第八章__槽道內(nèi)層流流動(dòng)與換熱

1、 高等傳熱學(xué)內(nèi)容4第一章 導(dǎo)熱理論和導(dǎo)熱微分方程4第二章 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 4第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 4第四章 凝固和熔化時(shí)的導(dǎo)熱 4第五章 導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解 4第六章 對(duì)流換熱基本方程 4第七章 層流邊界層的流動(dòng)與換熱 4第八章 槽道內(nèi)層流流動(dòng)與換熱 4第九章 湍流流動(dòng)與換熱 4第十章 自然對(duì)流 4第十一章 熱輻射基礎(chǔ) 4第十二章 輻射換熱計(jì)算 4第十三章 復(fù)合換熱 第八章第八章 槽道內(nèi)層流流動(dòng)與換熱槽道內(nèi)層流流動(dòng)與換熱 4本章將討論由壁面形成的槽道內(nèi)的流動(dòng)摩擦和流體與槽道壁面間的傳熱問(wèn)題，即槽道內(nèi)的流動(dòng)阻力或壓降如何？垂直于流動(dòng)方向的傳熱系數(shù)或熱阻的確定。4本章值得特別指出的一個(gè)重要問(wèn)題是充分發(fā)展流動(dòng)

2、與換熱。傳統(tǒng)的充分發(fā)展流概念，總是與自維持相關(guān)，用于處理N-S方程，然而這并不能明確地說(shuō)明這一概念。本質(zhì)上，充分發(fā)展流是外部流動(dòng)問(wèn)題的邊界層理論的發(fā)展或延續(xù)。其目的是相同的，均將流動(dòng)的研究限于局部區(qū)域(分為兩個(gè)區(qū)域)，使問(wèn)題的分析簡(jiǎn)化。 8-l 進(jìn)口段和充分發(fā)展流進(jìn)口段和充分發(fā)展流 48-1-1 進(jìn)口段進(jìn)口段4將積分方法應(yīng)用于槽道內(nèi)。如圖8-1 所示，兩個(gè)平行平板形成一個(gè)二維槽道，流體進(jìn)口速度為U。討論的重點(diǎn)是壁面摩擦力及槽道內(nèi)的速度分布。Sparrow給出了該問(wèn)題較詳細(xì)的積分求解過(guò)程。4前已說(shuō)明，邊界層理論是討論在有限細(xì)長(zhǎng)區(qū)域內(nèi)的粘性流動(dòng)，因而可以預(yù)測(cè)，速度邊界層在距離槽道入口不遠(yuǎn)處形成。在

3、入口處與外部流動(dòng)完全相似，邊界層厚度的增長(zhǎng)只能達(dá)到D/2。之后，上、下邊界層將相遇，這樣槽道內(nèi)的流動(dòng)可以分為兩個(gè)明顯不同的區(qū)域。第一個(gè)區(qū)域稱(chēng)為入口段或發(fā)展段，在壁面附近存在邊界層，兩個(gè)邊界層之間為無(wú)粘流動(dòng)，與外部流動(dòng)問(wèn)題十分接近；邊界層閉合之后的區(qū)域?yàn)榈诙€(gè)區(qū)域，槽道內(nèi)不存在無(wú)粘區(qū)，粘性區(qū)域充滿整個(gè)通道，已不再是邊界層流動(dòng)。由布勞修斯解可以估算入口段長(zhǎng)度： 4 (8 -l-l) 0.01ReDx D8-l 進(jìn)口段和充分發(fā)展流進(jìn)口段和充分發(fā)展流 圖8-1 兩平行平板間層流流動(dòng)邊界層的形成與發(fā)展 8-l 進(jìn)口段和充分發(fā)展流進(jìn)口段和充分發(fā)展流 4與外掠平板不同的是，由于邊界層的排擠，部分流體進(jìn)入核心

4、區(qū)使之加速。這種加速使進(jìn)口段邊界層的增厚減緩，但每個(gè)流動(dòng)斷面的質(zhì)量流量UD是相同的。4在入口段的核心區(qū)域，壓力與速度的關(guān)系可以由伯努利方程得到，即4 (8-1-2) 4其中Uc為核心無(wú)粘區(qū)的流速。值得注意的是，UcUc (x)，與外掠平板狀況有所不同。4同樣，采用積分方程可以得到4 (8-l -3) 4由質(zhì)量守恒得到4 (8-l-4) 10ccdUdpUdxdx200()()()cccy DdUduUu udyUu dydxdxy202DcDudyU dyU4假設(shè)邊界層內(nèi)充分發(fā)展流速度分布為二次方多項(xiàng)式4 (8-l-5)4求解式(8-1-3)和式(8-1-4) 得到4 (8-l-6) 4即 (

5、8-1-7) 8-l 進(jìn)口段和充分發(fā)展流進(jìn)口段和充分發(fā)展流 22( )cuyyU3(1)2cUDU( )3(1)2cxUDU4令 4得到 4 (8-l-8) 4和 4與式(8-1-1)比較不難看出，無(wú)論積分方程，還是相似解，得到的流動(dòng)入口段長(zhǎng)度屬同一數(shù)量級(jí)，它與DReD之比均在10-2數(shù)量級(jí)。 8-l 進(jìn)口段和充分發(fā)展流進(jìn)口段和充分發(fā)展流 ( )2xD3( )2cUxU0.026ReDx D4流動(dòng)入口段與充分發(fā)展段的根本區(qū)別，可以進(jìn)一步用壁面摩擦切應(yīng)力沿流動(dòng)方向x的變化來(lái)解釋。局部摩擦系數(shù)的定義為4 (8-1-9) 4其中 4代入式(8-l-6)，(8-l-8)，得到4 (8-l-10) 4在

6、入口段區(qū)域，局部摩擦系數(shù)Cf,x隨x增加而減小，原因是隨邊界層加厚，速度分布趨緩，在壁面處的速度梯度逐步減小。但需要強(qiáng)調(diào)的是，核心速度Uc隨x增大。對(duì)于充分發(fā)展段，由于速度分布已定型，與x無(wú)關(guān)，因而Cf,x也不隨x 變化。 8-l 進(jìn)口段和充分發(fā)展流進(jìn)口段和充分發(fā)展流 ,2( )12wf xxCU2()wDyuy,8(1)Re3tcf xDcUUCUU48-1-2 充分發(fā)展流動(dòng)4考慮圖8-1所示的二維穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的連續(xù)性方程與動(dòng)量方程4 (8-1-11) 4 (8-l-12) 4 (8-l-13) 4假定充分發(fā)展流區(qū)域距離進(jìn)口足夠遠(yuǎn)，在流道截面上只有沿流動(dòng)方向的速度。在斷面上變化，法向速度v可以忽

7、略。由方程(8-1-11)得到4 (8-1-14) 8-l 進(jìn)口段和充分發(fā)展流進(jìn)口段和充分發(fā)展流 0uvxy22221()uupuuuvxyxxy 22221()vvpvvuvxyyxy 0,0uvx4通常，上式被認(rèn)為是充分發(fā)展流的定義和起始點(diǎn)，但更主要的是式(8-l-14)的量級(jí)基礎(chǔ)。充分發(fā)展流區(qū)域中，y方向的數(shù)量級(jí)是槽道寬度D。由連續(xù)性方程可知。vDU/L，而LD，可以忽略。而對(duì)于流動(dòng)入口段，y的數(shù)量級(jí)是 (隨x變化)，因而v和u/x均不能忽略。4將式(8-1-l4)代入式(8-l-13)，得到 4 (8-l-15) 4表明壓力p只是流動(dòng)方向x的函數(shù)，這一點(diǎn)與外掠平板的邊界層分析是類(lèi)似的，

8、即在流道斷面上壓力是均勻一致的。進(jìn)一步，由式(8-1-14)得到4 (8-l -16) 4上式左、右側(cè)分別是x和y的函數(shù)，因而只能等于一個(gè)常數(shù)。 8-l 進(jìn)口段和充分發(fā)展流進(jìn)口段和充分發(fā)展流 0py222Dydpudxy常數(shù)4考慮壁面處非滑移條件和軸對(duì)稱(chēng)條件：4 (8-1-17) 4求解式(8-1-16 )即得到著名的二平行平板間流動(dòng)的哈根-泊肅葉速度分布4 (8-1-18) 4速度分布是拋物線型。 8-l 進(jìn)口段和充分發(fā)展流進(jìn)口段和充分發(fā)展流 0,02uyDyu y=0,2231 ()22()14yuUDDdpUdx4一般式(8-1-16)可以表示為4 (8-l-19) 4式中， 4對(duì)于圓管

9、內(nèi)充分發(fā)展流動(dòng)，壁面處速度u=0時(shí)，得到速度分布為4 (8-l-20) 8-l 進(jìn)口段和充分發(fā)展流進(jìn)口段和充分發(fā)展流 2dpudx 常數(shù)220ux202021 ()()8ruUrrdpUdx48-2-1 充分發(fā)展流的速度分布和摩擦系數(shù)充分發(fā)展流的速度分布和摩擦系數(shù)4當(dāng)流體的物性不隨溫度、壓力變化時(shí)，速度場(chǎng)與溫度場(chǎng)是非藕合的。求解速度場(chǎng)時(shí)不需考慮溫度分布，可以單獨(dú)求解。4上一節(jié)已求出的平均速度U表示的圓管內(nèi)充分發(fā)展流動(dòng)的速度分布(8-1-20 )，即4進(jìn)一步可以得到壁面處的摩擦應(yīng)力當(dāng)量4 (8-2-l) 4由壁面摩擦系數(shù)定義8-2 充分發(fā)展流的流動(dòng)與換熱充分發(fā)展流的流動(dòng)與換熱 2021 ()ru

10、Ur004wr rduUdrr 212wfCU4得到4 (8-2-2) 4通常，在討論槽道流時(shí)經(jīng)常使用阻力系數(shù)，并定義為4 (8-2-3) 4考慮平均速度定義式(8-1-20)，即4得到4 (8-2-4)4因而4 (8-2-5) 8-2 充分發(fā)展流的流動(dòng)與換熱充分發(fā)展流的流動(dòng)與換熱 02048161Re2fU rCUrU2()12dp dx DfU208rdpUdx 64Ref 4ffC 8-2 充分發(fā)展流的流動(dòng)與換熱充分發(fā)展流的流動(dòng)與換熱 48-2-2 充分發(fā)展管內(nèi)層流的換熱充分發(fā)展管內(nèi)層流的換熱41. 平均溫度平均溫度4管流換熱的基本問(wèn)題是流體與壁面間的溫差和流體與壁面間的傳熱速率。為不失

11、一般性，考慮如圖8-2所示的管內(nèi)流動(dòng)，其平均速度為U, 半徑為r0。4根據(jù)熱力學(xué)第一定律,穩(wěn)態(tài)時(shí)壁面對(duì)流體的加熱率等于流體焓的增加，即4 (8-2-6)4假定流體為理想氣體， ，或?yàn)椴豢蓧嚎s流體，dh cdtm，上式轉(zhuǎn)化為4 (8-2-7) 02()mx dxxqr dxqhhpmdhc dt02mpdtqdxrc U8-2 充分發(fā)展流的流動(dòng)與換熱充分發(fā)展流的流動(dòng)與換熱圖8-2 管內(nèi)流動(dòng)換熱 8-2 充分發(fā)展流的流動(dòng)與換熱充分發(fā)展流的流動(dòng)與換熱 4式中，控制體的溫度tm是流體的截面平均溫度，但流動(dòng)斷面上的流體溫度并非均勻一致。某一斷面上任一點(diǎn)的溫度t(x, r)一定與截面平均溫度tm(x)存在

12、一定關(guān)系，但tm不是任何其它形式的平均，而是熱力學(xué)定義的主體流動(dòng)的平均溫度?？紤]某一斷面的熱力學(xué)第一定律4 (8-2-8) 4將式(8-2-7)代入式(8-2-8)，得4 (8-2-9) 4常物性時(shí)4 (8-2-10) 4本節(jié)開(kāi)始已述，管流的基本問(wèn)題是流體與壁面間溫差與傳熱速率的關(guān)系，牛頓冷卻公式中采用ttwtm，感興趣的是得到對(duì)流換熱表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)4 (8-2-11) 02pAqr dxduc tdAmppAtc UAduc tdA0220001rmtutrdrdr U 0()r rwmwmtrqhtttt 8-2 充分發(fā)展流的流動(dòng)與換熱充分發(fā)展流的流動(dòng)與換熱 42. 充分發(fā)展的溫度分布充分發(fā)

13、展的溫度分布4從上式可以看出，欲得到傳熱速率，首先要確定流體的溫度場(chǎng)。通常的方法是求解能量方程。二維管流的能量方程為4 (8-2-12) 4由充分發(fā)展流的定義知，v0，uu(r)，則上式簡(jiǎn)化為4 (8-2-13) 4上式表明了能量的平衡，它包括軸向?qū)α鳌较驅(qū)岷洼S向?qū)?，由?8-2-7)知4 (8-2-14) 4相對(duì)應(yīng)項(xiàng)的數(shù)量級(jí)為4對(duì)流項(xiàng)導(dǎo)熱項(xiàng) 徑向軸向4 (8-2-15) 22221()tttttuvaxrrrrx22221()ttttuaxrrrx()ptqD c Ux()pUqa D c U2tD1()pqx D c U8-2 充分發(fā)展流的流動(dòng)與換熱充分發(fā)展流的流動(dòng)與換熱 4考慮流體

14、與壁面的傳熱是依靠壁面處的導(dǎo)熱，因而軸向?qū)?不能忽略。對(duì)流項(xiàng)可應(yīng)用牛頓冷卻公式，簡(jiǎn)化為 ，軸向?qū)釣?。4對(duì)于 的情況，軸向?qū)峥梢院雎?，得?，即Nu1。注意，1是指 的數(shù)量級(jí)。4不難推出， 時(shí)能量方程簡(jiǎn)化為4 (8-2-16) 2tDhD22() ()hDaUD1DUDPea?1hD2t D1DUDPea?221uttta xrrr8-2 充分發(fā)展流的流動(dòng)與換熱充分發(fā)展流的流動(dòng)與換熱 4對(duì)于充分發(fā)展流，U=U(r)與x無(wú)關(guān)。 的數(shù)量級(jí)為 ，即熱擴(kuò)散的影響到達(dá)中心，這一點(diǎn)不適用于熱進(jìn)口段。因?yàn)?，?時(shí) ，而thin (hin/r0)時(shí)，tw逼近外側(cè)流體溫度t，t= tw=常數(shù)，即前面介紹的

15、常壁溫情況。若h0hin，外側(cè)熱阻很大，管內(nèi)流體平均溫差twtm與x無(wú)關(guān), tw和tm均隨x線性變化，如圖8-4所示，與前面討論的常熱流情形類(lèi)似。 0()wqh tt11212010(ln)wrrr rhrh8-2 充分發(fā)展流的流動(dòng)與換熱充分發(fā)展流的流動(dòng)與換熱 圖8-4 第二類(lèi)邊界條件下充分發(fā)展流的換熱 8-2 充分發(fā)展流的流動(dòng)與換熱充分發(fā)展流的流動(dòng)與換熱 4當(dāng)是有限值時(shí)，twtm和q在x方向的變化為指數(shù)形式，這屬更一般的狀況。為分析方便，引入整體Nu數(shù)概念：4 (8-2-42a) 4管內(nèi)側(cè)Nu數(shù)為 4 (8-2-42b) 4兩者的關(guān)系是4 (8-2-43) 4其中畢握數(shù)4 (8-2-44)

16、mqDNuttwmqDNutt101212NuBiNu02h DBi8-2 充分發(fā)展流的流動(dòng)與換熱充分發(fā)展流的流動(dòng)與換熱 4由無(wú)量綱溫度 ，得到4 (8-2-45) 4于是能量方程( 8-2-16 )可以寫(xiě)為4 (8-2-46) 4邊界條件是4 (8-2-47) mtttt()mtttt22212(1)totddNurdrr dx0,01drdrdrBidr 軸對(duì)稱(chēng)，8-2 充分發(fā)展流的流動(dòng)與換熱充分發(fā)展流的流動(dòng)與換熱 4壁面處的能量平衡4 (8-2-48) 4考慮式(8-2-42)中Nutot的定義，有4 (8-2-49) 4圖8-5給出了式(8-2- 4)的的解，當(dāng)Bi由時(shí)，Nu數(shù)由4.3

17、63.66。 0()wtqh ttr12totNudrdr ，8-2 充分發(fā)展流的流動(dòng)與換熱充分發(fā)展流的流動(dòng)與換熱 圖8-5 第三類(lèi)邊界條件下充分發(fā)展流換熱的Nu數(shù) 8-3 熱入口段層流換熱熱入口段層流換熱 4上一節(jié)討論的換熱局限于速度與溫度均進(jìn)入充分發(fā)展的層流狀況，即當(dāng)用x描述距離入口的距離時(shí)4 (8-3-l) 4其中L和Lt分別為流動(dòng)入口段與熱入口段的長(zhǎng)度。48-3-1 熱入口段換熱分析熱入口段換熱分析4由入口段與充分發(fā)展流分析可知， 。流動(dòng)入口段長(zhǎng)度L 與熱人口段長(zhǎng)度Lt的關(guān)系與流體的Pr數(shù)直接相關(guān)。對(duì)于外部流動(dòng) ，可以推測(cè) 一定隨Pr數(shù)增大而減少。4Pr1時(shí)與外部邊界層問(wèn)題不同，在溫度

18、邊界層t內(nèi)，速度分布不用簡(jiǎn)化，因而對(duì)于Pr1，仍然是4這與Pr1的情況是相同的，因此式(8-3-4)也適用于Pr1的情況。比較式(8-3-4)，(8-3-5)得到4 (8-3-6) 4因此，對(duì)于熱入口段(xLt),有4 (8-3-7) 11112222RePrRePrtxxxx:PrtLL12()Re()PrhhhbtbhDDDx DqNutD8-3 熱入口段層流換熱熱入口段層流換熱 48 -3-2 熱充分發(fā)展的均勻流4當(dāng)Pr1時(shí)，流動(dòng)入口段遠(yuǎn)大于熱入口段，可以近似認(rèn)為在x遠(yuǎn)大于熱入口段，而又遠(yuǎn)小于流動(dòng)入口段，即與Lt x1的要求不一致。但當(dāng)考慮一固體在一個(gè)加熱的套筒中運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以出現(xiàn)速度均勻

19、一致的現(xiàn)象，將前面均勻溫度流體加熱圓管的速度分布調(diào)整為無(wú)量綱速度為1，可得到貝塞爾方程為4 (8-3-8) 4式中Nutot數(shù)由下式隱含給出：4 (8-3-9) 4考慮極限情況(見(jiàn)圖8-4) 4 (8-3-10) 4可見(jiàn)，當(dāng)溫度分布充分發(fā)展以后，未充分發(fā)展的速度分布可以增大Nu數(shù)，即進(jìn)口效應(yīng)。 1 21 201 2()()tottottotNuJr NuLJ Nu1 21 21 210()()tottottotNuJNuBiJNulim2lim5.783totBitotBiNuBiNu8-3 熱入口段層流換熱熱入口段層流換熱 48-3-3 具有泊肅葉流動(dòng)的熱入口段換熱具有泊肅葉流動(dòng)的熱入口段換

20、熱4當(dāng)Pr1 時(shí)，熱入口段長(zhǎng)度Lt遠(yuǎn)大于流動(dòng)入口段長(zhǎng)度L，在L x Lt范圍內(nèi)，流動(dòng)已充分發(fā)展，而溫度分布正在發(fā)展之中，忽略軸向?qū)?Pex 1)，考慮條件：4 常壁溫 tw=常數(shù)4 中心軸對(duì)稱(chēng) r=0, 4均勻入口溫度 ，4引入無(wú)量綱溫度 0trxLmttwmwtttt8-3 熱入口段層流換熱熱入口段層流換熱4無(wú)量綱尺寸 (8 -3-11)4代入管內(nèi)流動(dòng)能量方程(8-2-16 ) ，得到4 (8-3-12) 4對(duì)應(yīng)的邊界條件為4 (8-3-13) 0Re PrDrrrx Dx22112rrr2（1-r ）x1,00,00,1rrrx8-3 熱入口段層流換熱熱入口段層流換熱4采用分離變量方法求

21、解上面的線性齊次方程。設(shè)4 (8-3-14)4將其代入式(8-3-12)得到對(duì)應(yīng)的R和E方程：4 (8-3-15) 4 (8-3-16) 4由線性疊加原理得到的最終解的形式為4 (8-3-17a) ( )R r E x（ ）221(1)0RRrRr2 20EE20exp( 2)nnnnC Rx8-3 熱入口段層流換熱熱入口段層流換熱4其中Rn為特征函數(shù)，n為特征值，Cn是常數(shù)，并可根據(jù)x*=0的條件來(lái)確定。最終換熱的結(jié)果是4 (8-3-17b) 4 (8-3-18) 4 (8-3-19) 4當(dāng)x0.1 時(shí)，無(wú)窮級(jí)數(shù)迅速收斂，取第一項(xiàng)即可，則4 (8-3-20) 2208exp()nmnnnGx20220exp( 2)2exp( 2)nnnxnnnnGxNuGx02201128exp()xnnnnNuxGx2000200exp( 2)3.662exp()2xnGxNuGx8-3 熱入口段層流換熱熱入口段層流換熱4表明x*1時(shí)的Nux數(shù)與熱充分發(fā)展時(shí)的Nux數(shù)的值相等。因此認(rèn)為進(jìn)口段的無(wú)量綱長(zhǎng)度，即4 (8-3-21) 4前面給出的Nu