAMAFH BMB FQM Q F HAMM BM M已已知知過過拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn) 的的直直線線 交交拋拋物物線線于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)的的中中點(diǎn)點(diǎn)為為過過分分別別作作準(zhǔn)準(zhǔn)線線的的垂垂線線 垂垂足足分分別別為為則則設(shè)設(shè)與與交交于于與與交交例例于于則則四四點(diǎn)點(diǎn)共共圓圓拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn)弦弦問問題題問問題題11111111111111111111111111211111111290903490:( ),.( ),;( );( ),MABAMBMAFBMABA MM FM FAM AFAAFAFAAAFFA MAA MA

18、FAAFMMFABM FAFBFAMBMAM BAFB FAFB 解解在在以以為為直直徑徑的的圓圓上上為為直直角角三三角角形形是是斜斜邊邊的的中中點(diǎn)點(diǎn)又又11222211222111190524,;( )M Q F HAMM BABAFBFAABBMMMM四四點(diǎn)點(diǎn)共共圓圓2112211111120123439,.( ) ,;( ) ,;( ),;( ),.(;):ypx pFlA x yB xyA O BB O AAOBBBxBOAAAx已已知知過過拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn) 的的直直線線 交交拋拋物物線線于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)三三點(diǎn)點(diǎn)共共線線三三點(diǎn)點(diǎn)共共線線設(shè)設(shè)直直線線與與準(zhǔn)準(zhǔn)線線交交于于則則平平行行

19、軸軸設(shè)設(shè)直直例例拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn)弦弦問問題題線線與與準(zhǔn)準(zhǔn)線線交交于于則則平平行行題題軸軸問問11112221112212221222222234:,.( ),( ),( ).oAoBoAoByyyypkkpyxyppypy ypkkppyA O B 解解而而三三點(diǎn)點(diǎn)共共線線同同理理可可證證21122312011120,.,.():,.|ypx pFlA x yB xyCDFCDABABCDp已已知知過過拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn) 的的直直線線 交交拋拋物物線線于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)若若是是過過 的的拋拋物物線線的的另另例例拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn)弦弦問問題題問問題題一一條條弦弦 且且則則02202

20、2222901112:,:,sin,sin ()cos|ABCDpABppCDABCDp解解直直線線CDCD的的傾傾斜斜角角為為90 +90 +由由問問題題 的的結(jié)結(jié)論論211222203211,.sin.():AOBypx pFlA x yB xypS已已知知過過拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn) 的的直直線線 交交拋拋例例拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn)弦弦問問題題題題物物線線于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)問問02211221212122 22:sinsinsinsinsinsinsinOABOBFAFSSSOFBFOFAFOFAFBFOFABppp解解與拋物線有關(guān)的定值，最值問題與拋物線有關(guān)的定值，最值問題例例4:已知拋物

21、線已知拋物線x2=4y,點(diǎn)點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)點(diǎn)A的的坐標(biāo)為坐標(biāo)為(12,6).求點(diǎn)求點(diǎn)P到點(diǎn)到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到到x軸的距軸的距離之和的最小值離之和的最小值.故故|PA|+y= |PA|+|PF|-1,由圖可知由圖可知,當(dāng)當(dāng)A P F三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線時(shí)時(shí),|PA|+|PF|取最小值為取最小值為|AF|= 13.故所求距離之和的故所求距離之和的最小值為最小值為|AF|-1=12.變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1:(2008遼寧高考遼寧高考)已知點(diǎn)已知點(diǎn)P是拋物線是拋物線y2=2x上的一上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)則點(diǎn)P到點(diǎn)到點(diǎn)(0,2)的距離與的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離到該拋物

22、線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為之和的最小值為( )179.3. 5.22ABCD22117(0)(20).22d最小距離A變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2：已知拋物線：已知拋物線y2=2x的焦點(diǎn)是的焦點(diǎn)是F,點(diǎn)點(diǎn)P是拋物是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)線上的動(dòng)點(diǎn),又有點(diǎn)又有點(diǎn)A(3,2),求求|PA|+|PF|的最小值的最小值,并并求出取最小值時(shí)求出取最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo).26.6x3y2x,yA.2,解 將代入拋物線方程得點(diǎn) 在拋物線內(nèi)部21277,Pl:xd,PAPFPAd,APl, PAd,PAPFP2,y2x,x2.P2,22.,2 設(shè)拋物線上點(diǎn) 到準(zhǔn)線的距離為由定義知由圖可知 當(dāng)時(shí)最小最小值為即的最小值為此時(shí) 點(diǎn)縱

23、坐標(biāo)為代入得點(diǎn) 坐標(biāo)為 22( ,0)y2x.1AP,PA. 2P,Pxy30,.,3已知拋物線設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為在拋物線上求一點(diǎn)使最小在拋物線上求一點(diǎn)使 到直線的距離最短 并求出距離的例 :最小值5題型四題型四 與拋物線有關(guān)的最值問題與拋物線有關(guān)的最值問題 222222(3211()2().333 1P x,y ,PA)yx0,x0,P2,3AAP 0,0 .xxxx解設(shè)則 且在此區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增 故當(dāng)時(shí)有最小值離 點(diǎn)最近的點(diǎn)題型四題型四 與拋物線有關(guān)的最值問題與拋物線有關(guān)的最值問題 20200000020| 21:P x ,yy2x,Pxy33|3|222|(1)5|,2 25 2.41(

24、,10y1.2,d)Pyyxydy方法設(shè)點(diǎn)是拋物線上任一點(diǎn)則 到直線的距離為當(dāng)有最小值點(diǎn) 的坐標(biāo)為題型四題型四 與拋物線有關(guān)的最值問題與拋物線有關(guān)的最值問題22,yxOA OBABx 過拋物線的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的例弦求證:直線與 軸的交點(diǎn)6：為定點(diǎn).:,OAlykx解：(1)設(shè)xkylOB1:則xykxy22聯(lián)立222,AAxykkxyxky212聯(lián)立22,2BBxkyk (1)k 22222212ABkkkkkkk.FxOyBA22222:y(),1(2)1kABxkkkkyxk即 ABx直線與 軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)(2, 0).1,(2,0)kAByAB 當(dāng)時(shí) 軸與x軸相交于點(diǎn),(2,0).AB 綜上所述 直線與x軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)22222212ABkkkkkkk.FxOyBA1122( .), (,),AB:A x yB xyykxb另解 設(shè)xybkxy22聯(lián)立0)22(222bxkbxk2221kbxxkbyy221同理02121yyxxOBOA由kbkbkb20222即:2ABykxk)0 , 2(軸交點(diǎn)與x.FxOyBA,(2,0)AByAB當(dāng) 軸時(shí)與x軸相交于點(diǎn) 綜綜上上所所述述, ,直直線線A AB B與與x x軸軸