“平行四邊形, 三角形和梯形的面積公式教學(xué)研究” 校本教研活動(dòng)方案(一)

1、“平行四邊形、三角形和梯形的面積公式教學(xué)研究”校本教研活動(dòng)方案(一)朱樂平一、 活動(dòng)目標(biāo)1經(jīng)歷閱讀、思考、解答并與同伴交流關(guān)于平行四邊形、三角形和梯形的面積計(jì)算公式教學(xué)的相關(guān)資料與問題。2明確化歸法的含義。能夠分清平行四邊形、三角形與梯形的面積這三個(gè)公式教學(xué)時(shí)，教學(xué)目標(biāo)上的相同與不同點(diǎn)。3能了解平行四邊形面積計(jì)算公式教學(xué)的不同引入方法，并對(duì)不同的引入方法的優(yōu)點(diǎn)與不足進(jìn)行分析。4 能夠明確如何引導(dǎo)學(xué)生探索平行四邊形面積計(jì)算公式。二、活動(dòng)時(shí)間教研活動(dòng)可以分成兩個(gè)時(shí)間段，第一段是交流本方案中的問題60分鐘。然后是一個(gè)老師上課，上平行四邊形面積計(jì)算公式這節(jié)課40分鐘，評(píng)課再50分鐘。共2個(gè)半小時(shí)，可以

2、在同一個(gè)半天中，也可以分開?？梢愿鶕?jù)學(xué)校教研活動(dòng)的時(shí)間和教研組老師的情況，選擇下面“活動(dòng)前準(zhǔn)備”中的一些問題進(jìn)行解答與交流。三、活動(dòng)前準(zhǔn)備先讓全組數(shù)學(xué)教師解答下面的問題，并準(zhǔn)備在小組或全數(shù)學(xué)組交流。(注：以下帶有*號(hào)表示問題有一定的難度。)(一)1 你認(rèn)為“平行四邊形的面積、三角形的面積和梯形的面積計(jì)算公式”這三塊教學(xué)內(nèi)容，小學(xué)生應(yīng)該先學(xué)哪一塊內(nèi)容？為什么？現(xiàn)行的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，學(xué)生學(xué)習(xí)這三塊內(nèi)容的順序是怎樣的？2 平行四邊形、三角形和梯形這三個(gè)圖形的面積公式推導(dǎo)時(shí)，都運(yùn)用了化歸的方法(也有人叫它是轉(zhuǎn)化的方法)。(1) 請(qǐng)你寫一寫什么叫化歸法？如果你不能直接寫出化歸法的含義，那么，請(qǐng)你試著先舉

3、出運(yùn)用化歸法解決數(shù)學(xué)問題的例子，然后再試著寫一寫什么叫做化歸法。(2) 請(qǐng)你閱讀下面的文章，閱讀完后，請(qǐng)?jiān)跀?shù)與代數(shù)和圖形與幾何的領(lǐng)域中各舉一個(gè)運(yùn)用化歸法解決問題的例子。如果問，數(shù)學(xué)家與其他科學(xué)家在解決問題時(shí)，在思維方法上有什么特別的地方？可能的回答是：數(shù)學(xué)家的思維方式更善于運(yùn)用化歸法。有人曾對(duì)“化歸法”作過生動(dòng)的比擬?！凹僭O(shè)在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，現(xiàn)在的任務(wù)是要燒水，你應(yīng)當(dāng)怎樣去做？”。正確的回答是：“在水壺中放進(jìn)水，點(diǎn)燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上?！苯又痔岢龅诙€(gè)問題：“假設(shè)其他的條件都不變，只是水壺中已有了足夠的水，這時(shí)你應(yīng)該怎樣去做？”。對(duì)此，人們往往回答說：“點(diǎn)燃煤氣，

4、再把壺放到煤氣灶上?！钡@并不是最好的回答，因?yàn)椤爸挥形锢韺W(xué)家才這樣做，而數(shù)學(xué)家則會(huì)倒去壺中的水，并且聲稱我已經(jīng)把后一問題化歸成先前的問題了?！?這個(gè)比喻固然有點(diǎn)夸張，但卻道出了化歸的根本特征。利用化歸法解決問題的過程可以簡(jiǎn)單地用以下框圖表示：在解決問題的過程中，數(shù)學(xué)家往往不是直接解決原問題，而是對(duì)問題進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化，直至把它化歸為某個(gè)(些)已經(jīng)解決的問題，或容易解決的問題。把所要解決的問題，經(jīng)過某種變化，使之歸結(jié)為另一個(gè)問題*，再通過問題*的求解，把解得結(jié)果作用于原有問題，從而使原有問題得到解決，這種解決問題的方法，我們稱之為化歸法。例如，我們?cè)谟?jì)算異分母分?jǐn)?shù)加減法時(shí)，首先是通過通分的辦法把

5、它化歸成同分母分?jǐn)?shù)加減法，計(jì)算出同分母分?jǐn)?shù)加減法的結(jié)果，從而得到異分母分?jǐn)?shù)加減法的結(jié)果，可以用下圖直觀的說明：又如，當(dāng)我們已經(jīng)知道三角形內(nèi)角和是180后，(凸)多邊形的內(nèi)角和的問題可以按照下面的方法來解決。如上圖1所示，因?yàn)?，四邊形可以分割成兩個(gè)三角形，所以，它的內(nèi)角和是2180=(4-2)180；因?yàn)?，五邊形可以分割成三個(gè)三角形，所以，它的內(nèi)角和是3180=(5-2)180；因?yàn)?，六邊形可以分割成四個(gè)三角形，所以，它的內(nèi)角和是4180=(6-2)180；因?yàn)?邊形可以分割成5個(gè)三角形，所以，它的內(nèi)角和是5180=(7-2)180；一般地，因?yàn)閚邊形可以分割成(n-2)個(gè)三角形，所以，它的內(nèi)角

6、和是(n-2)180。 從上面的分析可以知道，解決多邊形內(nèi)角和問題的關(guān)鍵是把多邊形分割成(若干個(gè))三角形，這實(shí)質(zhì)上已經(jīng)把原來的求多邊形內(nèi)角和的問題化歸成求三角形內(nèi)角和的問題。而三角形內(nèi)角和的問題已經(jīng)解決，從而多邊形內(nèi)角和的問題也可以解決。可以用下圖直觀的表示：3 如果用三節(jié)新課分別教學(xué)平行四邊形、三角形和梯形面積的計(jì)算公式，那么這三節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)有哪些相同的地方？有哪些不同的地方？4 大家知道，如果先學(xué)習(xí)平行四邊形的面積計(jì)算公式，那么可以用兩個(gè)完全相同的三角形或梯形拼成一個(gè)平行四邊形的方法，推導(dǎo)出三角形或梯形的面積計(jì)算公式，因此，這兩個(gè)面積計(jì)算公式的教學(xué)可以有不同的課時(shí)設(shè)計(jì)。以下是兩個(gè)不同的教

7、學(xué)順序：教學(xué)順序一： (1)三角形面積計(jì)算公式新課(一課時(shí))；(2)三角形面積計(jì)算公式練習(xí)課(一課時(shí))；(3)梯形面積計(jì)算公式新課(一課時(shí))；(4)梯形面積計(jì)算公式練習(xí)課(一課時(shí))；(5)三角形與梯形面積計(jì)算的綜合練習(xí)課(一課時(shí))。按照這樣的教學(xué)順序進(jìn)行教學(xué)，一共安排5課時(shí)。 教學(xué)順序二： (1)三角形與梯形面積計(jì)算公式新課(一課時(shí))；(2)三角形與梯形面積的練習(xí)課(三課時(shí))； (其中第一課時(shí)重點(diǎn)練習(xí)三角形面積計(jì)算公式的應(yīng)用，但也有梯形面積公式的應(yīng)用練習(xí)；第二課時(shí)重點(diǎn)練習(xí)梯形面積計(jì)算公式的應(yīng)用，但也有三角形面積計(jì)算公式的應(yīng)用練習(xí)。第三課時(shí)是三角形與梯形面積計(jì)算公式的綜合應(yīng)用練習(xí)。)共安排了4課

8、時(shí)。請(qǐng)你回答下面的問題：(1) 上面的兩種不同的教學(xué)順序你更喜歡哪一種？喜歡的主要理由是什么。(2) 從學(xué)生作業(yè)錯(cuò)誤率的高低來看，憑你的經(jīng)驗(yàn)，覺得按照順序一這樣教學(xué)，一開始的錯(cuò)誤率會(huì)高還是低？大約到第幾節(jié)課時(shí)，學(xué)生的錯(cuò)誤率最高？按照順序二教學(xué)，錯(cuò)誤率的高低又是怎樣變化的？(3) 有人認(rèn)為：“不能簡(jiǎn)單地說上面的哪一種教學(xué)順序更好。而應(yīng)該根據(jù)對(duì)不同的學(xué)生實(shí)際，不同難度的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容來確定不同的順序。”你同意這個(gè)觀點(diǎn)嗎？以下的一些情況，你認(rèn)為分別運(yùn)用哪一種教學(xué)順序更合適？請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)分別寫出順序一或二。并簡(jiǎn)要說明理由。 班級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)比較弱；( ) 班級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)比較好；( ) 數(shù)學(xué)教

9、學(xué)的內(nèi)容比較抽象，學(xué)生學(xué)習(xí)的難度比較大；( ) 學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容難度比較??；( )(4) 如果對(duì)兩個(gè)基礎(chǔ)差不多的班級(jí)學(xué)生，分別用上面的兩種順序進(jìn)行教學(xué)，那么這兩個(gè)班的學(xué)生，在三角形與梯形的面積計(jì)算公式的理解與掌握水平上會(huì)有差異嗎？如果沒有差異，主要原因是什么？如果有，主要差異是哪些？(5) *如果要運(yùn)用上面的兩種不同的教學(xué)順序設(shè)計(jì)做一個(gè)對(duì)比教學(xué)實(shí)驗(yàn)，那么，這個(gè)實(shí)驗(yàn)的主要過程是哪些？請(qǐng)你寫一寫。(二)5 按照現(xiàn)行教材的編寫順序，在學(xué)習(xí)平行四邊形面積計(jì)算公式之前，學(xué)生有哪些知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)與學(xué)習(xí)這一知識(shí)密切相關(guān)？6 *在學(xué)生沒有學(xué)習(xí)平行四邊形面積公式之前，如果給他們一個(gè)平行四邊形的紙片，讓他們求出這個(gè)

10、平行四邊形的面積，他們可能會(huì)運(yùn)用什么樣的方法？(如果讀者感興趣，可以把了解學(xué)生學(xué)習(xí)平行四邊形的面積計(jì)算公式的起點(diǎn)，作為一個(gè)專題來研究，寫成專題研究文章，即通過調(diào)查，包括訪談，了解到學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)和解決問題的不同思路。)7 一個(gè)老師在上平行四邊形面積計(jì)算公式這節(jié)課時(shí)，設(shè)計(jì)了開門見山的導(dǎo)入方式，上課一開始教師就在黑板上寫出：平行四邊形的面積。并問：看到這個(gè)課題，你想提出什么數(shù)學(xué)問題。（學(xué)生提問。）教師根據(jù)學(xué)生的提問梳理篩選出學(xué)習(xí)目標(biāo)：(1)什么是平行四邊形的面積？(2)怎樣計(jì)算平行四邊形的面積？(3)計(jì)算平行四邊形的面積有什么用處？ 你喜歡這樣的開頭方式嗎？你覺得這樣的設(shè)計(jì)有什么優(yōu)點(diǎn)？有什么不足？

11、8 大家知道，在學(xué)習(xí)平行四邊形的面積計(jì)算公式之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式，但在長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)中，學(xué)生并沒有學(xué)到“圖形的面積大小與高有關(guān)”這一知識(shí)點(diǎn)，也沒有相應(yīng)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在平行四邊形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)中，學(xué)生將第一次接觸“圖形的面積與高有關(guān)”這一知識(shí)。掌握這一知識(shí)對(duì)于推導(dǎo)三角形和梯形的面積計(jì)算公式，顯然有著十分重要的意義。想一想，你有什么辦法可以讓學(xué)生明確平行四邊形的面積大小與高有關(guān)？下面的做法是否可以使學(xué)生明確到這一點(diǎn)？先用硬紙板做一個(gè)平行四邊形的框架，然后拉動(dòng)變形，使得變化出的平行四邊形有不同的高。拉動(dòng)時(shí)，先定格在一個(gè)位置，讓學(xué)生觀察這時(shí)平行四邊形的底、高和面積等

12、因素，再拉動(dòng)定格在另一位置，讓學(xué)生觀察、想象、思考：兩個(gè)不同位置時(shí)平行四邊形的什么變了？什么沒有變？再做一個(gè)課件，在網(wǎng)格中先出示一個(gè)平行四邊形，然后慢慢的不斷變化，把變化前后的幾個(gè)平行四邊形都呈現(xiàn)出來(如下圖2)，讓學(xué)生觀察、想象、思考：什么在變？什么沒有變？平行四邊形的面積大小是怎么變化的？底與高是怎樣在變化？面積的大小與什么有關(guān)？9 有一個(gè)老師在備平行四邊形面積教學(xué)這節(jié)課時(shí)，做了以下的預(yù)設(shè)：今天我們來研究平行四邊形的面積(板書課題)。這里有兩個(gè)圖形(如圖3)，一個(gè)是長(zhǎng)方形，一個(gè)是平行四邊形，請(qǐng)大家先測(cè)量出必要的數(shù)據(jù)，再通過計(jì)算求出它們的面積。 圖3預(yù)設(shè)：第一個(gè)圖形是長(zhǎng)方形，學(xué)生會(huì)先量出(或

13、數(shù)出)它的長(zhǎng)是6厘米，寬是4厘米，從而計(jì)算出面積是64=24(平方厘米)。第二個(gè)圖形是平行四邊形，學(xué)生可能會(huì)運(yùn)用以下的一些方法求出它的“面積”：方法一：先量出橫的(水平的)底是6厘米，斜的(傾斜的)底是5厘米，從而計(jì)算出面積是65=30(平方厘米)。這實(shí)質(zhì)上是學(xué)生的猜想，這部分學(xué)生認(rèn)為平行四邊形面積等于相鄰兩邊的乘積。方法二：先測(cè)量出平行四邊形相鄰兩條邊的長(zhǎng)度(也是兩條底邊的長(zhǎng)度)，分別是6厘米和5厘米,再計(jì)算出面積是(6+5)2=22(平方厘米)。這是學(xué)生的又一個(gè)猜想。方法三：先畫出這個(gè)平行四邊形底邊上的高，再量出高是4厘米，底是6厘米，面積是64=24(平方厘米)。這也是學(xué)生的一個(gè)猜想。在

14、學(xué)生有這些猜想后，接著就是運(yùn)用各種方法來驗(yàn)證猜想是否正確。在上面的預(yù)設(shè)中，你覺得：(1)學(xué)生有可能象方法一這樣求平行四邊形的面積嗎？(2)認(rèn)為平行四邊形面積等于相鄰兩邊乘積的學(xué)生數(shù)占全班的百分比大約是多少？(3)學(xué)生為什么會(huì)認(rèn)為：平行四邊形的面積等于相鄰兩邊的乘積呢？也就是他們產(chǎn)生這一結(jié)論的主要原因是什么？(4)可以設(shè)計(jì)怎樣的教學(xué)過程，逐步引導(dǎo)學(xué)生自己認(rèn)識(shí)到：“平行四邊形面積等于相鄰兩邊的乘積”這一結(jié)論是錯(cuò)誤的？適當(dāng)?shù)馗倪M(jìn)上面第9題的演示過程，可以讓學(xué)生明確這一點(diǎn)嗎？10 在平行四邊形面積計(jì)算公式教學(xué)時(shí)，要運(yùn)用化歸的方法，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成為已經(jīng)知道面積計(jì)算公式的長(zhǎng)方形。這是學(xué)生第一次接觸到剪

15、、拼轉(zhuǎn)化的方法。想一想，你可以通過怎樣的引導(dǎo)過程，能夠使更多的學(xué)生自己想到用這種剪、拼的方法？下面是兩個(gè)不同的引導(dǎo)過程，你更喜歡哪一個(gè)設(shè)計(jì)？為什么？(1) 整體入手的方法：教師向?qū)W生說明，下面將出示一些圖形，要求他們求出這些圖形的面積。如果圖形中有方格，那么一個(gè)小方格代表1平方厘米。圖4 出示上圖4(1)，讓學(xué)生說一說它的面積是多少?？梢杂檬裁捶椒ㄖ肋@個(gè)長(zhǎng)方形的面積。交流后得到可以用數(shù)方格(數(shù)方格法)和測(cè)量出長(zhǎng)與寬的長(zhǎng)度再計(jì)算出面積(公式法)這兩種方法。板書：數(shù)方格法：要把圖形放在網(wǎng)格中。公式法：要測(cè)量出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，然后運(yùn)用這些長(zhǎng)度進(jìn)行計(jì)算，從而得出這個(gè)圖形的面積。 出示圖4(2)，讓學(xué)

16、生說出面積是多少。并進(jìn)一步明確可以用數(shù)方格法和公式法得出面積。引出剪、拼轉(zhuǎn)化的思想，討論交流：剪、拼轉(zhuǎn)化前后兩個(gè)圖形的什么變了(形狀變了)，什么沒有變(面積的大小沒有變)。如果要用公式法計(jì)算這個(gè)圖形的面積，需要測(cè)量出哪幾條線段的長(zhǎng)度(或者說哪幾條線段的長(zhǎng)度需要知道。) 出示圖4(3)，與上述過程類似。并進(jìn)一步討論出可以在不同的地方剪開，再拼。強(qiáng)調(diào)用剪、拼的方法轉(zhuǎn)化成已經(jīng)知道面積計(jì)算公式的圖形時(shí)，要注意剪、拼前后兩個(gè)圖形的比較與分析。 出示圖4(4)，讓學(xué)生分別用數(shù)方格法和用剪、拼的方法得出這個(gè)平行四邊形的面積。比較剪、拼前后的兩個(gè)圖形，得出如果要用公式法計(jì)算平行四邊形面積，那么就要測(cè)量出平行四

17、邊形的底與高，公式是：平行四邊形面積=底高。 出示圖4(5)，讓學(xué)生想一想，要求出這個(gè)平行四邊形的面積需要測(cè)量哪幾條線段的長(zhǎng)度。這個(gè)圖形的面積是多少。 出示圖4(6)，與上述過程類似。要求學(xué)生自己畫出高，測(cè)量后再求出面積。 讓學(xué)生自己在方格紙上任意畫一個(gè)平行四邊形，先用公式法求出面積，再用數(shù)方格的方法進(jìn)行驗(yàn)證。(2) 局部入手的方法(數(shù)方格的方法)：學(xué)生在學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式時(shí)，是先用面積單位去度量，然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律得到公式的。因此，用數(shù)方格的方法求出一個(gè)圖形的面積學(xué)生有一定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。讓學(xué)生用數(shù)方格的方法求平行四邊形的面積，當(dāng)遇到不是正好一格的時(shí)候，就要想辦法拼成一整格，要找到兩個(gè)(或幾個(gè))不

18、到一整格的圖形，使這些圖形可以拼成一整格，即拼成一個(gè)小正方形。這樣就會(huì)有部分學(xué)生想到把不到一格的剪下來，與另一個(gè)不到一格的圖形拼在一起。在面積不變的情況下，把不是整格的圖形轉(zhuǎn)化為整格。這可能是最容易想到用剪、拼方法的地方，也可能是剪、拼方法產(chǎn)生的最直接原因。學(xué)生在小范圍的部分剪、拼中(從理論上說，每次剪下的一塊都是可以是不足一整格的)，逐步發(fā)現(xiàn)較大范圍的整體剪、拼，即可以剪下一個(gè)三角形(或梯形)，再通過兩個(gè)三角形(或梯形)拼在一起，可以得到一個(gè)長(zhǎng)方形，從而把平行四邊形轉(zhuǎn)化成了已經(jīng)知道面積計(jì)算公式的長(zhǎng)方形了。這就是剪拼轉(zhuǎn)化思想的產(chǎn)生的整個(gè)過程。具體的操作過程如下： 出示圖5，先說明每一個(gè)小方格表示1平方厘米，再讓學(xué)生數(shù)一數(shù)(用數(shù)格的方法)這兩個(gè)面積各是多少平方厘米。 圖5學(xué)生數(shù)后思考：哪一個(gè)圖形的面積容易數(shù)出？為什么？這個(gè)平行四邊形的面積是多少？你是怎樣數(shù)的？交流后得出：長(zhǎng)方形的面積容易數(shù)出，因?yàn)樗际钦竦摹?/p>