3.4.6環(huán)形跑道問題

1、3.4.6一元一次方程與實(shí)際問題行程問題-環(huán)形跑道問題隴川縣第五中學(xué)隴川縣第五中學(xué)申光諾申光諾運(yùn)用方程解決實(shí)際問題的一般過程是什么？運(yùn)用方程解決實(shí)際問題的一般過程是什么？1、審題：分析題意，找出題中的數(shù)量及：分析題意，找出題中的數(shù)量及其關(guān)系；其關(guān)系；2、設(shè)元：選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)用字母表：選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)用字母表示（例如示（例如x）；）；3、列方程：根據(jù)相等關(guān)系列出方程；：根據(jù)相等關(guān)系列出方程；4、解方程：求出未知數(shù)的值；：求出未知數(shù)的值；5、檢驗(yàn)：檢查求得的值是否正確和符合：檢查求得的值是否正確和符合實(shí)際情形，并寫出答案。實(shí)際情形，并寫出答案。審審設(shè)設(shè)列列解解驗(yàn)驗(yàn)6、答：把所求的答案答出

2、來。：把所求的答案答出來。答答一、激發(fā)求知欲用一元一次方程分析和 解決實(shí)際問題的基本過程如下:實(shí)際問題實(shí)際問題數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)問題已知量已知量,未未知量知量,等量等量關(guān)系關(guān)系一元一次方程一元一次方程方程的解方程的解解的合理性解的合理性實(shí)際問題答案實(shí)際問題答案抽象抽象分析分析列出列出求出求出驗(yàn)證驗(yàn)證合理合理一、相遇問題的基本題型一、相遇問題的基本題型1、同時(shí)出發(fā)（兩段）、同時(shí)出發(fā)（兩段）二、相遇問題的等量關(guān)系二、相遇問題的等量關(guān)系總乙甲sss總乙甲先ssss2、不同時(shí)出發(fā)、不同時(shí)出發(fā) （三段（三段 ）一、追及問題的基本題型一、追及問題的基本題型1、不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)、不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)二、追及問題的等量

3、關(guān)系二、追及問題的等量關(guān)系2、同地點(diǎn)不同時(shí)出發(fā)、同地點(diǎn)不同時(shí)出發(fā)1、追及時(shí)快者行駛的路程慢者行駛的路程相距的 路程2、追及時(shí)快者行駛的路程慢者行駛的路程或 慢者所用時(shí)間=快者所用時(shí)間+多用時(shí)間二、展示目標(biāo)和任務(wù)環(huán)形跑道問題分類一、環(huán)形跑道上的追及問題二、環(huán)形跑道上的相遇問題同向而行，雙方的速度不同（假設(shè)甲快，乙慢），甲追上乙后，以相同的方式在跑道上多次追上乙。我們把這種問題稱為環(huán)形跑道上的追及問題背向而行，在跑道的某處相遇，以相同的方式在跑道上多次與乙相遇。我們把這種問題稱為環(huán)形跑道上的相遇問題三、自主合作與交流環(huán)形跑道問題相遇問題理論依據(jù)甲乙甲乙在同一地點(diǎn)出發(fā)，背向而行（甲快，乙慢），當(dāng)甲與

4、乙第一次相遇時(shí)，甲乙共同跑了一圈。由相遇問題，我們有甲總路程+乙總路程=跑道周長同樣，我們可以把他們相遇的地點(diǎn)作為起點(diǎn)來看，第二次相遇的時(shí)候，甲乙共同又跑了一圈，甲和乙總共跑了兩圈，有：甲總路程+乙總路程=跑道周長*2從而我們可以發(fā)現(xiàn)，每相遇一次，甲乙就共同多跑了一圈，因此，相遇的次數(shù)就等于共同跑的圈數(shù)。甲總路程+乙總路程=跑道周長*N環(huán)形跑道問題追及問題理論依據(jù)甲乙在同一地點(diǎn)出發(fā)，同向而行（甲快，乙慢），當(dāng)甲追上乙時(shí)，肯定比乙多跑了一圈。（第一次甲追上乙）甲乙這時(shí)，我們可以看做甲乙在同一地點(diǎn)出發(fā)，同向而行，當(dāng)甲再次追上乙時(shí)，肯定又比乙多跑了一圈。（第二次追上時(shí)）從而我們可以發(fā)現(xiàn)，每追上一次，

5、甲就比乙多跑一圈，因此，追上的次數(shù)就等于多跑的圈數(shù)。甲總路程-乙總路程=跑道周長甲總路程-乙總路程=跑道周長+ 1圈周長甲總路程-乙總路程=跑道周長*N例1、 運(yùn)動(dòng)場的跑道一圈長400m，甲練習(xí)騎自行車，平均每分騎350m，乙練習(xí)跑步，平均每分250m兩人從同一處同時(shí)反向出發(fā)，經(jīng)過多少時(shí)間首次相遇？分析：圓形跑道中的規(guī)律： (第1次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程1圈的長度(第2次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程2圈的長度(第3次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程3圈的長度 . (第n次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程n圈的長度解：設(shè)經(jīng)過解：設(shè)經(jīng)過x分鐘首次相遇，則依題意可得分鐘首次相遇，則依題

6、意可得 350 x+250 x=400 解得：解得：x=答：經(jīng)過答：經(jīng)過 分鐘甲、乙相遇。分鐘甲、乙相遇。3232變式1、 若兩人同時(shí)反向出發(fā)，且兩人相距100米。問經(jīng)過多少時(shí)間兩人首次相遇？1.相遇問題同時(shí)反向不同地.gsp變式2、 若兩人從同一處反向出發(fā)，且乙先跑1分鐘。問經(jīng)過多少時(shí)間兩人首次相遇？2.相遇問題同地反向慢先跑.gsp變式3、 若兩人從同一處反向出發(fā)，且甲先跑1分鐘。問經(jīng)過多少時(shí)間兩人首次相遇？3.相遇問題同地反向快先跑.gsp例2、 運(yùn)動(dòng)場的跑道一圈長400m，甲練習(xí)騎自行車，平均每分騎350m，乙練習(xí)跑步，平均每分250m兩人從同一處同時(shí)同向出發(fā)，經(jīng)過多少時(shí)間首次相遇？追

7、及問題同時(shí)同地同向.gsp分析：圓形跑道中的規(guī)律： (第1次相遇：)快者跑的路程慢者跑的路程1圈的長度(第2次相遇：)快者跑的路程慢者跑的路程2圈的長度(第3次相遇：)快者跑的路程慢者跑的路程3圈的長度 . (第n次相遇：)快者跑的路程慢者跑的路程n圈的長度解：設(shè)經(jīng)過x分鐘首次相遇，則依題意可得 350 x-250 x=400 解得：x=4答：經(jīng)過4分鐘甲、乙相遇。變式1、 甲在后，乙在前，且兩人相距100米。若兩人從同時(shí)同向出發(fā)，經(jīng)過多少時(shí)間首次相遇？1.追及問題同時(shí)同向不同地.gsp變式2、 甲在前，乙在后，且兩人相距100米。若兩人從同時(shí)同向出發(fā)，經(jīng)過多少時(shí)間首次相遇？2追及問題同時(shí)同向

8、不同地.gsp變式3、 兩人從同一處同向出發(fā)，若乙先跑1分鐘，經(jīng)過多少時(shí)間首次相遇？3.追及問題同地反向慢先跑.gsp變式4、 兩人從同一處同向出發(fā)，若甲先跑1分鐘，經(jīng)過多少時(shí)間首次相遇？4.追及問題同地反向快先跑.gsp找等量關(guān)系的方法：1.從題中的關(guān)鍵語句入手尋找等量關(guān)系。2.利用某些基本公式尋找等量關(guān)系。3.從變化的關(guān)系中尋找不變的量，進(jìn)而找到等量關(guān)系。4.還可以借助圖形、表格、線段圖等分析較復(fù)雜問題中的等量關(guān)系。四、成果展示，教師點(diǎn)撥 【例1】小王、叔叔在400米長的環(huán)形跑道上練習(xí)跑步，小王每秒跑5米，叔叔每秒跑7.5米。（1）若兩人同時(shí)同地反向出發(fā)，多長時(shí)間兩人首次相遇？例題 講解分

9、 析（1 1）反向）反向相等關(guān)系：相等關(guān)系：小王路程小王路程 + + 叔叔路程叔叔路程 = 400= 400叔叔叔叔小王小王 【例1】小王、叔叔在400米長的環(huán)形跑道上練習(xí)跑步，小王每秒跑4米，叔叔每秒跑7.5米。（2）若兩人同時(shí)同地同向出發(fā)，多長時(shí)間兩人首次相遇？例題 講解分 析（2 2）同向）同向相等關(guān)系：相等關(guān)系：小王路程小王路程 + 400 = + 400 = 叔叔路程叔叔路程叔叔叔叔小王小王1.小明和爺爺在學(xué)校環(huán)形跑道上晨練，環(huán)形跑道的周長是400米，小明的速度是300米/分鐘,爺爺?shù)乃俣仁?00米/分鐘，有天，小明心里在想要和爺爺賽跑。（1）他們從同一地點(diǎn)同時(shí)同向起跑，當(dāng)小明第三次

10、追上爺爺?shù)臅r(shí)候，小明笑著對爺爺說：爺爺，我都追上了你三次了，爺爺笑著說：我知道我們跑了多長時(shí)間了！聰明的你，知道從起跑的時(shí)候算起，到小明第三次追上爺爺后，一共用了多長時(shí)間嗎？五、知識(shí)驗(yàn)證提升解：（1）設(shè)小明第三次追上爺爺時(shí)，總共用的時(shí)間為X分鐘300X-200X=4003解得：X=12答：小明第三次追上爺爺，總共用的時(shí)間為12分鐘1.小明和爺爺在學(xué)校環(huán)形跑道上晨練，環(huán)形跑道的周長是400米，小明的速度是300米/分鐘,爺爺?shù)乃俣仁?00米/分鐘，有天，小明心里在想要和爺爺賽跑。（2）這次比賽后，小明疑惑的問爺爺：爺爺，要是我們向相反的方向跑，沒有表，你能知道我們跑了多長時(shí)間嗎？爺爺笑著說：我們

11、就按照平時(shí)跑的速度，只要我知道我們相遇的次數(shù)，我就知道我們能跑多少時(shí)間你能幫小明解決這個(gè)疑惑么？（2）解：假設(shè)第三次相遇，設(shè)小明與爺爺?shù)谙嘤龅臅r(shí)間為X分鐘300X+200X=4003解得：X=2.4答：小明和爺爺首次相遇，相遇時(shí)間為2.4分鐘當(dāng)然，我們也可以利用多次相遇公式甲總路程+乙總路程=跑道周長*N來求相遇的時(shí)間。 2. 運(yùn)動(dòng)場一圈為400米，張森和丁爍一同參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的長跑比賽。已知丁爍然平均每分鐘跑230米，張森每分鐘跑150米。（1）若兩人從同一處同時(shí)同向起跑，問經(jīng)過多長時(shí)間兩人可以首次相遇？（2）若兩人從同一處同向起跑，且張森先跑2分鐘。問經(jīng)過多長時(shí)間兩人可以首次相遇？（3）若兩人從同一處同時(shí)反向起跑，問經(jīng)過多長時(shí)間兩人可以首次相遇？（4）若兩人從同一處反向起跑，且張森先跑2分鐘。問經(jīng)過多長時(shí)間兩人可以首次相遇？2.小結(jié)：小結(jié)： 行程問題包括相遇、追擊和飛行、航行的速度問題行程問題包括相遇、追擊和飛行、航行的速度問題其基本關(guān)系是：路程其基本關(guān)系是：路程=時(shí)間時(shí)間速度速度相遇問題的等量關(guān)系：甲行距離相遇問題的等量關(guān)系：甲行距離+乙行距離乙行距離=總路程總路程 追擊問題的等量關(guān)系：追擊問題的等量關(guān)系： 1）同時(shí)不同地）同時(shí)不同地 ： 慢者行的距離慢者行的距離+兩者之間的距離兩者