2.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)

1、2.3.2 拋物線的幾何性質(zhì)拋物線的幾何性質(zhì)07.01.05 平面內(nèi)與一個平面內(nèi)與一個定點(diǎn)定點(diǎn)F F和一條和一條定直線定直線L的的距離相等距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做的點(diǎn)的軌跡叫做。FMLN點(diǎn)焦距點(diǎn)焦距=點(diǎn)準(zhǔn)距點(diǎn)準(zhǔn)距(注意：注意：F不在不在l上。上。)定點(diǎn)定點(diǎn)F F叫做拋物線的叫做拋物線的。定直線定直線L L叫做拋物線的叫做拋物線的。圖圖 形形方方 程程焦焦 點(diǎn)點(diǎn)準(zhǔn)準(zhǔn) 線線lFyxOlFyxOlFyxOlFyxO2px 2px2py2py )0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pFy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p

2、0）yox)0,2(pFP(x,y)一、拋物線的幾何性質(zhì)一、拋物線的幾何性質(zhì)拋物線在拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時，的值增大時，y也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。延伸。1、范圍、范圍由拋物線由拋物線y2 =2px（p0）220pxy而而0p 0 x 所以拋物線的范圍為所以拋物線的范圍為0 x ( , )x y關(guān)于關(guān)于x軸軸對稱對稱( ,)xy 由于點(diǎn)由于點(diǎn) 也滿也滿足足 ，故拋物線，故拋物線(p0)關(guān)于關(guān)于x軸軸對稱對稱.( ,)xyy2 = 2pxy2 = 2px2、對稱性、對稱性yox)0,2(pFP(x,y)定義：拋物

3、線和它的軸的交點(diǎn)稱為拋物線定義：拋物線和它的軸的交點(diǎn)稱為拋物線的的頂點(diǎn)頂點(diǎn)。yox)0,2(pFP(x,y)由y2 = 2px （p0）當(dāng)當(dāng)y=0時時,x=0, 因此拋物線的頂點(diǎn)頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）。、頂點(diǎn)、頂點(diǎn)4、離心率、離心率yox)0,2(pFP(x,y) 拋物線上的點(diǎn)與焦拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的點(diǎn)的距離距離和它到準(zhǔn)線的和它到準(zhǔn)線的距離距離 之比，叫做拋物線之比，叫做拋物線的離心率，由拋物線的的離心率，由拋物線的定義，可知定義，可知e=1。補(bǔ)充補(bǔ)充（1）通徑：）通徑：通過焦點(diǎn)且垂直對稱軸的直線，通過焦點(diǎn)且垂直對稱軸的直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接這與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的線段叫

4、做拋物線的兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的通徑通徑。|PF|=x0+p/2xOyFP（2）焦半徑：）焦半徑： 連接拋物線任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的連接拋物線任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段叫做拋物線的線段叫做拋物線的焦半徑焦半徑。焦半徑公式：焦半徑公式：),(00yx（標(biāo)準(zhǔn)方程中（標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的幾何意義）的幾何意義）利用拋物線的利用拋物線的頂點(diǎn)頂點(diǎn)、通徑的兩個、通徑的兩個端點(diǎn)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫出可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特征的草圖。反映拋物線基本特征的草圖。通徑的長度通徑的長度：2P特點(diǎn)特點(diǎn)1.拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi)拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無雖然它可以無限延伸限延伸,但它沒有漸近線但它沒有漸近線;2.拋物線只

5、有一條對稱軸拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心沒有對稱中心;3.拋物線只有一個頂點(diǎn)、一個焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線拋物線只有一個頂點(diǎn)、一個焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線;4.拋物線的離心率是確定的拋物線的離心率是確定的,為為1;5.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對拋物線開口的影響對拋物線開口的影響.P越大越大,開口越開闊開口越開闊（二）歸納：拋物線的幾何性質(zhì)（二）歸納：拋物線的幾何性質(zhì)圖圖 形形方程方程焦點(diǎn)焦點(diǎn)準(zhǔn)線準(zhǔn)線 范圍范圍 頂點(diǎn)頂點(diǎn) 對稱軸對稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pF)0

6、,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x軸軸y軸軸1例：例：已知拋物線關(guān)于已知拋物線關(guān)于x x軸對稱，它的頂點(diǎn)軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)M M（，），求（，），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程它的標(biāo)準(zhǔn)方程. .因?yàn)閽佄锞€關(guān)于因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)M M（，），（，），2 2解：解：所以設(shè)方程為：所以設(shè)方程為：)0(22ppxy又因?yàn)辄c(diǎn)又因?yàn)辄c(diǎn)M M在拋物線上：在拋物線上：所以：所以：2( 2 2)22p2p因此所求拋物線標(biāo)

7、準(zhǔn)方程為：因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：24yx（三）、（三）、例題講解：例題講解：2 2（三）、例題講解：（三）、例題講解：練習(xí)：練習(xí)：頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y y軸上，并且經(jīng)過點(diǎn)軸上，并且經(jīng)過點(diǎn)M M（4,4,) )的拋物線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為的標(biāo)準(zhǔn)方程為yxDyxCyxByxA212222.2.4.8.yxxyDxyCxyBxyA364.2.2.4.22222或（三）、例題講解：（三）、例題講解：練習(xí)練習(xí)2 2：頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是X X軸，點(diǎn)軸，點(diǎn)M M（-5, )-5, )到焦點(diǎn)距離為到焦點(diǎn)距離為6 6, ,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為則拋物線的

8、標(biāo)準(zhǔn)方程為52xyO FABBAxyOFABBA224 ,(1)4 ,yxxx 代代入入方方程程得得.0162xx化簡得121221212612 ()48xxx xABxxx x。的長是所以，線段8AB例例2.斜率為斜率為1的直線的直線L經(jīng)過拋物線經(jīng)過拋物線 的焦點(diǎn)的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)兩點(diǎn),求線段求線段AB的長的長.y2 = 4x解法一解法一:由已知得拋物線的焦點(diǎn)由已知得拋物線的焦點(diǎn)為為F(1,0),所以直線所以直線AB的方程為的方程為y=x-1xyOFABBA.,),(),(2211BAddlBAyxByxA的距離分別為準(zhǔn)線到設(shè), 1, 121xdBFxdAF

9、BA由拋物線的定義可知1228ABAFBFxx 所所以以例例2.斜率為斜率為1的直線的直線L經(jīng)過拋物線經(jīng)過拋物線 的焦點(diǎn)的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)兩點(diǎn),求線段求線段AB的長的長.y2 = 4x2,1,2pp . 1:xl準(zhǔn)線解法二解法二:由題意可知由題意可知,課本例課本例4 4：斜率為斜率為1 1的直線的直線l l 經(jīng)過拋物線經(jīng)過拋物線y y2 2=4x=4x的焦的焦點(diǎn)點(diǎn), ,且與拋物線相交于且與拋物線相交于A A，B B兩點(diǎn)，求線段兩點(diǎn)，求線段ABAB的長。的長。課本例題推廣：課本例題推廣： 直線直線l l 經(jīng)過拋物線經(jīng)過拋物線y y2 2=2px=2px的焦點(diǎn)的焦

10、點(diǎn), ,且與拋物線相交于且與拋物線相交于A A，B B兩點(diǎn)，則線段兩點(diǎn)，則線段ABAB的長的長|AB|=x|AB|=x1 1+x+x2 2+P+P. .xyO FABBA圖圖 形形方方 程程焦半徑焦半徑焦點(diǎn)弦焦點(diǎn)弦lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）練習(xí)練習(xí)3 3：若直線若直線l l 經(jīng)過拋物線經(jīng)過拋物線y y2 2=4x=4x的的焦點(diǎn)焦點(diǎn), , 與拋物線相交于與拋物線相交于A A，B B兩點(diǎn)兩點(diǎn), ,且且線段線段ABAB的的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2 2, ,求線段求線段ABAB的長的

11、長. .（三）、（三）、例題講解：例題講解：練習(xí)練習(xí)4 4：已知過拋物線已知過拋物線y y2 2=9x=9x的焦點(diǎn)的的焦點(diǎn)的弦長為弦長為1212, ,則弦所在直線的則弦所在直線的傾斜角傾斜角是是（三）、（三）、例題講解：例題講解：2323434656. DCBA或或或或或或練習(xí)練習(xí):1.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為x軸，軸，焦點(diǎn)在直線焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑上，那么拋物線通徑長是長是_.2.過拋物線過拋物線 的焦點(diǎn)的焦點(diǎn),作傾斜角為作傾斜角為的直線的直線,則被拋物線截得的弦長為則被拋物線截得的弦長為_3.垂直于垂直于x軸的直線交拋物線

12、軸的直線交拋物線y2=4x于于A、B,且且|AB|=4 ,求直線求直線AB的方程的方程.1616 y2 = 8x0453X=3課本例課本例5 5：已知拋物線的方程為已知拋物線的方程為y y2 2=4x=4x, ,直線直線l l 經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)P(-2,1),P(-2,1),斜率為斜率為k k. .當(dāng)當(dāng)k k為為何值時何值時, ,直線與拋物線直線與拋物線: :只有一個公共只有一個公共點(diǎn)點(diǎn); ;有兩個公共點(diǎn)有兩個公共點(diǎn): :沒有公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn). .（三）、（三）、例題講解：例題講解：).2(1xkyl的方程為解：由題意，設(shè)直線xyxky4)2(12由方程組0) 12(442kyky可得).12(1

13、60)2(2kkk時，方程的判別式為當(dāng)0120120kk，即由.21, 1kk或解得個公共點(diǎn)。即直線與拋物線只有一，時，方程組只有一個解，或即當(dāng)211kk. 10) 1 (yk時，由方程得當(dāng).41,412xxyy得代入把) 1 ,41(點(diǎn)與拋物線只有一個公共這時，直線l0120220kk，即由.211k解得公共點(diǎn)。即直線與拋物線有兩個時，方程組有兩個解，且即當(dāng)0,211kk0120320kk，即由.211kk，或解得共點(diǎn)。即直線與拋物線沒有公，時，方程組沒有實(shí)數(shù)解或即當(dāng)211kk分析分析:直線與拋物線有兩個直線與拋物線有兩個公共點(diǎn)時公共點(diǎn)時0 分析分析:直線與拋物線沒有公直線與拋物線沒有公共點(diǎn)

14、時共點(diǎn)時0 個公共點(diǎn)。即直線與拋物線只有一時，或，或綜上所述，當(dāng)0211kkk公共點(diǎn)。即直線與拋物線有兩個時，且當(dāng)0,211kk共點(diǎn)。即直線與拋物線沒有公時，或當(dāng)211kk注注:在方程中在方程中,二次項(xiàng)系數(shù)含有二次項(xiàng)系數(shù)含有k,所以要對所以要對k進(jìn)行討論進(jìn)行討論作圖要點(diǎn)作圖要點(diǎn):畫出直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)時的情畫出直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)時的情形形,觀察直線繞點(diǎn)觀察直線繞點(diǎn)P轉(zhuǎn)動的情形轉(zhuǎn)動的情形 分析分析:直線與拋物直線與拋物線有一個公共點(diǎn)線有一個公共點(diǎn)的情況有兩種情的情況有兩種情形：一種是直線形：一種是直線平行于拋物線的平行于拋物線的對稱軸；對稱軸；另一種是直線與另一種是直線與拋物線相

15、切拋物線相切 變式一變式一:已知拋物線方程已知拋物線方程y2=4x,當(dāng)當(dāng)k為何值時為何值時,直線直線l:y=kx+1與拋物線與拋物線(1)只有一個公共點(diǎn)只有一個公共點(diǎn)(2)兩個公共兩個公共點(diǎn)點(diǎn)(3)沒有公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn).分析分析:本題與例本題與例1類型相似類型相似,方法一樣方法一樣,通通過聯(lián)立方程組求得過聯(lián)立方程組求得.(1)k=1或或 k=0 (2)k1變式題變式題3 3：已知直線已知直線y=(a+1)xy=(a+1)x與曲線與曲線y y2 2=ax=ax恰有一個公共點(diǎn)恰有一個公共點(diǎn), ,求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)a a的值的值. .（三）、（三）、例題講解：例題講解：練習(xí)練習(xí)5 5：已知直線已知直線y=

16、kx+2y=kx+2與拋物線與拋物線y y2 2=8x=8x恰有一個公共點(diǎn)恰有一個公共點(diǎn), ,則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)k k的值為的值為（三）、（三）、例題講解：例題講解：01 .0 .31 .1 .或或或或DCBA例例4 4：已知過點(diǎn)已知過點(diǎn)Q(4,1)Q(4,1)作拋物線作拋物線y y2 2=8x=8x的弦的弦AB,AB,恰被恰被Q Q平分平分, ,求弦求弦ABAB所在的直所在的直線方程線方程. .（三）、（三）、例題講解：例題講解：練習(xí)練習(xí)6 6：求以求以Q(1,-1)Q(1,-1)為中點(diǎn)的拋物線為中點(diǎn)的拋物線y y2 2=8x=8x的弦的弦ABAB所在的直線方程所在的直線方程. .（三）、（三）、

17、例題講解：例題講解：變式題變式題4 4：求過點(diǎn)求過點(diǎn)P(0,1)P(0,1)且與拋物且與拋物線線y y2 2=2x=2x只有只有一個公共點(diǎn)的直線方一個公共點(diǎn)的直線方程程. .例例3.過拋物線焦點(diǎn)過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)兩點(diǎn),通過點(diǎn)通過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)點(diǎn)D,求證求證:直線直線DB平行于拋物線的對稱軸平行于拋物線的對稱軸.xOyFABD例例3 過拋物線焦點(diǎn)過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，通過點(diǎn)兩點(diǎn)，通過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，求

18、證：直線，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸。平行于拋物線的對稱軸。,22pxyx物線的方程為建立直角坐標(biāo)系。設(shè)拋軸，它的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，軸為證明：以拋物線的對稱,2),2(0020 xypyOAypyA的方程為則直線的坐標(biāo)為點(diǎn)2px拋物線的準(zhǔn)線是.02ypyD的縱坐標(biāo)為聯(lián)立可得點(diǎn).222),0 ,2(200ppypxyyAFpF方程為的所以直線的坐標(biāo)是因?yàn)辄c(diǎn).02ypyB的縱坐標(biāo)為聯(lián)立可得點(diǎn)軸。所以xDB/xyOFABD（三）、（三）、例題講解：例題講解：例例5 5：求拋物線求拋物線y y2 2=64x=64x上的點(diǎn)到直上的點(diǎn)到直線線4x+3y+46=04x+3y+46=0的距離的最小值的距離的

19、最小值, ,并并求取得最小值時的拋物線上的點(diǎn)的求取得最小值時的拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)坐標(biāo). .（三）、（三）、例題講解：例題講解：練習(xí)練習(xí)7 7：拋物線拋物線y=-xy=-x2 2上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)到直線4x+3y-8=04x+3y-8=0的距離的最小值是的距離的最小值是3 .585734DCBA（三）、（三）、例題講解：例題講解：練習(xí)練習(xí)8 8： 拋物線拋物線y y2 2=x=x和圓和圓(x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=1=1上最近的兩點(diǎn)之間的距離是上最近的兩點(diǎn)之間的距離是( )( )1.1.2.1.211210 DCBA（三）、（三）、例題講解：例題講解：例例6 6：已知拋物線已知拋物

20、線y=2xy=2x2 2上兩點(diǎn)上兩點(diǎn)A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )關(guān)于直線關(guān)于直線y=x+my=x+m對稱對稱, ,若若x x1 1x x2 2= =- -1/21/2, ,則則m m的值為的值為( )( )232532.2 .DCBA（三）、（三）、例題講解：例題講解：變式題變式題6 6：已知直線已知直線y=x+by=x+b與拋物線與拋物線x x2 2=2y=2y交于交于A,BA,B兩點(diǎn)兩點(diǎn), ,且且OAOBOAOB(O(O為為坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)),),求求b b的值的值. .232532.2 .DCBA（三）、（三）、例題講解：例題講解：例例7

21、(7(習(xí)題習(xí)題2.3B2.3B組組2P2P6464) )：正三角形正三角形的一個頂點(diǎn)位于原點(diǎn)的一個頂點(diǎn)位于原點(diǎn), ,另外兩個頂另外兩個頂點(diǎn)在拋物線點(diǎn)在拋物線y y2 2=2px(p0)=2px(p0)上上, ,求這個求這個三角形的邊長三角形的邊長. .yOxBA分析分析:觀察圖觀察圖,正三角形及拋物線都是軸對稱圖形正三角形及拋物線都是軸對稱圖形,如如果能證明果能證明x軸是它們的公共的對稱軸軸是它們的公共的對稱軸,則容易則容易求出三角形的邊長求出三角形的邊長.線線上上，在在拋拋物物、的的頂頂點(diǎn)點(diǎn)解解：如如圖圖，設(shè)設(shè)正正三三角角形形BAOAByOxBA），則則，）、（，且且坐坐標(biāo)標(biāo)分分別別為為（2

22、211yxyx.22222121pxypxy ，所所以以：又又22222121|yxyxOBOA ，即即：022212221 pxpxxx. 022121 ）（pxxxx，020021 pxx.21xx .|21軸軸對對稱稱關(guān)關(guān)于于，即即線線段段由由此此可可得得xAByy ，且，且軸垂直于軸垂直于因?yàn)橐驗(yàn)樵O(shè)設(shè)oAOxABxyxA30),(11 yOxBA.3330tan11 oxy，pyx2211 .342|1pyAB .321py 所以所以（三）、（三）、例題講解：例題講解：變式題變式題7(7(復(fù)習(xí)參考題復(fù)習(xí)參考題A A組組7P7P6868) )：正三角形的一個頂點(diǎn)位于拋物線正三角形的一個頂

23、點(diǎn)位于拋物線y y2 2=2px(p0)=2px(p0)焦點(diǎn)焦點(diǎn), ,另外兩個頂點(diǎn)在另外兩個頂點(diǎn)在拋物線上拋物線上, ,求這個三角形的邊長求這個三角形的邊長. .分析分析:觀察圖觀察圖,正三角形及拋物線都是軸正三角形及拋物線都是軸對稱圖形對稱圖形,如果能證明如果能證明x軸是它們的軸是它們的公共的對稱軸公共的對稱軸,則容易求出三角形的邊長則容易求出三角形的邊長.yOxBAF課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：求適合下列條件的拋物線的方程：求適合下列條件的拋物線的方程：（1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F F為（為（0 0，5 5）; ;（2）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于x x軸對稱軸對稱, ,并且并且經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)M(5,-4).M(5,-4).20 xy2165yx2例例2、探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一、探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，已知燈部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，已知燈口圓的直徑為口圓的直