不等式和絕對(duì)值不等式 (1)

1、不等式和絕對(duì)值不等式不等式和絕對(duì)值不等式 這一結(jié)論雖很簡(jiǎn)單這一結(jié)論雖很簡(jiǎn)單, ,卻是我們推導(dǎo)或證明不等式的基礎(chǔ)卻是我們推導(dǎo)或證明不等式的基礎(chǔ). .1. 不等式的基本性質(zhì)不等式的基本性質(zhì) 1、不等式的基本性質(zhì)：、不等式的基本性質(zhì)：、對(duì)稱(chēng)性：、對(duì)稱(chēng)性： 傳遞性：傳遞性：_ 、 ，a+cb+c、ab， ， 那么那么acbc； ab， ，那么，那么acbc、ab0， 那么，那么，acbd、ab0，那么，那么anbn.（條件（條件 ）、 ab0 那么那么 （條件（條件 ）nnba abbacacbba ,Rcba ,0c0c0 dc2,nNn2,nNn運(yùn)用不等式性質(zhì)的關(guān)鍵是不等號(hào)方向，條件與不等運(yùn)用不等

2、式性質(zhì)的關(guān)鍵是不等號(hào)方向，條件與不等號(hào)方向是緊密相連的。號(hào)方向是緊密相連的。 分析分析: 比較大小比較大小,是作差是作差變形變形定符號(hào)定符號(hào).變形方法有二種變形方法有二種: 1. 分解因式；分解因式； 2. 配方配方.例例. 已知已知ab0，cd0，求證：，求證：abdc例例.求證：如果求證：如果ab0，cd0，那么，那么acbd。證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)閍b0, cd0， 由不等式的基本性質(zhì)（由不等式的基本性質(zhì)（3）可得）可得acbc, bcbd， 再由不等式的傳遞性可得再由不等式的傳遞性可得acbcbd 練習(xí)：練習(xí)： 如果如果ab,cd，是否一定能得出，是否一定能得出acbd？ 并說(shuō)明理由并說(shuō)

3、明理由. 例例.對(duì)于實(shí)數(shù)對(duì)于實(shí)數(shù)a、b、c，判斷下列命題的真假：判斷下列命題的真假：（1）若）若cab0，則，則（2）若）若ab, ，則，則a0，b0。 abcacb11ab（真命題）（真命題）（真命題）（真命題）2. 基本不等式基本不等式2222如果a，bR，那么a +b 2ab，如果a，bR，那么a +b 2ab， 當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)等 當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)等定理1：定理1：號(hào)成立。號(hào)成立。aabbb幾何解釋幾何解釋?zhuān)ɑ静坏仁剑ɑ静坏仁剑゛+ba+b 如果a，b0，那么ab， 如果a，b0，那么ab，2 2 當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)等 當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)等定理2：定理2：號(hào)成立。號(hào)成

4、立。算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)幾何解釋幾何解釋OabDabACB 可以用來(lái)求最值可以用來(lái)求最值( (積定和小，和定積大積定和小，和定積大) ) 兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均例例.求證求證:1.在所有周長(zhǎng)相同的矩形中在所有周長(zhǎng)相同的矩形中,正方形的面積最大正方形的面積最大; 2. 在所有面積相同的矩形中在所有面積相同的矩形中,正方形的周長(zhǎng)最短。正方形的周長(zhǎng)最短。結(jié)論：已知結(jié)論：已知x, y都是正數(shù)都是正數(shù).1. 如果積如果積xy是定值是定值p,那么當(dāng)那么當(dāng)x=y時(shí)時(shí), 和和x+y有最小值有最小值2 ；2. 如果和如果和x+y是定值是定

5、值s, 那么當(dāng)那么當(dāng)x=y時(shí)時(shí), 積積xy有最大值有最大值p214sxyS周長(zhǎng)周長(zhǎng)L=2x+2y設(shè)矩形周長(zhǎng)為設(shè)矩形周長(zhǎng)為L(zhǎng),L,面積為面積為S,S,一邊長(zhǎng)為一邊長(zhǎng)為x,x,一邊長(zhǎng)為一邊長(zhǎng)為y,y,例例. .某居民小區(qū)要建一個(gè)八邊形的休閑場(chǎng)所某居民小區(qū)要建一個(gè)八邊形的休閑場(chǎng)所, ,它的主體造它的主體造型平面圖是由兩個(gè)相同的矩形型平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCDABCD和和EFGHEFGH構(gòu)成的面積為構(gòu)成的面積為200200平方米的十字型地域平方米的十字型地域. .計(jì)劃在正方形計(jì)劃在正方形MNPQMNPQ上建一座花上建一座花壇壇, ,造價(jià)為每平方米造價(jià)為每平方米42004200元元, ,在四個(gè)相同

6、的矩形上在四個(gè)相同的矩形上( (圖中圖中陰影部分陰影部分) )鋪花崗巖地坪鋪花崗巖地坪, ,造價(jià)每平方米造價(jià)每平方米210210元元, ,再在四個(gè)再在四個(gè)空角空角( (圖中四個(gè)三角形圖中四個(gè)三角形) )上鋪草坪上鋪草坪, ,每平方米造價(jià)每平方米造價(jià)8080元元. . (1)(1)設(shè)總造價(jià)為設(shè)總造價(jià)為S S元元,AD,AD長(zhǎng)長(zhǎng)x x為米為米, ,試建立試建立S S關(guān)于關(guān)于x x的函數(shù)關(guān)的函數(shù)關(guān)系式系式; (2); (2)當(dāng)為何值時(shí)當(dāng)為何值時(shí)S S最小最小, , 并求出這個(gè)最小值并求出這個(gè)最小值. .QDBCFAEHGPMN解解: :設(shè)設(shè)AM=AM=y米米22200-42004xxyxyx因因而而

7、 224200210 480 2Sxxyy于于是是010 2x上面解法錯(cuò)在哪上面解法錯(cuò)在哪?均值不等式可以用來(lái)求最值均值不等式可以用來(lái)求最值(積定和小，和定積大積定和小，和定積大),但特別要注意條件但特別要注意條件的滿足：一正、二定、三相等的滿足：一正、二定、三相等.3：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式幾何平均不等式類(lèi)比基本不等式得類(lèi)比基本不等式得 例例. 求函數(shù)求函數(shù) 在在 上的最大值上的最大值.() ,211303 yxx注：一正、二定、三等。注：一正、二定、三等。4243練習(xí)練習(xí):是銳角，求是銳角，求y=sincos2的最大值的最大值22422222232221sincos2

8、sincoscos21 2sincoscos4(),232732sincos1 sin,sin32 3.9y max解：當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)y22222222222222222 0,0,2,112,22 0min ,0min ,12,.22abababababbaabababbhaaabbbhaababbhahab證明：即由于從而練習(xí)：練習(xí)：教材教材P1015題題求證求證: :在表面積一定的長(zhǎng)方體中在表面積一定的長(zhǎng)方體中, ,以正方體的體積最大以正方體的體積最大. .xyz vxyz解：設(shè)長(zhǎng)方體的三邊長(zhǎng)解：設(shè)長(zhǎng)方體的三邊長(zhǎng)度分別為度分別為x、y、z, ,則長(zhǎng)則長(zhǎng)方體的體積為方體的體積為222Sxyxzyz而而略略例例. .如圖，把一塊邊長(zhǎng)是如圖，把一塊邊長(zhǎng)是a 的正方形鐵片的各角的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形切去大小相同的小正方形, ,再把