有關(guān)湖水溫度的數(shù)學(xué)建模報告

1、數(shù)學(xué)建模前言一、數(shù)學(xué)建模介紹1. 什么是數(shù)學(xué)模型？ 數(shù)學(xué)模型是指用數(shù)學(xué)語言描述了的實際事物或現(xiàn)象。它一般是實際事物的一種數(shù)學(xué)簡化。它常常是以某種意義上接近實際事物的抽象形式存在的，但它和真實的事物有著本質(zhì)的區(qū)別。要描述一個實際現(xiàn)象可以有很多種方式，比如錄音，錄像，比喻，傳言等等。為了使描述更具科學(xué)性，邏輯性，客觀性和可重復(fù)性，人們采用一種普遍認(rèn)為比較嚴(yán)格的語言來描述各種現(xiàn)象，這種語言就是數(shù)學(xué)。使用數(shù)學(xué)語言描述的事物就稱為數(shù)學(xué)模型。有時候我們需要做一些實驗，但這些實驗往往用抽象出來了的數(shù)學(xué)模型作為實際物體的代替而進(jìn)行相應(yīng)的實驗，實驗本身也是實際操作的一種理論替代。2. 為什么要建立數(shù)學(xué)模型？ 在

2、科學(xué)領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)因為其眾所周知的準(zhǔn)確而成為研究者們最廣泛用于交流的語言因為他們普遍相信，自然是嚴(yán)格地演化著的，盡管控制演化的規(guī)律可以很復(fù)雜甚至是混沌的。因此，人們常對實際事物建立種種數(shù)學(xué)模型以期通過對該模型的考察來描述解釋，預(yù)計或分析出與實際事物相關(guān)的規(guī)律。二、數(shù)學(xué)建模應(yīng)用數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，在它產(chǎn)生和發(fā)展的歷史長河中，一直是和各種各樣的應(yīng)用問題緊密相關(guān)的。數(shù)學(xué)的特點不僅在于概念的抽象性、邏輯的嚴(yán)密性，結(jié)論的明確性和體系的完整性，而且在于它應(yīng)用的廣泛性，自從20世紀(jì)以來，隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展和計算機(jī)的日益普及，人們對各種問題的要求越來越精確，使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛和

3、深入，特別是在21世紀(jì)這個知識經(jīng)濟(jì)時代，數(shù)學(xué)科學(xué)的地位會發(fā)生巨大的變化，它正在從國家經(jīng)濟(jì)和科技的后備走到了前沿。經(jīng)濟(jì)發(fā)展的全球化、計算機(jī)的迅猛發(fā)展，數(shù)理論與方法的不斷擴(kuò)充使得數(shù)學(xué)已經(jīng)成為當(dāng)代高科技的一個重要組成部分和思想庫，數(shù)學(xué)已經(jīng)成為一種能夠普遍實施的技術(shù)。培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要方面。三、數(shù)學(xué)建模的意義隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，人們越來越認(rèn)識到數(shù)學(xué)科學(xué)的重要性：數(shù)學(xué)的思考方式具有根本的重要性，數(shù)學(xué)為組織和構(gòu)造知識提供了方法，將它用于技術(shù)時能使科學(xué)家和工程師生產(chǎn)出系統(tǒng)的、能復(fù)制的、且可以傳播的知識數(shù)學(xué)科學(xué)對于經(jīng)濟(jì)競爭是必不可少的，數(shù)學(xué)科學(xué)是一種關(guān)鍵性的、普遍的、可

4、實行的技術(shù)。在當(dāng)今高科技與計算機(jī)技術(shù)日新月異且日益普及的社會里，高新技術(shù)的發(fā)展離不開數(shù)學(xué)的支持，沒有良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)已無法實現(xiàn)工程技術(shù)的創(chuàng)新與突破。湖水溫度變化問題1 摘要夏季湖水溫度有明顯的正溫層現(xiàn)象，8月份最高達(dá)223，平均為16；水的下層溫度較低，平均水溫為95，最低為6秋季因湖區(qū)多風(fēng)而發(fā)生湖水?dāng)噭樱顾疁胤謱訙囟痊F(xiàn)象基本消失，冬季湖面結(jié)冰，湖水溫度出現(xiàn)逆溫層現(xiàn)象。特別近幾年來全球變暖越來越嚴(yán)重，這對夏季時湖水的溫度的變化也照成了一定的影響，使得湖水照成水文變化異常的現(xiàn)象，影響了河中生物的生存與繁衍。使得水層上下循環(huán)不暢，造成下層水域缺氧，導(dǎo)致水生魚類的死亡。論文利用數(shù)學(xué)建模理念和matl

5、ab軟件對水溫的變化與分布進(jìn)行了分析和評論。關(guān)鍵詞：分層，多項式擬合，湖水溫度，求導(dǎo)。2 概述2.1 問題重述湖水在夏天會出現(xiàn)分層現(xiàn)象，其特點為接近湖面的水溫度較高，越往下溫度變低。這種上熱下冷的現(xiàn)象影響了水的對流和混合過程，使得下層水域缺氧，導(dǎo)致水生魚類的死亡。下面是某個湖的。觀測數(shù)據(jù)深度，m02.34.99.113.718.322.927.2溫度,c22.822.822.820.613.911.711.111.1請問:1湖水在10m處的溫度是多少？2湖水在什么深度溫度變化最大？2.2 基本假設(shè)針對以上問題，對于湖水溫度的模型可以做出如下的假設(shè)：1.取同一時刻不同溫度的水溫，所以假設(shè)湖的溫度

6、不隨時間變化。2.水層之間的溫度不相互影響。3.湖水的溫度與湖水內(nèi)部的流動狀態(tài)無關(guān)。4.湖水地步平坦，無溝壑、無起伏。5.湖水的深度決定了湖水的溫度狀況。2.3 分析與建立模型這道湖水溫度變化模型問題主要研究的是湖水的溫度會隨這深度的不同而呈現(xiàn)出一定的規(guī)律。但模型中只給出了溫度與深度相關(guān)的有限時間數(shù)據(jù)，由此想到可能要用到插值和多項擬合的方法來求解該模型。假設(shè)湖水深度是溫度的連續(xù)函數(shù)，其中一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)為表所示：表31為湖水觀測數(shù)據(jù)深度,m02.34.99.113.718.322.927.2溫度，c22.822.822.820.613.911.711.111.12.4 符號說明h: 湖水深度,單位

7、為m；t: 在h下的湖水溫度,單位為c；t=t(h)：湖水深度的函數(shù)；e：溫度的相對誤差2.5 模型求解遇到這種數(shù)據(jù)表格問題，如果我們僅憑眼睛觀察，很難看到其中的規(guī)律，也就更難寫出有效的數(shù)學(xué)表達(dá)式從而建立數(shù)學(xué)模型。將所給數(shù)據(jù)作圖，運用matlab軟件做出圖形，分別用x,h代表湖水的深度，用y代表湖水溫度，操作的命令為：x=0,2.3,4.9,9.1,13.7,18.3,22.9,27.2y=22.8,22.8,22.8,20.6,13.9,11.7,11.1,11.1a=polyfit(x,y,2)z=polyval(a,x) plot(x,z) 此時擬合出 t=0.0091x2-0.7803

8、x+24.5390 ， 圖表如下：深度，h02.34.99.113.718.722.927.2真實值，t22.822.822.820.613.911.711.111.1模擬值，z24.539022.792420.933918.191415.555813.305111.439310.0431相對誤差，e0.07630.00030.08180.11690.11910.13720.03060.0952這個二次擬合的結(jié)果與實際情況差距較大所以用三次擬合h=0,2.3,4.9,9.1,13.7,18.3,22.9,27.2;y=22.8,22.8,22.8,20.6,13.9,11.7,11.1,11.

9、1;a=polyfit(h,y,3) z=polyval(a,h) plot(h,z) 此時擬合出 t=0.0027h3-0.1000h2+0.3277h+22.8764 圖表如下： 深度，h02.34.99.113.718.722.927.2真實值，t22.822.822.820.613.911.711.111.1模擬值，z22.876423.133522.394919.589115.463711.753810.020411.5681相對誤差，e0.00340.01460.01780.04910.11250.00460.09730.0422通過比較這時的模擬值與真實值相差不大1）當(dāng)h=10時

10、，t=18.85342）當(dāng)導(dǎo)數(shù)處在最大值時溫度變化最大h=12.34時溫度變化最大3 結(jié)論3.1 應(yīng)用與推廣湖泊熱量平衡指在一定時段內(nèi)，湖水收入的熱量與支出熱量之差等于湖水蓄熱變化量。一般可用下列熱量平衡方程式表示：sc+sa-slskszsd+sy-sysxszsu-su+sgs=0式中：sc為湖水吸收的太陽短波輻射；sa為湖水吸收的大氣逆輻射；sl為湖水長波輻射耗熱量；sk為湖水與大氣交換的熱量；sz為蒸發(fā)耗熱或凝結(jié)吸熱；sd為湖底與湖水的熱交換量；sy為支流或從水源帶來的熱量；sy為地面徑流和地下徑流帶走的熱量；sx為降雨帶來的熱量或降雪融化消耗的熱量；sz為被蒸發(fā)的水帶走的熱量或隨水汽

11、凝結(jié)而帶入的熱量；su為湖水結(jié)冰放出的熱量或融冰吸收的熱量；su是隨水流流進(jìn)的冰塊融化的耗熱量；sg為因機(jī)械能消耗而損失的熱量；s為湖水蓄熱變量。而由生物化學(xué)過程發(fā)生的熱量；由地球內(nèi)部傳給湖水的熱量，以及由湖岸反射的總太陽輻射等由于數(shù)值太小，通常不予考慮。式中各項對不同時期各種類型湖泊所起的作用差別很大，有的完全沒有必要計算，根據(jù)對湖泊具體情況的分析研究，可使熱量平衡方程式進(jìn)一步簡化。熱平衡要素的單位，一般熱量以卡、千卡計、熱通量以卡/厘米2日、或卡/厘米2年計。采用水文氣象學(xué)有關(guān)方法或經(jīng)驗公式可推求熱量平衡各要素的數(shù)值。湖溫指湖水溫度。是湖水和周圍地理環(huán)境之間熱交換的綜合反映。太陽輻射、長波

12、有效輻射、水面與大氣的熱交換、水面蒸發(fā)、湖底狀況、補(bǔ)給水源、渦動、對流混合作用、湖泊的形態(tài)及其測量特征以及湖泊所在地理緯度等都是影響湖溫及其變化的重要因素。湖水逆溫層指湖溫隨水深增加而升高的分布形式。即湖水溫度的垂直梯度為正值，上層溫度低，下層水溫高，但不高于4，這種分布，稱為逆溫層。呈逆溫分布的湖水，穩(wěn)定性較差，一旦增溫即能引起渦動和混合。其分布多出現(xiàn)在寒帶或高山、高原地區(qū)的湖泊。溫帶湖唯冬季時才呈逆溫分布。湖水同溫層湖溫隨水深增加而不發(fā)生升降的分布形式。即湖水水溫垂直梯度等于零，上下層水溫完全相同，稱為同溫層。在溫帶和寒溫帶的湖泊，這種分布多發(fā)生在春秋時期；寒帶和高山地區(qū)的湖泊有的春夏兩季

13、也可出現(xiàn)短期的同溫層。同溫層的溫度和出現(xiàn)時間，取決于氣象條件、湖水下層的溫度和水深。如果氣象條件相同，湖水下層溫度越高、水深越小，同溫層就出現(xiàn)得越早，且溫度較高。3.2 模型優(yōu)缺點（1）運用統(tǒng)計學(xué)方法對湖水溫度問題進(jìn)行了模型的建立和求解，解決了一個實際問題，也是人們對水溫有了進(jìn)一步的了解。（2）使用 matlab軟件對本問題進(jìn)行了進(jìn)一步的解答，使得所得結(jié)論方便快捷，又有很高準(zhǔn)確度。（3）由于天氣變化早晚溫差對水溫的變化影響較大，而且各層水溫之間也有相互影響，所以我們所得出的結(jié)果也有一定的局限性，但由于本人能力見識和知識有限，只能得出這一個結(jié)果，有一定的局限性。3.3 心得體會這學(xué)期學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)建

14、模訓(xùn)練，使我感觸良多：它所教給我們的不單是一些數(shù)學(xué)方面的知識，更多的其實是綜合能力的培養(yǎng)、鍛煉與提高。它培養(yǎng)了我們?nèi)?、多角度考慮問題的能力，使我們的邏輯推理能力和量化分析能力得到很好的鍛煉和提高。它還讓我了解了多種數(shù)學(xué)軟件，以及運用數(shù)學(xué)軟件對模型進(jìn)行求解。數(shù)學(xué)模型主要是將現(xiàn)實對象的信息加以翻譯，歸納的產(chǎn)物。通過對數(shù)學(xué)模型的假設(shè)、求解、驗證，得到數(shù)學(xué)上的解答，再經(jīng)過翻譯回到現(xiàn)實對象，給出分析、決策的結(jié)果。其實，數(shù)學(xué)建模對我們來說并不陌生，在我們的日常生活和工作中，經(jīng)常會用到有關(guān)建模的概念。而在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練以前，我們面對這些問題時，解決它的方法往往是一種習(xí)慣性的思維方式，只知道該這樣做，卻不

15、很清楚為什么會這樣做，現(xiàn)在，我們這種陳舊的思考方式己經(jīng)在被數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練中培養(yǎng)出的多角度、層次分明、從本質(zhì)上區(qū)分問題的新穎多維的思考方式所替代。這種凝聚了許多優(yōu)秀方法為一體的思考方式一旦被你把握，它就轉(zhuǎn)化成了你自身的素質(zhì)，不僅在你以后的學(xué)習(xí)工作中繼續(xù)發(fā)揮作用，也為你的成長道路印下了閃亮的一頁。通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練，對我的收益不遜于以前所學(xué)的文化知識，使我終生難忘。而且，我覺得數(shù)學(xué)建模活動本身就是教學(xué)方法改革的一種探索，它打破常規(guī)的那種老師臺上講，學(xué)生聽，一味鉆研課本的傳統(tǒng)模式，而采取提出問題，課堂討論，帶著問題去學(xué)習(xí)、不固定于基本教材，不拘泥于某種方法，激發(fā)學(xué)生的多種思維，增強(qiáng)其學(xué)習(xí)主動性，培養(yǎng)

16、學(xué)生獨立思考，積極思維的特性，這樣有利于學(xué)生根據(jù)自己的特點把握所學(xué)知識，形成自己的學(xué)習(xí)機(jī)制，逐步培養(yǎng)很強(qiáng)的自學(xué)能力和分析、解決新問題的能力。這對于我們以后所從事的教育工作也是一個很好的啟發(fā)?？傊?，“一份耕耘，一份收獲”。作為一名數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，我深刻地感到了自己在程序的編制和軟件應(yīng)用以及自學(xué)能力，有了很大的提高，并將對我今后的專業(yè)學(xué)習(xí)有很大的幫助。想到這里，我不由得被老師的良苦用心所感動，為我們創(chuàng)造了如此優(yōu)越的學(xué)習(xí)條件，處處為學(xué)子著想。因此，在今后的學(xué)習(xí)中，我會保持這種學(xué)習(xí)的勁頭，刻苦努力，爭取以更優(yōu)異的成績。4 參考文獻(xiàn)1. 符號計算系統(tǒng)mathematica教程 張韻華編著 北京：科學(xué)出版

17、社，2001 2. 數(shù)學(xué)建模實驗 周義倉，赫孝良編 西安：西安交通大學(xué)出版社，19993. 數(shù)學(xué)建模案例分析 白其崢主編 北京：海洋出版社，20004.數(shù)學(xué)建模案例精選 朱道元等編著 北京：科學(xué)出版社，20035.數(shù)學(xué)建模導(dǎo)論 陳理榮主編 北京：北京郵電大學(xué)出版社，19996.數(shù)學(xué)建模：原理與方法 蔡鎖章主編 北京：海洋出版社，2000 7.數(shù)學(xué)建模的理論與實踐 吳翊，吳孟達(dá)，成禮智編著 長沙：國防科技大學(xué)出版社，1999 附錄：附錄a 水深與溫度二次擬合程序x=0,2.3,4.9,9.1,13.7,18.3,22.9,27.2;y=22.8,22.8,22.8,20.6,13.9,11.7,

18、11.1,11.1 ; a=polyfit(x,y,2);az=polyval(a,x);zplot(x,z) ;xlabel(x),ylabel(z),title(二次擬合曲線);e=(abs(y)1e-3).*abs(z-y)./(y+eps) ;e a = 0.0091 -0.7803 24.5390z = 24.5390 22.7924 20.9339 18.1914 15.5558 13.3051 11.4393 10.0431e = 0.0763 0.0003 0.0818 0.1169 0.1191 0.1372 0.0306 0.0952 附錄b 水深與溫度三次擬合程序h=0,2.3,4.9,9.1,13.7,18.3,22.9,27.2;y=22.8,22.8,22.8,20.6,13.9,11.7,11.1,11.1;a=polyfit(h,y,3) ; a z=polyval(a,h) ;zplot(h,z) ;xlabel(h),ylabel(z),tit