數(shù)學(xué)分析(9-15)知識點總結(jié)

1、一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容1 1、定積分的定義、定積分的定義的取法均無關(guān)。的取法均無關(guān)。及及該極限與該極限與iT iiiiTbaxxfdxxf)()(lim )(10| 第九章第九章 定積分定積分定積分是個數(shù)，與被積函數(shù)在有限個點處的定義無關(guān)；定積分是個數(shù)，與被積函數(shù)在有限個點處的定義無關(guān)；與積分變量記號的選擇無關(guān)。與積分變量記號的選擇無關(guān)。 badxxf)( badttf)( baduuf)(求出求出及特殊的點集及特殊的點集取特殊的分割取特殊的分割, )1(iT iiiTbaxfdxxf)(lim )(0| 取左端點或右端點。取左端點或右端點。等分，等分，通常對通常對inba ,（2） 利用牛

2、頓利用牛頓-萊布尼茲公式。萊布尼茲公式。babaxFaFbFdxxf| )()()()(2 2、定積分的計算、定積分的計算在已知定積分存在的前提下，可用下面兩種方在已知定積分存在的前提下，可用下面兩種方法求出其值：法求出其值：3 3、定積分的幾何意義、定積分的幾何意義面積的代數(shù)和。面積的代數(shù)和。4 4、定積分的性質(zhì)、定積分的性質(zhì)線性、線性、 關(guān)于積分區(qū)間的可加性、關(guān)于積分區(qū)間的可加性、估值不等式、估值不等式、積分第一、第二中值定理。積分第一、第二中值定理。5 5、定積分與不定積分的聯(lián)系、定積分與不定積分的聯(lián)系（1 1）變上限積分的導(dǎo)數(shù)公式；）變上限積分的導(dǎo)數(shù)公式；保號性、保號性、),()(xf

3、dttfdxdxa )()()()(xaxafxbxbf )()()(xbxadttfdxd（2 2）牛）牛- -萊公式。萊公式。（3 3）可積函數(shù)不一定有原函數(shù)，有原函）可積函數(shù)不一定有原函數(shù)，有原函數(shù)的函數(shù)不一定可積。數(shù)的函數(shù)不一定可積。因為因為“含有含有第一類間斷點第一類間斷點的函數(shù)的函數(shù)”都沒有原函數(shù)，都沒有原函數(shù)，而而“含有有限個含有有限個第一類間斷點第一類間斷點的函數(shù)的函數(shù)”都可積。都可積。所以可積函數(shù)不一定有原函數(shù)。 0 , 01 , 10 ,1sin)(22xxxxxxf且且 0 , 01 , 10 ,1cos21sin2)(22xxxxxxxxf且且無界，從而不可積，無界，從

4、而不可積，在在11)( xf),(11)(xfxf的原函數(shù)是的原函數(shù)是，在在但但 即說明有原函數(shù)的函數(shù)不一定可積。6 6、可積條件、可積條件必要條件必要條件 若函數(shù)若函數(shù)f在在a,b上可積，則上可積，則f在在a,b上必定有界。上必定有界。 充要條件（充要條件（1） 函數(shù)函數(shù)f在在a,b可積當(dāng)且僅當(dāng)：可積當(dāng)且僅當(dāng)： ，使使分分割割T , 0 . Tiix, 0T分分割割、 使得屬于使得屬于T的所有小區(qū)間中，的所有小區(qū)間中， 充要條件（充要條件（2） 函數(shù)函數(shù)f在在a,b可積當(dāng)且僅當(dāng)：可積當(dāng)且僅當(dāng)： 對應(yīng)于振幅對應(yīng)于振幅 的那些小區(qū)間的那些小區(qū)間 的總長的總長. kkx kk 7 7、可積函數(shù)類、

5、可積函數(shù)類1、在、在a,b上連續(xù)的函數(shù)在上連續(xù)的函數(shù)在a,b可積?？煞e。2、在、在a,b上只有有限個間斷點的有界函數(shù)在上只有有限個間斷點的有界函數(shù)在 a,b上可積。上可積。 3、在、在 a,b上單調(diào)的有界函數(shù)在上單調(diào)的有界函數(shù)在a,b上可積。上可積。 （允許有無限多個間斷點）（允許有無限多個間斷點） 但并非可積函數(shù)只有這但并非可積函數(shù)只有這3類。如：黎曼函數(shù)類。如：黎曼函數(shù)不屬于這不屬于這3類的任何一類，但它是可積的。類的任何一類，但它是可積的。 在在a,b上函數(shù)的間斷點形成收斂的數(shù)列，上函數(shù)的間斷點形成收斂的數(shù)列，則函數(shù)在則函數(shù)在a,b可積?？煞e。8 8、利用不定積分計算定積分、利用不定積分

6、計算定積分（1 1）線性；）線性；恒等變形；恒等變形； 換元；換元； 分部積分；分部積分；一些特殊類型函數(shù)的積分。一些特殊類型函數(shù)的積分。（2 2）與不定積分法的差別）與不定積分法的差別 （3 3）利用對稱性、周期性及幾何意義。）利用對稱性、周期性及幾何意義。牛牛- -萊公式萊公式 積分限的確定，換元要換積分限，原函數(shù)積分限的確定，換元要換積分限，原函數(shù)求出后不需回代。求出后不需回代。（4） 開偶次方時，要帶絕對值。開偶次方時，要帶絕對值。9 9、雜記、雜記（1）定積分可用于計算某類特殊數(shù)列的極限。）定積分可用于計算某類特殊數(shù)列的極限。（2） 對對D(x)和和R(x) 的可積問題多一些關(guān)注。的

7、可積問題多一些關(guān)注。1 1、微元法的理論依據(jù)、微元法的理論依據(jù).)1()2()(,)()(,)()1()()(,)(定定積積分分的的微微分分的的分分就就是是這這表表明明連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的定定積積于于是是即即的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)是是則則它它的的變變上上限限積積分分上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa 第第10章章2 2、名稱釋譯、名稱釋譯.)()(:)()(,)2(方法稱微元法方法稱微元法計算積分或原函數(shù)的計算積分或原函數(shù)的這種取微元這種取微元積分積分的無限積累的無限積累到到從從就是其微分就是其微分所求總量所求總量知知由理論依據(jù)由理論依據(jù)dx

8、xfdxxfUbadxxfdUAba （1）U是是與與一一個個變變量量x的的變變化化區(qū)區(qū)間間 ba,有有關(guān)關(guān)的的量量；（3）部分量）部分量iU 的近似值可表示為的近似值可表示為iixf )( ；就可以考慮用定積分來表達這個量就可以考慮用定積分來表達這個量U.3 3、所求量的特點、所求量的特點；）的的變變化化區(qū)區(qū)間間的的相相關(guān)關(guān)量量（記記為為確確定定）, 1baxU 2表表達達式式微微元元的的建建立立）U設(shè)想把區(qū)間設(shè)想把區(qū)間,ba分成分成n個小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間個小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間并記為并記為,dxxx ，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量U 的近似值的近似值.如果

9、如果U 能近似地表示為能近似地表示為,ba上的一個上的一個連續(xù)函數(shù)在連續(xù)函數(shù)在x處的值處的值)(xf與與dx的乘積，的乘積， ，即即dxxfxdUdU )()( ,C)(baxf 其其中中，即即)()( xoxxfU ）。（此此時時，以靜代動以簡代繁、以直代曲、。則則 badxxfU)( 4 4、解題步驟、解題步驟是是非非常常困困難難的的。通通常常要要驗驗證證)()( xoxxfU 一一般般來來說說不不是是唯唯一一的的。中中的的且且)()()( xfxoxxfU 也也不不是是唯唯一一的的。中中的的所所以以)( )( xfdxxfUba 平面圖形的面積平面圖形的面積直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)參數(shù)方程參數(shù)方

10、程極坐標(biāo)極坐標(biāo)弧微分弧微分弧長弧長旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積?5 5、定積分應(yīng)用的常用公式、定積分應(yīng)用的常用公式(1) 平面圖形的面積平面圖形的面積xyo)(xfy badxxfA| )(|xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形abab上曲線減下曲線對上曲線減下曲線對x積分。積分。yxOcdAx=f(y)（圖（圖5）x=g(y) dcdyygyfA)()(右曲線減左曲線對右曲線減左曲線對y積分。積分。一般解題步驟：一般解題步驟：（1）畫草圖，定結(jié)構(gòu)；）畫草圖，定結(jié)構(gòu)；（2）解必要的交點，定積分限；）解必要的交點，定積分限；

11、（3）選擇適當(dāng)公式，求出面積（定積分）。）選擇適當(dāng)公式，求出面積（定積分）。注意：答案永遠為正。注意：答案永遠為正。如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t對對應(yīng)應(yīng)曲曲線線起起點點與與終終點點的的參參數(shù)數(shù)值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，)(ty 連連續(xù)續(xù).參數(shù)方程所表示的函數(shù)參數(shù)方程所表示的函數(shù) dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形(2) 體積體積xdxx xyodx

12、xfVbax2)( dyyVdcy2)( xyo)(yx cddxxxfVbay)(2 dyyyVdcx)(2 xo badxxAV)(xdxx ab平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積)(xA.sin)(320 ),(03 drVrr 所所成成立立體體的的體體積積為為：繞繞極極軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)由由)( rr ） ） (3) 平面曲線的弧長平面曲線的弧長xoyabxdxx dy弧長弧長dxysba 21A曲線弧為曲線弧為 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)弧長弧長dttts )()(22)(xfy B曲線弧為曲線弧為22d

13、ydxds C曲線弧為曲線弧為)( )( rr 弧長弧長 drrs )()(22(4) 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xdxx xyo)(xfy bxaxfy , 0)( badxxfxfS)(1)(22側(cè)側(cè)ydsdS 2 (5) 變力所作的功變力所作的功)(xFo abxdxx x babadxxFdWW)(6) 液體壓力液體壓力xyoabxdxx )(xf babadxxxfdPP)( )(為為比比重重 (7) 引力引力xyxdxx oAl l llllyyxadxGadFF2322)( . 0 xF)(為引力系數(shù)為引力系數(shù)G(8) 函數(shù)的平均值函數(shù)的平均值 badxxfaby)(1第第11

14、章章一、兩類反常積分的概念一、兩類反常積分的概念 adxxf)( uaudxxf)(lim badxxf)( buaudxxf)(lim badxxf )(lim0 dxxf)( adxxf)( adxxf)(當(dāng)當(dāng) adxxf)(和和 adxxf)(都都收收斂斂時時， a為任意常數(shù)為任意常數(shù),就就稱稱 dxxf)(收收斂斂； 如果如果a,b都是瑕點都是瑕點，則定義，則定義 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)(， c為為(a,b)內(nèi)任一實數(shù)。內(nèi)任一實數(shù)。當(dāng)且僅當(dāng)右端兩個積分都收斂時，才稱左端瑕積分收斂。當(dāng)且僅當(dāng)右端兩個積分都收斂時，才稱左端瑕積分收斂。二、二、計算方法計算方法求正

15、常積分求正常積分+求極限；求極限；)0( axdxap 時，發(fā)散時，發(fā)散當(dāng)當(dāng)時，收斂；時，收斂；當(dāng)當(dāng)11pp bapaxdx)( 時，發(fā)散時，發(fā)散當(dāng)當(dāng)時，收斂；時，收斂；當(dāng)當(dāng)110pp三、兩類反常積分的判斂方法三、兩類反常積分的判斂方法1、Cauchy準(zhǔn)則準(zhǔn)則 收收斂斂 )(adxxf有有, 021GuuaG .)(21 uudxxf有有),(, 0, 021 aauu.)(21 uudxxf 是是瑕瑕點點）收收斂斂（adxxfba )(2、比較法則、比較法則 baadxxfdxxf的斂散性，的斂散性，和和用于判別用于判別| )(| )(|通常取通常取p-積分為比較對象，且常用極限形式。積分為

16、比較對象，且常用極限形式。3、Dirichelet判別法和判別法和Abel判別法判別法 用于判別兩個函數(shù)相乘時的反常積分的斂散性。用于判別兩個函數(shù)相乘時的反常積分的斂散性。:)0(cos sin adxxxdxxxapap的斂散性的斂散性和和時，發(fā)散。時，發(fā)散。時，條件收斂；時，條件收斂；時，絕對收斂；時，絕對收斂；0101 ppp四、絕對收斂與條件收斂四、絕對收斂與條件收斂定積分：定積分：可積，可積，在在可積可積在在,|,bafbaf無窮積分：無窮積分：. )( | )(|收收斂斂收收斂斂 aadxxfdxxf瑕積分：瑕積分：. )( | )(|收收斂斂收收斂斂 babadxxfdxxf可積

17、，可積，在在可積可積在在,|,2bafbaf. )( | )(|2收收斂斂收收斂斂 aadxxfdxxf. | )(| )(2收收斂斂收收斂斂 babadxxfdxxf. )( )(2收收斂斂收收斂斂 aadxxfdxxf第第12章章 數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù)正項級數(shù)正項級數(shù)交錯級數(shù)交錯級數(shù)一般項級數(shù)一般項級數(shù) nnnuuuuu3211nns lim存在存在. . niinnuuuus121收斂收斂 1nnu有有, 0, 0 pNmN .|21 pmmmuuu收斂收斂正項級數(shù)正項級數(shù) 1nnu有有界界。ns 發(fā)散發(fā)散時時當(dāng)當(dāng)收斂于收斂于時時當(dāng)當(dāng),11,1 0qqaqaqnn 發(fā)散發(fā)散時時當(dāng)當(dāng)收斂收斂時

18、時當(dāng)當(dāng),1,1 11ppnnp 時，發(fā)散時，發(fā)散當(dāng)當(dāng)條件收斂條件收斂時時當(dāng)當(dāng)絕對收斂絕對收斂時時當(dāng)當(dāng)0,10,1 1)1(1pppnnpn 11cos , sinnpnpnnxnnx時，絕對收斂；時，絕對收斂；當(dāng)當(dāng)1 p,0時，發(fā)散時，發(fā)散 p.,10條件收斂條件收斂時，收斂時，收斂當(dāng)當(dāng) p相同。相同。斂散性與斂散性與dxnnxp 1sin收斂級數(shù)的基本性質(zhì)：收斂級數(shù)的基本性質(zhì)：. 0lim . 11 nnnnuu 收斂收斂.0lim 1發(fā)散發(fā)散 nnnnuu,)(, . 2 dcsdvcuvsunnnn 3. 級數(shù)的斂散性與級數(shù)的有限項無關(guān)，但收斂的級數(shù)的斂散性與級數(shù)的有限項無關(guān)，但收斂的和

19、一般會有影響。和一般會有影響。4 . 收斂級數(shù)加括號后仍收斂，且和不變（即有結(jié)收斂級數(shù)加括號后仍收斂，且和不變（即有結(jié)合律）；合律）；5. 絕對收斂級數(shù)的任意重排級數(shù)仍絕對收斂，且絕對收斂級數(shù)的任意重排級數(shù)仍絕對收斂，且和不變（即有交換律）。和不變（即有交換律）。6.6. 收斂收斂級數(shù)與發(fā)散級數(shù)級數(shù)與發(fā)散級數(shù)的的和必為發(fā)散級數(shù)。和必為發(fā)散級數(shù)。正項級數(shù)審斂法正項級數(shù)審斂法1、比較法（、比較法（un為有理表達式時）；為有理表達式時）；2、比式法（、比式法（un含含n!時）；時）；3、根式法（、根式法（un含含n次方時）；次方時）；4、積分法、積分法 ( ）；）；斂散性易判別時斂散性易判別時當(dāng)當(dāng)

20、adxxf)(5、拉貝法（、拉貝法（ ）；）；時時當(dāng)當(dāng)1lim1 nnnuu )1()1(111nnnnnnuu 或或萊布尼茨定理萊布尼茨定理 如果交錯級數(shù)滿足條件如果交錯級數(shù)滿足條件: : ( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, ,則則級數(shù)收斂級數(shù)收斂, ,且其和且其和1us , ,其余項其余項nr的絕對值的絕對值1 nnur. . )0( nu其中其中交錯級數(shù)審斂法交錯級數(shù)審斂法這是這是Dirichelet判別法的特殊情形。判別法的特殊情形。一般項級數(shù)審斂法一般項級數(shù)審斂法1、Abel判別法，判別法，2、Dirichelet判別法。判別法。斂。斂

21、。則，再考慮是否條件收則，再考慮是否條件收收斂則為絕對收斂，否收斂則為絕對收斂，否斂），斂），的斂散性（正項級數(shù)判的斂散性（正項級數(shù)判一般先考慮一般先考慮 | nu 用比值或根值判別法判定的非絕對收斂級用比值或根值判別法判定的非絕對收斂級數(shù)一定發(fā)散。數(shù)一定發(fā)散。, , . 2BvAunn絕對收斂于絕對收斂于絕對收斂于絕對收斂于若若 則它們的乘積按任意順序所得的級數(shù)也絕對則它們的乘積按任意順序所得的級數(shù)也絕對收斂于收斂于AB. . 111svsunnnn也絕對收斂于也絕對收斂于，則其重排級數(shù)，則其重排級數(shù)絕對收斂于絕對收斂于設(shè)設(shè) 絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)絕對收斂級數(shù)的性質(zhì) 條件收斂的級數(shù)，可以適當(dāng)重排

22、，使其按任意預(yù)條件收斂的級數(shù)，可以適當(dāng)重排，使其按任意預(yù)定的方式收斂定的方式收斂或或發(fā)散。發(fā)散。第第13章章,| )()(|, 0 )1( xfxfIxNnNn都有都有若若等價于下列等價于下列3條之一：條之一：. 0| )()(|suplim )3( xfxfnIxn好用！好用！.| )()(|, 0 )2( xfxfIxNnmNmn都有都有一致收斂。一致收斂。但在但在不一致收斂，不一致收斂，在在)1(, )1 , 1( aaaxn典型例題：典型例題：)( )(xfxfnI)( )(xfxfnI的常用判定法：的常用判定法：. 0| )()(|suplim )1( xfxfnIxn,| )()(

23、|, 0 )2(000000 xfxfIxNnNn有有上不連續(xù)。上不連續(xù)。在在上連續(xù)，但上連續(xù)，但在在IxfIxfnn)()(, )3( ).()(1xsxukk一致收斂于一致收斂于 ,),( )( )1(Dxx sxsn 有有, 0, 0 )2(DxpNmN .| )()()(|21 xuxuxupmmm. 0| )()(|suplim )3( xsxsnDxn等價于下列等價于下列3條之一條之一：典型例題：典型例題：一致收斂。一致收斂。但在但在不一致收斂，不一致收斂，在在)1(, )1 , 1( aaaxn一致收斂的判別法：一致收斂的判別法： 1)(kkxu（1）優(yōu)級數(shù)判別法）優(yōu)級數(shù)判別法（

24、2）Abel判別法判別法（3）Dirichelet判別法判別法)()(1xsxukk不一致收斂于不一致收斂于 的常用判定法：的常用判定法：, 0 )( 1xun）（D, )( )( 2xsxsn）（D上不連續(xù)。上不連續(xù)。在在上連續(xù)，但上連續(xù)，但在在IxsIxunn)( )(, )3( 一致收斂函數(shù)列的性質(zhì)：一致收斂函數(shù)列的性質(zhì)：)(limlim)(limlim00 xfxfnxxnnnxx 則則（1）上上也也連連續(xù)續(xù)，且且也也在在則則其其極極限限函函數(shù)數(shù)Ixf)( （2）連續(xù)，連續(xù)，在在且且Ixfnn)(, )( )(xfxfnI)( )(xfxfnI（3）.)(lim)(limdxxfdxx

25、fnbannnba 收斂，收斂，在在0)(xxfn連續(xù)，且連續(xù)，且在在Ixfnn)(, 上一致收斂，則上一致收斂，則在在Ixfn)( (lim( )lim( ).nnnnfxfx一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)則則上一致收斂上一致收斂在在,)(1Dxunn (1)(2), 0 )(xunD,)(1一致收斂一致收斂在在baxunn 連續(xù)，連續(xù)，在在且且,)(,baxunn 且且連續(xù)連續(xù)在在則則,)()(1baxuxsnn .)()( babanndxxudxxu（3）收斂，收斂，在在0 )(xxun 連續(xù)，且連續(xù)，且在在 )(,Ixunn 上一致收斂，則上一致收斂，則在在Ixun

26、 )( ( )( ).nnfxfx第第14章章一、冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域一、冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域形如形如nnnxxa)(00 的級數(shù)稱為的級數(shù)稱為冪級數(shù)冪級數(shù). ,00時時當(dāng)當(dāng) xnnnxa 0定理定理 1 (1 (AbelAbel 定理定理) ) 說明冪級數(shù)存在收斂半徑。說明冪級數(shù)存在收斂半徑。收斂半徑的求法：收斂半徑的求法： （1）根式法，）根式法，（2）比式法，）比式法，定理定理 2 2 如果冪級數(shù)如果冪級數(shù) 0nnnxa的所有系數(shù)的所有系數(shù)0 na,設(shè)設(shè) nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 則則當(dāng)當(dāng)0 時時, 1R;(3) 當(dāng)當(dāng) 時時,0

27、R.(2) 當(dāng)當(dāng)0 時時, R;這個方法不適合求缺項級數(shù)的收斂半徑。這個方法不適合求缺項級數(shù)的收斂半徑。 冪級數(shù)在收斂區(qū)間端點的收斂情況，轉(zhuǎn)化成數(shù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間端點的收斂情況，轉(zhuǎn)化成數(shù)項級數(shù)的判斂問題。項級數(shù)的判斂問題。二、冪級數(shù)的性質(zhì)二、冪級數(shù)的性質(zhì)（1）在收斂區(qū)間內(nèi)閉一致收斂，）在收斂區(qū)間內(nèi)閉一致收斂，（2）和函數(shù)在收斂區(qū)間連續(xù)，）和函數(shù)在收斂區(qū)間連續(xù)，（3）在收斂區(qū)間可以逐項求導(dǎo)、逐項求積，）在收斂區(qū)間可以逐項求導(dǎo)、逐項求積，且所得冪級數(shù)收斂半徑不變。且所得冪級數(shù)收斂半徑不變。三、冪級數(shù)的求和三、冪級數(shù)的求和通常采用逐項求導(dǎo)、逐項求積，并利用一些已知通常采用逐項求導(dǎo)、逐項求積，并利用一

28、些已知級數(shù)的和函數(shù)。級數(shù)的和函數(shù)。. 1| ,11 0 xxxnn常用常用注意這個級數(shù)的各種變異。注意這個級數(shù)的各種變異。記住下列冪級數(shù)的和函數(shù)：;11)1(0 xxnn ;11)1()4(202xxnnn ;1)3(202xaaxnn ;11)()2(0 xxnn . 1| x四、函數(shù)展開成冪級數(shù)四、函數(shù)展開成冪級數(shù) 如果如果)(xf在點在點0 x處任意階可導(dǎo)處任意階可導(dǎo), ,則冪級數(shù)則冪級數(shù)nnnxxnxf)(!)(000)( 稱為稱為)(xf在點在點0 x的的泰勒級數(shù)泰勒級數(shù). . 如果如果f(x) 能展成冪級數(shù)，則這個冪級數(shù)是唯一的，能展成冪級數(shù)，則這個冪級數(shù)是唯一的，就是就是f(x)

29、的泰勒級數(shù)。的泰勒級數(shù)。 0)(lim xRnn. . 如如果果)(xf在在點點0 x處處任任意意階階可可導(dǎo)導(dǎo), ,則則 f( (x) )nnnxxnxf)(!)(000)( . . f( (x) )= =nnnxxnxf)(!)(000)( 1.1.直接法直接法( (泰勒級數(shù)法泰勒級數(shù)法) )步驟步驟:不不能能展展成成冪冪級級數(shù)數(shù)；不不存存在在，說說明明，若若求求)()(!)()1(0)(0)(xfxfnxfaknn ).()(0)(limxfIxfxRn內(nèi)內(nèi)收收斂斂于于區(qū)區(qū)間間的的泰泰勒勒級級數(shù)數(shù)在在收收斂斂，則則若若 ,0)(lim(2)IxRnn的的范范圍圍考考察察 2.2.間接法間接

30、法根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, 利用常見展開式利用常見展開式, 通過通過變量代換變量代換, 四則運算四則運算, 恒等變形恒等變形, 逐項求導(dǎo)逐項求導(dǎo), 逐項積分逐項積分等方等方法法,求展開式求展開式.記住幾個特殊函數(shù)的展開式：記住幾個特殊函數(shù)的展開式：),1ln( ,11 ,11 ,cos ,sin ,xxxxxex 注意收斂范圍。注意收斂范圍。本章討論了下面三類問題：本章討論了下面三類問題：1、冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域。、冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域。2、冪級數(shù)的一致收斂性，及和函數(shù)的性質(zhì)。、冪級數(shù)的一致收斂性，及和函數(shù)的性質(zhì)。3、函數(shù)展開成冪級數(shù)的條件及方法。、函數(shù)展開成冪級數(shù)的

31、條件及方法。請同學(xué)體會求冪級數(shù)和函數(shù)的方法，并注意在逐請同學(xué)體會求冪級數(shù)和函數(shù)的方法，并注意在逐項求積時，收斂域可能擴大，只要冪級數(shù)在端點項求積時，收斂域可能擴大，只要冪級數(shù)在端點收斂，而和函數(shù)在相應(yīng)點有定義，那么和函數(shù)成收斂，而和函數(shù)在相應(yīng)點有定義，那么和函數(shù)成立的區(qū)間就可以包含這個端點。（立的區(qū)間就可以包含這個端點。（這是這是P51.3的結(jié)的結(jié)果果）逐項求導(dǎo)時，一般收斂域會減少。逐項求導(dǎo)時，一般收斂域會減少。如如,)(12 nnnxxf,)(11 nnnxxf,)1()(22 nnnxnxf它們的收斂半徑都是它們的收斂半徑都是1,但它們的收斂域各是但它們的收斂域各是)1 , 1(),1 ,

32、 1,1 , 1 第十五章第十五章傅里葉級數(shù)的理論基礎(chǔ)：傅里葉級數(shù)的理論基礎(chǔ)：,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性（1）它們的最小公共周期為）它們的最小公共周期為,2 （2）任何兩個不同的函數(shù)相乘在）任何兩個不同的函數(shù)相乘在 上積上積分為分為0，, （3）任何一個函數(shù)的平方在）任何一個函數(shù)的平方在 上積分不上積分不為為0，, 本章重點研究函數(shù)展成三角級數(shù)的方法。本章重點研究函數(shù)展成三角級數(shù)的方法。 如果如果f(x)能展成一致收斂的三角級數(shù)，則這個三角能展成一致收斂的三角級數(shù)，則這個三角級數(shù)必是級數(shù)必是f(x) 的傅里葉級數(shù)。的傅里葉級數(shù)。 ), 2 , 1(,sin)(1