2.1方向?qū)?shù)與梯度ppt課件

1、17.3 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度 17.3.1方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 17.3.2梯度梯度 17.3.1方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 多元函數(shù)在一點的偏導(dǎo)數(shù)，表示此函數(shù)過該多元函數(shù)在一點的偏導(dǎo)數(shù)，表示此函數(shù)過該點沿著平行于坐標(biāo)軸方向的變化率。點沿著平行于坐標(biāo)軸方向的變化率。 問題：問題： 點沿任意方向的變化率？點沿任意方向的變化率？ 這就是所謂的方向?qū)?shù)。這就是所謂的方向?qū)?shù)。1.方向?qū)?shù)的定義方向?qū)?shù)的定義 oxyzl0PPoxyzl0PP2220000PPxxyyzz記記000, , ,xxxyyyzzz cos, xcos,ycos.zxyz問題：問題： (1).方向?qū)?shù)的計算？方向?qū)?shù)的計算？ (

2、2).方向?qū)?shù)與可微、偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系？方向?qū)?shù)與可微、偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系？2. 方向?qū)?shù)的計算方向?qū)?shù)的計算 oxyzl0P :證明000,:P xx yy zzl設(shè)為 上任一點由已知 0()f Pf P000000,f xx yy zzf x y z 000()()()xyzfPxfPyfPzo 0()f Pf P00()()xyxyfPfPoxyzl0PPxyz 0()zozfP 000()cos()cos()cosxyzofPfPfP000()cos()cos()cos ,xyzfPfPfP00,fPl故 在 沿 的方向?qū)?shù)存在 且 0()f Pf P0()lf P 00()limf P

3、f P000()cos()cos()cos .xyzfPfPfP/oxyzl0P P:說明(1). 1, ,f由定理 知 如 可微則任意方向的方向?qū)?shù)皆可用偏導(dǎo)數(shù)表示:0000()(),(),()cos,cos,coslxyzf PfPfPfP0000()(),(),()lxyzf PfPfPfPl可見為向量在方向 上的投影.0(2). ,lPl記 表示在 點與射線 反向的射線則由定理1知00PPffll 0(3). ( , , ),ff x y zPxx記在 點沿 軸正方向的方向?qū)?shù)為0( , , ).ff x y zPxx在 點沿 軸負(fù)方向的方向?qū)?shù)為0:,?fffPxxx在,問點有何關(guān)系

4、題:答案0P在 點,.ffffffxxxxxx存在皆存在 且(4). .對二元函數(shù)有類似的討論( , )f x y對二元函數(shù),000( )()()limlf Pf Pf P00()cos()cosxyfPfP l其中 和 是的方向角.定義定義定理定理1oyxl Pxy0P230. ( , , )( 1 , 1 , 1 ). ( 2 , 2 , 1 ); ). ( 1 , 1 , 1 )( 2 , 2 , 1 ). 1f x y zxyzfPliliil設(shè),求 在點處沿 方向的方向?qū)?shù).其中為方向為從點到點的方向例解:(法1). il 的方向余弦為2222cos2( 2)1 2,32cos,3

5、1cos,30()1,xfP01()2yyfPy2,201()3zzfPz3.,因此0Pfl000()cos()cos()cosxyzfPfPfP2212 ( )3333 13由定理由定理1,). iil 的方向余弦為22221cos(21)( 21)(1 1) 1,103cos,10 cos0 ;,因此13121010fl 5.10 (法2)(用定義). il為方向的射線為111221xyzt令 ( 0)21 , 21 , 1 , ( 0 )xtytztt 即 0()( 1 , 1 ,1 )f Pf3,( )(21,21, 1)f Pfttt23(21)( 21)(1)ttt 3273ttt

6、 222(1)(1)(1)xyz222(2 )( 2 )ttt 3t,因此000( )()limPff Pf Pl3207lim3ttttt1.3). ( 1 , 1 , 1 )( 2 , 2 , 1 )iil從點到點的方向的方向數(shù)為( 1 , 3 , 0 ),l方向的射線為1 , 31 , 1 ,xtytz ( 0 ).t ( )(1 , 31 , 1 )f Pf tt2953 ,tt0()( 1 , 1 ,1 )f Pf3 ;222(1)(1)(1)xyz22( 3 )tt 10t000( )() limPff Pf Pl因此,2095lim10tttt5.10 :請同學(xué)們問題小結(jié)法2.答

7、案:0, ,xyzlll l l記的方向數(shù)為則l射線 上的點( , , )P x y z000(,)xyzxt lyt lzt l 00Pt l 0Pfl00000()()limtf Pt lf Pt l 0:,ll當(dāng) 為 方向上的單位向量時注則00000()()limtPff Pt lf Plt 000()tdf Pt ldt 222. ( , , ),: ). ). 1. 2f x y zxyzifiiflfl(0,0,0)設(shè)證明在(0,0,0)偏導(dǎo)數(shù)不存在,進(jìn)而不可微; 但 在(0,0,0)沿任意射線 的方向?qū)?shù)皆存在, 且例: ). i證明(0,0,0)xf0(,0,0)(0,0,0)

8、limxfxfx 0limxxx ,(0,0,0)xf不存在;(0,0,0),(0,0,0)yzff同理,不存在.所以所以,可微是方向可微是方向?qū)?shù)存在的充分導(dǎo)數(shù)存在的充分條件條件 , 但不必要但不必要 .0). , ,xyziilll l l記的方向數(shù)為則(0,0,0)fl000()(0,0,0)limtf t lft l00 , , (0,0,0)limxyztf t lt lt lft l2222222220limxyztxyztltltltlll1.fl故 在(0,0,0)沿任意射線的方向?qū)?shù)皆存在,1.fl(0,0,0)且0f 0f xyo1f 1f 2 1 , 0,. ( , )

9、0 , 3yxxf x y 當(dāng)設(shè)其余部分例(0,0)(0,0)lff證明:=0,但 在不連續(xù).教材教材P.126 例例2 ff在一點的任何方向上的方向?qū)?shù)皆存在,在此點連續(xù).17.3.2 梯度梯度 1.梯度的定義梯度的定義 記作：記作：000(),(),()xyzgradffPfPfP222000()()()xyzgradffPfPfP方向上的投影方向上的投影. 2. 梯度的幾何意義梯度的幾何意義 對可微函數(shù)，梯度方向是函數(shù)變化最快的方向。對可微函數(shù)，梯度方向是函數(shù)變化最快的方向。 這是因為這是因為 00()() coslf Pgradf lgradf P 3. 梯度的運算梯度的運算 ). (

10、),igrad ucgradu). ,iigraduvgradugradv). ,iiigrad u vu gradvv gradu2). ,vu gradvv graduivgraduu ). ( ).vgradf uf ugradu:). iv證明22, yyxxxyuvu vvuvu vvuuuuvgradu21( , )xxyyuvu vuvu vu21( , ) ( , )xyxyuvu vu vu vu21( , )( , )xyxyu vvv uuu2ugradvvgraduu解解 由梯度計算公式得由梯度計算公式得( , , ),uuugradu x y zxyz23, 42,

11、6,xyz故故(1,1,2)5, 2, 12 .gradu222(1,1,2)5212173.gradu教材教材P.126例例3練習(xí)題解解2(1,0)(1,0)1;yzex2(1,0)(1,0)22,yzxey所所求求方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)cos()2sin()44zl2.2 這這里里方方向向l即即為為1, 1 PQ,練習(xí)題解答返回返回解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向?qū)?shù)的計算公式知由方向?qū)?shù)的計算公式知,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx 2返回返回 sincos),4sin(2 故故（1）當(dāng)當(dāng)4 時時，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達(dá)

12、達(dá)到到最最大大值值2;（2）當(dāng)當(dāng)45 時時，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達(dá)達(dá)到到最最小小值值2 ;（3）當(dāng)當(dāng)43 和和47 時時，方向?qū)?shù)等于方向?qū)?shù)等于 0.返回返回(0,0)0(,0)(0,0)limxzfxfxx 0|lim.xxx 故兩個偏導(dǎo)數(shù)均不存在故兩個偏導(dǎo)數(shù)均不存在.解答解答返回返回0(0,0)(,)(0,0)limzfxyfl22220()()lim1()()xyxy 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)均均存存在在且且相相等等.返回返回解：；。返回返回:解(1,2)(1,2)22,Txx(1,2)(1,2)24;Tyy(1,2)(1,2)(1,2)cos30sin30TTTlxy31242232.返回返回:解2221126,l :l 的方向余弦112cos, cos, cos,66622, , 2,uuuyzxzxyzxyz而coscoscosuuuulxyz221122666yzxzxyz返回返回:解221, ( , ),f x yxy這里22222222, xyxyffxyxy 2222212grad()xyxyxy ij:解2grad,1,2 ,3,xyzffffyz, grad (1, 1,2)1,