5-3-4-分解質(zhì)因數(shù)(一).教師版(共9頁(yè))

1、5-3-4.分解質(zhì)因數(shù)（一）教學(xué)目標(biāo)1. 能夠利用短除法分解2. 整數(shù)唯一分解定理：讓學(xué)生自己初步領(lǐng)悟“任何一個(gè)數(shù)字都可以表示為的結(jié)構(gòu)，而且表達(dá)形式唯一”知識(shí)點(diǎn)撥一、質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)（1）.質(zhì)因數(shù)：如果一個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么就說(shuō)這個(gè)質(zhì)數(shù)是這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù).（2）.互質(zhì)數(shù)：公約數(shù)只有1的兩個(gè)自然數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù).（3）.分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù).例如：.其中2、3、5叫做30的質(zhì)因數(shù).又如，2、3都叫做12的質(zhì)因數(shù)，其中后一個(gè)式子叫做分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，在求一個(gè)數(shù)約數(shù)的個(gè)數(shù)和約數(shù)的和的時(shí)候都要用到這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)式.分解質(zhì)因數(shù)往往是解數(shù)論題目的突破口，因?yàn)檫@樣

2、可以幫助我們分析數(shù)字的特征.（4）.分解質(zhì)因數(shù)的方法：短除法例如：，（是短除法的符號(hào)） 所以；二、唯一分解定理任何一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫(xiě)成質(zhì)數(shù)的連乘積，即：其中為質(zhì)數(shù)，為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的.該式稱(chēng)為n的質(zhì)因子分解式.例如：三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積是210，求這三個(gè)數(shù).分析：210=2357，可知這三個(gè)數(shù)是5、6和7.三、部分特殊數(shù)的分解；.例題精講模塊一、分解質(zhì)因數(shù)【例 1】 分解質(zhì)因數(shù)20034= 。【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】1星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，決賽，5年級(jí)，決賽，第2題，10分【解析】 原式【答案】【例 2】 三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積是，求這三個(gè)數(shù)是多少？ 【考點(diǎn)

3、】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】1星 【題型】填空【解析】 分解質(zhì)因數(shù)：，可知這三個(gè)數(shù)是、和?！敬鸢浮?、和【例 3】 兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的乘積是，這兩個(gè)奇數(shù)之和是多少? 【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】2星 【題型】填空【解析】 分解質(zhì)因數(shù)：()()，所以和為.本講不僅要求學(xué)生熟練掌握分解質(zhì)因數(shù)，而且要注意一些技巧，例如本題中的。【答案】【鞏固】 已知兩個(gè)自然數(shù)的積是35，差是2，則這兩個(gè)自然數(shù)的和是_.【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第8題【解析】 35=135=57，5、7差2，兩個(gè)自然數(shù)的和是5+7=12【答案】元【例 4】 今年是2010年，從今年起年份數(shù)正好

4、為三個(gè)連續(xù)正整數(shù)乘積的第一個(gè)年份是 ?！究键c(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】而思杯，6年級(jí)，1試，第3題【解析】 ，所以是2184【答案】【例 5】 如果兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)，它們的最小公倍數(shù)是126，那么，它們的和是 【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，五年級(jí),初賽，第3題【解析】 ，因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)互質(zhì)且都是合數(shù)，所以這兩個(gè)數(shù)只能為和，它們的和為【答案】【例 6】 4個(gè)一位數(shù)的乘積是360，并且其中只有一個(gè)是合數(shù)，那么在這4個(gè)數(shù)字所組成的四位數(shù)中，最大的一個(gè)是多少？【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】2星 【題型】解答【解析】 將360分解質(zhì)因數(shù)得，它是6個(gè)質(zhì)因數(shù)的

5、乘積.因?yàn)轭}述的四個(gè)數(shù)中只有一個(gè)是合數(shù)，所有該合數(shù)必至少為個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，又只有3個(gè)2相乘才能是一位數(shù)，所以這4個(gè)乘數(shù)分別為3，3，5，8，所組成的最大四位數(shù)是8533.【答案】8533【例 7】 已知5個(gè)人都屬牛，它們年齡的乘積是589225，那么他們年齡的和為多少？【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】2星 【題型】解答【解析】 基本思路與上題一樣，重點(diǎn)還是在“1”這個(gè)因數(shù)的使用上，所以分解因數(shù)得到，五個(gè)人的年齡和為125歲?！敬鸢浮?25歲【例 8】 如果兩個(gè)自然數(shù)的和與差的積是23，那么這兩個(gè)自然數(shù)的和除以這兩個(gè)數(shù)的差的商是_?！究键c(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)

6、，初賽，4題【解析】 根據(jù)題意列式子如下：，因?yàn)榉纸赓|(zhì)因數(shù)是與，所以，根據(jù)和差關(guān)系算出，所以這兩個(gè)自然數(shù)的和除以這兩個(gè)自然數(shù)的差的商為23，【答案】【例 9】 的計(jì)算結(jié)果能夠整除三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和最小是多少？【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】2星 【題型】解答【解析】 首先分解質(zhì)因數(shù)，其中最大的質(zhì)因數(shù)是167，所以所要求的三個(gè)連續(xù)自然數(shù)中必定有167本身或者其倍數(shù). ，所以，都沒(méi)有4個(gè)2，不滿(mǎn)足題意.說(shuō)明167不可行.嘗試，包括了中的所有質(zhì)因數(shù)，所以這組符合題意，以此三數(shù)之和最小為1005.【答案】1005【例 10】 A是乘積為2007的5個(gè)自然數(shù)之和，B是乘積為2007的

7、4個(gè)自然數(shù)之和。那么A、B兩數(shù)之差的最大值是 ?！究键c(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，五年級(jí)，決賽，第8題，10分【解析】 2007=1133223=1119223=1113669=11112007，所以A的可能值是231或235或675或2011，又2007=133223=119223=113669=1112007，所以B的可能值是230或234或674或2010，A、B兩數(shù)之差的最大值為 2011230=1781?！敬鸢浮俊纠?11】 （老師可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四個(gè)人，他們的年齡一個(gè)

8、比一個(gè)大歲，他們四個(gè)人年齡的乘積是。問(wèn)他們四個(gè)人的年齡各是幾歲？ 【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】2星 【題型】填空【解析】 題中告訴我們，是四個(gè)人年齡的乘積，只要我們把分解質(zhì)因數(shù)，再按照每組相差2來(lái)分成四個(gè)數(shù)相乘，這四個(gè)數(shù)就是四個(gè)人的年齡了。，由此得出這四個(gè)人的年齡分別是12歲、14歲、16歲、18歲。由題意可知，這四個(gè)數(shù)是相差2的四個(gè)整數(shù)。它們的積是偶數(shù)，當(dāng)然這四個(gè)數(shù)不是奇數(shù)，一定是偶數(shù)。又因?yàn)榈膫€(gè)位數(shù)字不是0，顯然這四個(gè)數(shù)中，沒(méi)有個(gè)位數(shù)字是0的，那么這四個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字一定是2、4、6、8。又因?yàn)?，而，所以可以斷定，這四個(gè)數(shù)一定是12、14、16、18。也就是說(shuō)，這四個(gè)人的年齡分別是12歲、1

9、4歲、16歲、18歲。答：這四個(gè)人的年齡分別是12歲、14歲、16歲、18歲?！敬鸢浮?2歲、14歲、16歲、18歲【例 12】 甲數(shù)比乙數(shù)大，乙數(shù)比丙數(shù)大，三個(gè)數(shù)的乘積是，求這三個(gè)數(shù)？ 【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】2星 【題型】解答【解析】 將分解質(zhì)因數(shù)，則其中必有一個(gè)數(shù)是或的倍數(shù)；經(jīng)試算，恰好，所以這三個(gè)數(shù)即為，.一般象這種類(lèi)型的題，都是從最大的那個(gè)質(zhì)因數(shù)去分析.如果這道題里不符合要求，下一個(gè)該考慮，再下一個(gè)該考慮，依此類(lèi)推 【答案】，【例 13】 四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積是3024，這四個(gè)自然數(shù)中最大的一個(gè)是多少？ 【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】2星 【題型】填空【解析】 分解質(zhì)因數(shù)，考慮其中

10、最大的質(zhì)因數(shù)7，說(shuō)明這四個(gè)自然數(shù)中必定有一個(gè)是7的倍數(shù).若為7，因3024不含有質(zhì)因數(shù)5，那么這四個(gè)自然數(shù)可能是6、7、8、9或7、8、9、10(10仍含有5，不行)，經(jīng)檢驗(yàn)6、7、8、9恰符合.【答案】9【例 14】 植樹(shù)節(jié)到了，某市舉行大型植樹(shù)活動(dòng)，共有1430人參加植樹(shù)，要把人數(shù)分成相等的若干隊(duì)，且每隊(duì)人數(shù)在100至200之間，則有分法（ ）。A、3種 B、7種 C、11種 D、13種【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】3星 【題型】選擇【關(guān)鍵詞】華杯賽，五年級(jí)，初賽，第4題【解析】 只要找到100到200之間可以整除1430的數(shù)即可。1430可分解成2，5，11，13的乘積，所以可以按每組11

11、0人，130人，143人分組，共有3個(gè)方案。所以答案為A【答案】【例 15】 a、b、c、d、e這五個(gè)無(wú)數(shù)各不相同，它們兩兩相乘后的積從小到大排列依次為：3，6，15，18，20，50，60，100，120，300.那么，這五個(gè)數(shù)中從小大大排列第2個(gè)數(shù)的平方是_。A 1 B. 3 C. 5 D. 10【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】5星 【題型】選擇【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級(jí)，復(fù)試，2題【解析】 D，解：設(shè)。由推知；由推知。，。在中，滿(mǎn)足的三個(gè)數(shù)是所以?！敬鸢浮俊纠?16】 a、b、c、d、e這五個(gè)數(shù)各不相同，他們兩兩相乘后的積從小到大排列依次為：0.3、0.6、1.5、1.8、2、5、6、10、1

12、2、30。將這五個(gè)數(shù)從小到大排成一行，那么，左起第2個(gè)數(shù)是_。（A）0.3 （B）0.5 （C）1 （D）1.5【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】5星 【題型】選擇【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級(jí)，復(fù)試，2題【解析】 ，設(shè)。由題意知，推知；由，推知，在中，滿(mǎn)足的三個(gè)數(shù)是，所以，?！敬鸢浮俊纠?17】 將19九個(gè)自然數(shù)分成三組，每組三個(gè)數(shù).第一組三個(gè)數(shù)的乘積是48，第二組三個(gè)數(shù)的乘積是45，第三組三個(gè)數(shù)字之和最大是多少？【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】2星 【題型】解答【解析】 分解質(zhì)因數(shù)，可知45只能是1，5，9的乘積，而48可能是2，4，6或2，3，8或1，6，8(舍去)，則第三組的三個(gè)數(shù)可能是3，7，8或4

13、，6，7，其中和最大的是.【答案】18【例 18】 一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都是整數(shù)厘米，它的體積是1998立方厘米，那么它的長(zhǎng)、寬、高的和的最小可能值是多少厘米? 【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】3星 【題型】解答【解析】 我們知道任意個(gè)已確定個(gè)數(shù)的數(shù)的乘積一定時(shí)，它們相互越接近，和越小如3個(gè)數(shù)的積為18，則三個(gè)數(shù)為2、3、3時(shí)和最小，為81998=233337，37是質(zhì)數(shù)，不能再分解，所以2333對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)應(yīng)越接近越好有2333=69時(shí)，即1998=6937時(shí)，這三個(gè)自然數(shù)最接近它們的和為6+9+37=52(厘米)【答案】52【例 19】 一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高是連續(xù)的3個(gè)自然數(shù)，它的體積是3

14、9270立方厘米，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是多少平方厘米? 【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】3星 【題型】解答【解析】 39270=23571117，為三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，而343434最接近39270，39270的約數(shù)中接近或等于34的有35、34、33，有333435=39270所以33、34、35為滿(mǎn)足題意的長(zhǎng)、寬、高則長(zhǎng)方體的表面積為：2(長(zhǎng)寬+寬高+高長(zhǎng))=2(3334+3435+3533)=6934(平方厘米)方法二：39270=23571117，為三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，考慮質(zhì)因數(shù)17，如果17作為長(zhǎng)、寬或高顯然不滿(mǎn)足當(dāng)17與2結(jié)合即34作為長(zhǎng)方體一條邊的長(zhǎng)度時(shí)有可能成立，再考慮質(zhì)因數(shù)

15、7，與34接近的數(shù)3236中，只有35含有7，于是7與5的乘積作為長(zhǎng)方體的一條邊的長(zhǎng)度而39270的質(zhì)因數(shù)中只剩下了3和1l，所以這個(gè)長(zhǎng)方體的大小為333435長(zhǎng)方體的表面積為2(+)=2(1190+1155+1122)=23467=6934(平方厘米)【答案】6934【例 20】 如果兩數(shù)的和是64，兩數(shù)的積可以整除4875，那么這兩個(gè)數(shù)的差等于多少？ 【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】3星 【題型】解答【解析】 4875=355513，有ab為4875的約數(shù)，且這兩個(gè)數(shù)的和為64發(fā)現(xiàn)39=313、25=55這兩個(gè)數(shù)的和為64，所以39、25為滿(mǎn)足題意的兩個(gè)數(shù)那么它們的差為39-25=14?！敬鸢?/p>

16、】14【例 21】 有兩個(gè)整數(shù)，它們的和恰好是兩個(gè)數(shù)字相同的兩位數(shù)，它們的乘積恰好是三個(gè)數(shù)字相同的三位數(shù).求這兩個(gè)整數(shù)分別是多少？ 【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】3星 【題型】解答【解析】 兩位數(shù)中，數(shù)字相同的兩位數(shù)有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九個(gè)，它們中的每個(gè)數(shù)都可以表示成兩個(gè)整數(shù)相加的形式，例如，共有16種形式，如果把每個(gè)數(shù)都這樣分解，再相乘，看哪兩個(gè)數(shù)的乘積是三個(gè)數(shù)字相同的三位數(shù)，顯然太繁瑣了.可以從乘積入手，因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)字相同的三位數(shù)有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每個(gè)數(shù)都是111的倍數(shù)，而，因此把這九個(gè)數(shù)表示成一個(gè)兩位

17、數(shù)與一個(gè)一位數(shù)或兩個(gè)兩位數(shù)相乘時(shí)，必有一個(gè)因數(shù)是37或37的倍數(shù)，但只能是37的2倍(想想為什么？)3倍就不是兩位數(shù)了.把九個(gè)三位數(shù)分解：、.把兩個(gè)因數(shù)相加，只有()和()的兩位數(shù)字相同.所以滿(mǎn)足題意的答案是74和3，37和18.【答案】74和3，37和18【例 22】 如果一個(gè)數(shù)，將它的數(shù)字倒排后所得的數(shù)仍是這個(gè)數(shù)，我們稱(chēng)這個(gè)數(shù)為回文數(shù)如年份數(shù)1991，具有如下兩個(gè)性質(zhì)：1991是一個(gè)回文數(shù)1991可以分解成一個(gè)兩位質(zhì)數(shù)回文數(shù)和一個(gè)三位質(zhì)數(shù)回文數(shù)的積在1000年到2000年之間的一千年中，除了1991外，具有性質(zhì)和的年份數(shù)，有哪些？ 【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】3星 【題型】解答【解析】 這

18、一千年間回文數(shù)年份共有10個(gè)，除去1991外，還有1001，1111，1221，1331，1441，1551，1661，1771，1881符合條件的兩位質(zhì)數(shù)只能是11，所以符合條件的只有三個(gè)，即 111011111， 111311441，1115l1661【答案】111011111， 111311441，1115l1661【例 23】 有一種最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)，它們的分子與分母的乘積都是140如果把所有這樣的分?jǐn)?shù)從小到大排列，那么第三個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？ 【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】3星 【題型】解答【解析】 有140=2257，要保證分?jǐn)?shù)最簡(jiǎn)即要讓分子與分母是互質(zhì)的，那么兩個(gè)質(zhì)因數(shù)2必須同時(shí)位于分子或者同

19、時(shí)位于分母的位置上。這樣由小到大的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)依次是，倒數(shù)第三小的是?！敬鸢浮俊纠?24】 純循環(huán)小數(shù)寫(xiě)成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)時(shí),分子和分母的和是,則三位數(shù)【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】3星 【題型】填空【解析】 如果直接把轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù),應(yīng)該是,因此,化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)后的分母應(yīng)該是999的約數(shù),我們將分解質(zhì)因數(shù)得: ,這個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分母應(yīng)小于,而且大于,否則該分 數(shù)就變成了假分?jǐn)?shù)了,符合這個(gè)要求的的約數(shù)就只有37了,因此,分母應(yīng)當(dāng)為37,分子就是,也就是說(shuō),因此.【答案】567模塊二、分解質(zhì)因式【例 25】 三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們和的11倍，求這三個(gè)質(zhì)數(shù). 【考點(diǎn)】分解質(zhì)因式 【難度】2星 【題型】解答【解析】

20、設(shè)這三個(gè)質(zhì)數(shù)分別是、，滿(mǎn)足，則可知、中必有一個(gè)為11，不妨記為，那么，整理得()()，又，對(duì)應(yīng)的、或、或、 (舍去)，所以這三個(gè)質(zhì)數(shù)可能是2，11，13或3，7，11.【答案】2、11、13或3、7、11【例 26】 三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們的和的7倍，求這三個(gè)質(zhì)數(shù)【考點(diǎn)】分解質(zhì)因式 【難度】2星 【題型】解答【解析】 設(shè)這三個(gè)質(zhì)數(shù)分別是、，滿(mǎn)足，則可知、中必有一個(gè)為7，不妨記為，那么，整理得，又，對(duì)應(yīng)的2、9(舍去)或3、5，所以這三個(gè)質(zhì)數(shù)可能是3，5，7【答案】3、5、7【例 27】 如圖，長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為，面積為。另一個(gè)長(zhǎng)方形，面積為，周長(zhǎng)為。它的長(zhǎng)是 ，寬是 。【考點(diǎn)】分解質(zhì)因式 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)