粘性流體力學(xué)第一章

1、粘性流體力學(xué) 第一章第一章 粘性流體的基本概念粘性流體的基本概念 第二章第二章 粘性流體力學(xué)的基本方程粘性流體力學(xué)的基本方程 第三章第三章 層流層流NS方程的精確解方程的精確解 第四章第四章 不可壓流體層流邊界層不可壓流體層流邊界層 第五章第五章 層流不穩(wěn)定性和轉(zhuǎn)捩層流不穩(wěn)定性和轉(zhuǎn)捩 第六章第六章 湍流基本理論湍流基本理論 第七章第七章 不可壓縮流體湍流邊界層不可壓縮流體湍流邊界層 第八章第八章 射流與尾跡射流與尾跡 第九章第九章 內(nèi)部流動內(nèi)部流動 第一章第一章 粘性流體的基本概念粘性流體的基本概念 第一節(jié)第一節(jié) 粘性流體力學(xué)的發(fā)展粘性流體力學(xué)的發(fā)展 第二節(jié)第二節(jié) 兩種基本流態(tài)兩種基本流態(tài)層流

2、、湍流層流、湍流 和雷諾數(shù)和雷諾數(shù) 第三節(jié)第三節(jié) 流體的傳輸性質(zhì)流體的傳輸性質(zhì) 第四節(jié)第四節(jié) 應(yīng)變率張量和應(yīng)力張量應(yīng)變率張量和應(yīng)力張量 第五節(jié)第五節(jié) 廣義牛頓定律廣義牛頓定律 第第一節(jié) 粘性流體力學(xué)的發(fā)展1、研究流體粘性的意義、研究流體粘性的意義n流體存在著粘性，粘性是流體阻止其本身流動的性質(zhì)。當(dāng)流場中存在速度梯度時，流體就會產(chǎn)生阻力，這就是粘性。n在求解運動物體在流體中的阻力，以及渦旋的擴(kuò)散、熱量的傳遞等問題時，粘性會起主導(dǎo)作用不能忽略。n粘性流體力學(xué)就是研究在粘性不能忽略情況下的流體的宏觀運動，以及流體和在其中運動的物體之間相互作用所遵循的規(guī)律。2 2、粘性流體力學(xué)的發(fā)展、粘性流體力學(xué)的發(fā)

3、展 粘性流體力學(xué)在理論上的發(fā)展首先是納維（Navier 1827年在歐拉方程中加上了粘性項。 經(jīng)過柯西（Cauchy）、泊松（Poisson 1829年）和維納特（Vanant 1843年）等人的研究。最后由斯托克斯（Stokes 1845年）完成粘性流體運動的動量方程（NavierStokes方程）。 1904年普朗特（Ludwig Prandtl）提出了邊界層理論，才把實驗與理論分析結(jié)合起來。以后粘性流體力學(xué)主要在邊界層理論和湍流理論兩個方面發(fā)展起來。3 3 邊界層理論的發(fā)展概況邊界層理論的發(fā)展概況 邊界層理論的建立邊界層理論的建立 1904年普朗特提出了邊界層理論，把流體分成兩個區(qū)域，離

4、物面很近的區(qū)域，速度梯度很大，粘性力起很大作用，但這層流體很薄，稱作邊界層，而外層按無粘性流動處理。 1905年普朗特和1908年布拉休斯（Blasius）對平板邊界層引入了相似性解。 積分關(guān)系式法積分關(guān)系式法 1921年卡門（Von Karman）和波爾豪森（Pohlhauses）引入了動量積分方程。從而提出了邊界層的動量積分關(guān)系式解法。 湍流邊界層的積分關(guān)系式解法有多種，其中用的比較廣泛的是希德法（Head 1958年），此法的主要缺點忽略了邊界層上游的歷史影響。 有多種改進(jìn)和推廣此法的方法，其中格林法（Green 1973年）考慮了雷諾應(yīng)力的變化以及上游的歷史影響，總的精度有明顯的提高。

5、以后依斯特（East 1977年）把Green法發(fā)展成解湍流邊界層的逆方法，以便預(yù)估分離流動，得到了較好的結(jié)果 積分關(guān)系式法在跨邊界層積分時不可避免的要失掉很多邊界層的信息，不能反映邊界層的湍流結(jié)構(gòu)，如切應(yīng)力的分布，而且它需要對邊界層的速度剖面進(jìn)行假設(shè)，所以此法不適用邊界條件突然變化和分離等情況。 但是在流體機(jī)械中，為了工程上的需要，此法還要進(jìn)一步發(fā)展以適用于三維邊界層、非定常邊界層、可壓縮邊界層及溫度邊界層等分析計算的要求。 微分解法微分解法 60年代以后隨著計算機(jī)的發(fā)展，邊界層的微分解法也發(fā)展起來。1968年斯坦福（Stanford）大學(xué)舉行了一次專門會議估計常用的湍流邊界層計算方法的精度

6、，確認(rèn)了偏微分方程的解法比積分關(guān)系式方法更精確，更普遍。 有層流邊界層的SC法（Smith and Clutter 1963年）和湍流邊界層的CS法（Cebeci and Smith 1967年）。 有關(guān)三維邊界層和邊界層分離計算仍在不斷發(fā)展。 有關(guān)湍流計算的模式理論等仍適用邊界層的計算，有關(guān)邊界層流動的研究也是這些理論和方法發(fā)展的動力。 邊界層的實驗測量邊界層的實驗測量 在湍流邊界層計算的發(fā)展中，邊界層的實驗測量，其中最主要的是對速度分布規(guī)律的研究，這方面的成果有普朗特（Prandtl 1933年）的內(nèi)層律，卡門的外層律（Karman 1930年），克勞塞（Clauser 1954年，195

7、6年）壓力梯度對外層律影響的修正，科爾斯（Coles）的尾跡律, 以及1960年代克蘭（Kline）開始用氫氣泡技術(shù)觀察到的邊界層猝發(fā)(burst)現(xiàn)象。 三維邊界層計算和邊界層的逆解法三維邊界層計算和邊界層的逆解法 邊界層的計算主要集中發(fā)展了三維邊界層計算和邊界層的逆解法的研究。 三維邊界層的積分關(guān)系式法三維邊界層的積分關(guān)系式法 主要是把Head法推廣到三維邊界層的計算，其中有Moore. J （1973）計算徑流葉輪的輪轂、外緣和葉片面的三維邊界層；Akakawa et al（1980）計算了軸流泵葉片的三維邊界層，并得出葉片后緣的脫流區(qū)；Lakshminarayance（1981）計算了

8、透平葉片的三維邊界層；Furakawa et al計算水泵葉輪環(huán)面和葉片面邊界層。差分法求解三維邊界層差分法求解三維邊界層 用差分法求解三維邊界層較晚。 Nash. J. F.（1972）用一階精度的顯式差分求解了機(jī)翼三維邊界層，Nash. J. F.（1976），Cebeci. J . et al(1977), Melean J. D. (1977), Tassa A. et al(1982)用隱式差分求解了三維邊界層。 Vatsa V. N (1984)導(dǎo)出了非正交旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的三維邊界層方程，引入了二維LevyLess變換，用零方程湍流模型方程封閉，并用分塊因子法求解。Anderson

9、O. L. (1987)計算了葉輪葉片面三維邊界層。 邊界層逆解法邊界層逆解法 邊界層計算的另一個活躍領(lǐng)域是邊界層的逆解法。對于二維定常分離邊界層，當(dāng)給定時，邊界層方程在分離點是奇點，用正解法無法求解。 D. Catherall et al（1966）首先提出了二維邊界層積分型逆解法。在二維邊界層上主要應(yīng)用East（1977）的逆解法。 三維邊界層在分離現(xiàn)象、判別和模擬方面比二維復(fù)雜，J. Cousteix(1981)提出了三維邊界層的逆解法。以后Le Ballear（1981），Delery J and Formery（1983），Radwan S. F. （1984）和Edwards D.

10、E.（1987）等都進(jìn)行邊界層逆解法的計算，并取得了滿意的結(jié)果。 大尺度分量與流動的邊界條件和外力性質(zhì)有關(guān)，如湍流中動量和熱量的交換，對于工程問題很重要。在這方面對于管流、渠道、自由湍流和邊界層做了很多試驗，在試驗基礎(chǔ)上產(chǎn)生了湍流的半經(jīng)驗理論。這個理論主要包括2030年代產(chǎn)生的Prandtl的混和長度理論，Taylor的渦量傳輸理論和Karman的相似性理論。這些半經(jīng)驗理論基于湍流微團(tuán)運動和分子運動的類比。4 4、湍流理論發(fā)展概況、湍流理論發(fā)展概況 致力于湍流大尺度分量的描述致力于湍流大尺度分量的描述 在半經(jīng)驗理論基礎(chǔ)上60年代以后進(jìn)一步提出模式理論湍流計算模型主要有代數(shù)型零方程模型，包括CS

11、（Cebeci and Smith 1968）、PS（Patankar and Spalding 1968）和MH（Mellor and Herring 1968）等模型；等效粘度模型（EVM），如常見一個方程和兩個方程（k-）模型；以及應(yīng)力代數(shù)模型（ASM），應(yīng)力微分模型（DSM），在應(yīng)力模型方面周培源教授有重大的貢獻(xiàn)。 構(gòu)造湍流模式總須引進(jìn)封閉假設(shè)和待定常數(shù)。促使人們考慮直接從Navier-Stokes方程出發(fā)模擬湍流，這就是湍流的直接數(shù)值模擬(DNS),也稱完全湍流數(shù)值模擬（FTS）和大渦模擬（LES）。湍流的數(shù)值模擬方法 湍流研究方法 統(tǒng)計平均法 大渦模擬(LES) 直接法(DNS)

12、雷諾平均法(RANS) 統(tǒng)計法 格子 Boltzmann 法(LBM) 譜方法 偽譜法 渦動力學(xué)法 雷諾平均湍流模式理論 渦粘性模型 代數(shù)渦粘模型 單方程模型 雙方程模型 Reynolds 應(yīng)力模型 二階矩應(yīng)力方程模型 代數(shù)應(yīng)力方程模型(ASM) Reynolds 平均理論 重整化群 k標(biāo)準(zhǔn) k 研究原因：初始條件的微小擾動，經(jīng)過一段時間的發(fā)展可以完全改變湍流運動的細(xì)節(jié)；但是高雷諾數(shù)的完全發(fā)展湍流的統(tǒng)計平均行為是穩(wěn)定的。完全發(fā)展湍流的這一特征決定了統(tǒng)計理論在湍流研究中的地位。小尺度湍流分量的描述小尺度湍流分量的描述 在湍流的統(tǒng)計理論中1922年L.Richardson提出了能量串級過程，G.

13、Taylor1935年引入了均勻和各向同性湍流的概念。1941年Kolmogorov提出了小尺度分量的新的相似性假設(shè)和局部各向同性湍流的理論。根據(jù)這些假設(shè)推出了一些定律，直至60年代才能得到實驗的驗證。 周培源1976年研究了網(wǎng)后均勻各向同性湍流的衰減規(guī)律。同時在統(tǒng)計理論方面對湍流的封閉性做了很多工作，主要有準(zhǔn)正則近似理論、Kraichnan的直接相互近似（DIA）和應(yīng)用非平衡統(tǒng)計力學(xué)方法解決湍流的封閉性問題。 湍流的擬序結(jié)構(gòu)。湍流的擬序結(jié)構(gòu)。70年代以來湍流的擬序結(jié)構(gòu)成為了研究湍流結(jié)構(gòu)的新的起點。湍流的特征是間歇有序性，即擬序結(jié)構(gòu)的觸發(fā)是不規(guī)律的，但一旦觸發(fā)，它以近乎確定的規(guī)律發(fā)展。這方面的

14、研究包括發(fā)現(xiàn)和證實擬序結(jié)構(gòu)，如邊界層中的猝發(fā)現(xiàn)象、混合層中的大渦；利用現(xiàn)代信息處理技術(shù)（條件采樣，模式識別）檢測和分析擬序結(jié)構(gòu)；定量描述和了解擬序結(jié)構(gòu)的生成和發(fā)展，應(yīng)用它控制湍流，和構(gòu)造湍流模式。 現(xiàn)代混沌理論?，F(xiàn)代混沌理論。70年代以來湍流發(fā)表的另一個重要的方面是現(xiàn)代混沌理論（Chaos），從1963年Lorenz開始，將NavierStokes方程簡化成三個一階常微分方程組成的非線性動力系統(tǒng)。隨著參數(shù)的變化它會經(jīng)歷穩(wěn)定解、周期解、具有間歇性的解和湍亂無章的混沌解，這正是湍流發(fā)展過程和完全發(fā)展了的湍流所具有的特征。 粘性流動存在兩種流態(tài)粘性流動存在兩種流態(tài)層流和湍流層流和湍流 第二節(jié) 兩種基

15、本流態(tài)層流、 湍流和雷諾數(shù)1 1、層流和湍流、層流和湍流 ReynoldsReynolds在在18831883年的著名試驗研究了這一現(xiàn)象。年的著名試驗研究了這一現(xiàn)象。 試驗裝置如圖11所示。當(dāng)大容器T中的流體處于某一溫度之下，閥門K開度很小時，玻璃管G內(nèi)流體以極低速度流動；此時，如讓另一種與容器T內(nèi)流體比較相近似的有顏色的流體自小容器B通過細(xì)管和尖針流入玻璃管G，可以看出此股有顏色流體的流束與周圍的流體不發(fā)生混雜。此時流體做層狀流動，這種流體分層的流動狀態(tài)叫做層流。流體層間只有分子級的動量交換，而看不出流體間的混摻。圖11 雷諾試驗 如果試管內(nèi)流速逐漸提高，可以看出顏色流束逐漸波動，但還與周圍

16、流體沒發(fā)生混雜。隨著流速的進(jìn)一步提高，顏色流束開始斷開，發(fā)生了局部混雜。當(dāng)?shù)侥骋涣魉賄cr（上臨界流速）時，顏色流體在尖針出口即與周圍流體發(fā)生混雜，整個玻璃管呈淡的顏色流?？梢哉J(rèn)為此時層流流態(tài)已完全破壞，流體微團(tuán)間發(fā)生強(qiáng)烈的動量交換，液流呈不規(guī)律的湍亂狀態(tài)，稱為湍流。如果實驗開始是湍流，逐漸減小管內(nèi)流速，到某一臨界值Vcr（下臨界速度,Vcr Recr 時為湍流， 當(dāng) Re Re Recr時，可以是湍流也可以是層流，工程上多按湍流處理。圓管中的臨界雷諾數(shù)為：Recr 2300和 Recr 800012000。crcrV dRecrcrV dReVdRe 對于確定的流體，溫度固定（即粘度確定）時

17、，其流態(tài)決定于臨界速度。因此引用下列量綱為1的組合數(shù)作為判別流態(tài)的準(zhǔn)則，對于管流： 均勻流動流過一個二維圓柱（半徑為R）的理想流動的解是一個均勻流U與一個偶極子疊加而得到的勢流解。2222cos (1)sin (1)rRuUrRuUr 22(14sin)2ppU22()14sin12pppCU 2 2、粘性的影響、粘性的影響 圖12 圓柱繞流的勢流解 勢流（theoretical） 亞臨界（subcritical） Re1.86105超臨界（supercritical） Re6.7105Re =Ua/ 圖13 圓柱繞流壓力系數(shù)Cp 圖14 粘性流體繞圓柱時的流態(tài) 如圖14所示：（a）在極小雷諾

18、數(shù)范圍（Re1）流動不分離，前后左右對稱；（b）在小雷諾數(shù)（35Re3040）流動是定常的層流，在背風(fēng)面出現(xiàn)有限“對渦”回流區(qū)；（c）3040Re8090時，對渦仍然存在，流動是層流，但尾流開始作不定常流動，但由于粘性尾流衰減很快而消失（d）卡門渦階段（8090Re150300），流動基本上是層流，圓柱兩側(cè)渦旋先后周期性從圓柱表面脫落，在尾流中形成交替排列的兩列渦旋。這一現(xiàn)象首先由Karman（1921）理論上加以闡述，稱為卡門渦街；（e）“亞臨界”階段（150300Re1.3105），圓柱迎風(fēng)面的層流邊界層先轉(zhuǎn)捩為湍流邊界層，然后與圓柱表面分層，分離點位置比亞臨界階段明顯偏后，而尾跡變得比較

19、狹窄。 圖15圓柱繞流的阻力 圓柱繞流的阻力由兩部分組成，摩擦阻力和壓差阻力，由圖13所示，在粘性繞流的情況下迎風(fēng)面的壓力比背風(fēng)面的壓力大的多而形成壓差阻力。圖15為阻力系數(shù)(D為阻力)隨雷諾數(shù)Re變化的曲線。 在圖在圖1 14 4中：中： （a）的阻力主要是摩擦阻力，CD的數(shù)值很大，D與 成正比， 稱為蠕流。（b）（c）的阻力中，摩擦阻力與壓差阻力同樣重要。（d）（e）（f）的阻力主要是壓差阻力，占總阻力的90，CD與Re無關(guān)，阻力D與 的平方成正比。隨著雷諾數(shù)增加，由亞臨界階段向超臨界階段的過渡是突然發(fā)生的，此時阻力會有一個突然的降落稱為“阻力危機(jī)”。當(dāng)來流湍流度較高或表面粗糙時，阻力危機(jī)

20、會提前發(fā)生。UU從這個經(jīng)典的例子可以看出：（1） 實際的粘性流動與無粘流動有很顯著的不同：如流速分布，壁面應(yīng)力等。其中重要的不同就是粘性流動中有切應(yīng)力存在及物面的粘附條件（無滑移條件）。（2） 隨著雷諾數(shù)不同，可以有不同的流態(tài)，流譜，壓力、流速分布，形成不同的邊界層和尾流。第三節(jié) 流體的傳輸性質(zhì) 動量傳遞現(xiàn)象 粘性流體在流動過程中會產(chǎn)生動量傳遞，這是粘性的本質(zhì)。流體的分子運動可以解釋流體的粘性。流體的分子除了有與流動方向一致的平均前進(jìn)速度，還伴隨著微觀不規(guī)律的熱運動。 在相鄰流體層之間會發(fā)生某些物理量的傳輸（或稱輸運）：動量輸運、熱量輸運、質(zhì)量輸運。 流體與壁面之間的動量傳輸。在固體壁面附近，

21、流體分子一撞到固體壁面就失去了動量的平均前進(jìn)分量，它在固壁處的平均速度為零，這就是無滑移條件。從固體表面反射的流體分子通常和距離固壁只有平均自由程的其它分子發(fā)生碰撞而得到動量的前進(jìn)分量，再次碰撞固面，又失去前進(jìn)的動量分量。另一方面，由于和固面反射的分子相碰撞而使平均速度減慢了的流體分子，再與遠(yuǎn)離固體表面處的流體分子發(fā)生碰撞，也會進(jìn)行動量交換。這樣，隨著離開固體表面距離的增加，流體分子的平均速度會逐漸增加。事實上，只要流體分子的平均速度有差異，即有速度梯度，就會有上述流體分子間的動量傳遞現(xiàn)象。 流體之間的動量傳輸。進(jìn)一步可以認(rèn)為速度不同的相鄰質(zhì)點間也會發(fā)生動量交換。假設(shè)質(zhì)量為m，速度分別為u1和

22、u2（u1 u2）的兩個流體質(zhì)點在相鄰的兩層中運動，它們之間產(chǎn)生動量交換后，速度分別變成為u1+u和u2u。那么流體質(zhì)點的動量變化率為mu,相應(yīng)于這個動量變化率就是質(zhì)點間存在切應(yīng)力。所以在粘性流體中，只要有速度梯度，在流體中任何切面兩側(cè)就會存在大小相等、方向相反的切應(yīng)力。 此項動能將變成分子熱運動的能量。在流體的動能轉(zhuǎn)換為熱能不可逆過程中將產(chǎn)生壓力損失。 在層流中，流體的動量交換是通過分子熱運動而進(jìn)行的。當(dāng)流速很大時，流動變得不穩(wěn)定，宏觀的質(zhì)點也將開始不規(guī)律地運動，由于流體質(zhì)點之間混合，將進(jìn)行動量交換，這種動量交換比分子運動而引起的動量交換大得多，為湍流。0)(21)(211222212221

23、uuuumuuuumuum 流體質(zhì)點在做動量交換時，動量是守恒的，但只要是非完全碰撞，就會有u1+uu2，全部動能會減少，這個減少量為： 熱量（能量）傳遞粘性系數(shù) 當(dāng)流場有速度梯度時，將會產(chǎn)生動量的傳遞。速度梯度（變形率）與切應(yīng)力間的關(guān)系，遵循牛頓內(nèi)摩擦定律： (15)式中動力粘性系數(shù)的單位為泊（p）或厘泊（cp） dydu21110101MSNSPap2 ms 運動粘性系數(shù)為： 動力粘性系數(shù)隨溫度與壓力而變化，但壓力的影響甚微。液體的粘性系數(shù)隨溫度升高而減少，而氣體的隨溫度的升高而增加。因為液體分子的自由程小，粘性系數(shù)決定于分子碰撞的時間，而溫度升高，液體分子的碰撞時間減少。氣體的分子自由程

24、大，粘性決定于分子碰撞的次數(shù)，溫度升高，熱運動加強(qiáng)，使氣體分子碰撞的次數(shù)加多。（16） 式中為液體密度，運動粘性系數(shù)的單位為涻（st）或厘涻（cst）： stscm2scmst2112000022096. 003368. 011tt 水在一個大氣壓下，不同溫度的粘性系數(shù)見表11，干空氣在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，不同溫度的粘性系數(shù)見表12。對于水，在一個大氣壓下，不同溫度的粘性系數(shù) 用亥姆霍茲關(guān)系式表示：（17）式中 為一個大氣壓下，0時的動力粘度系數(shù)，t為攝氏溫度。o表11：水在一個大氣壓下不同溫度時的粘性系數(shù)表12：干空氣在一個大氣壓下不同溫度時的粘性系數(shù) 表13：幾種氣體在一個大氣壓下 和薩瑟蘭

25、常數(shù)o/Ts Ko 對于各種氣體的粘性系數(shù)可以近似采用冪次公式表示： (18) 式中T0=273.16 K, 為一個大氣壓下，0時氣體的動力粘度系數(shù)，n為溫度指數(shù)，如空氣n0.76，氫n0.69，二氧化碳n0.95，在估算時，高溫可取n0.5，低溫時n1.0。準(zhǔn)確些還可用蘇士南(Sutherland)公式計算： (19) 式中T0=273.16 K，TS為蘇士南系數(shù)。表13列出了幾種氣體在一個大氣壓下的粘性系數(shù)及蘇士南常數(shù)TS。00nTTSSTTTTTT0230002、導(dǎo)熱系數(shù)K 流體的傳輸性質(zhì)除了粘性以外還有傳熱和擴(kuò)散，傳熱是流體運動中熱量傳遞的度量，而擴(kuò)散是標(biāo)志流體的傳遞。 當(dāng)流場具有溫度

26、梯度時，將會產(chǎn)生熱量的傳遞，溫度梯度與熱流量的關(guān)系遵循傅利葉(Fourier)定律： (110) 式中q為單位面積的熱流矢量，T為溫度，K為導(dǎo)熱系數(shù)，單位通常用W/(mK)。對于各向同性的流體，K無方向性，僅隨溫度和壓力而變化。導(dǎo)熱系數(shù)也有類似于式（18）和式（19）的公式： 32000SSTTKTKTTT00nKTKTKT q(1-11)(1-12) 流體中的擴(kuò)散有兩種形式：一種是發(fā)生在同一種流體中，在某一指定的體積內(nèi)，總會不斷跑出一些分子，同時進(jìn)來一些分子，該體積內(nèi)質(zhì)量一直是變化的，稱為自擴(kuò)散。另一種是發(fā)生在含有兩種或兩種以上流體的混和物之間的質(zhì)量交換，最終可以成為宏觀上均勻的混和物，這是

27、一種二元（或多元）的擴(kuò)散。 在后種擴(kuò)散中容積濃度的梯度（i表示第i組流體）與質(zhì)量傳輸量Mi的關(guān)系遵循費克（Fick）定律： (113) iiDA M 3 3、質(zhì)量擴(kuò)散系數(shù)、質(zhì)量擴(kuò)散系數(shù) 式中 為在容積濃度減少的方向，在單位時間內(nèi)第i組的質(zhì)量在面積A上的質(zhì)量傳輸量；D為質(zhì)量擴(kuò)散系數(shù)，SI單位為m2/s。 單位面積的質(zhì)量傳輸量，可以寫成容積濃度 (單位體積內(nèi)某i組流體的質(zhì)量)和速度的乘積： (114) 速度 稱為擴(kuò)散速度。另外 (混和介質(zhì)的密度)為常數(shù)時，還可以用質(zhì)量濃度 得出費克公式的另一種形式：()iiiiDA MViMiViiC (115) 嚴(yán)格地講，存在壓力梯度或溫度梯度，也可以有質(zhì)量的傳

28、輸，即： (116) 式中Dp和DT是由于壓力梯度及溫度梯度所引起的質(zhì)量傳輸?shù)臄U(kuò)散系數(shù)。通常后兩者較第一項為小。(ln)iiDC V(ln)ln( )(ln)iipTDCDpDT V第四節(jié)第四節(jié) 應(yīng)變率張量和應(yīng)力張量應(yīng)變率張量和應(yīng)力張量 由柯西亥姆霍茲（流體微團(tuán)的運動分解）定理可知：流體微團(tuán)的運動可以分解為三部分：平移、旋轉(zhuǎn)與變形（線變形和剪切變形）。 1 1、應(yīng)變率張量、應(yīng)變率張量 圖16 流體微團(tuán)運動的分解 柯西(Cauchy)亥姆霍茲（Helmholtz）分解 圖16中M0為流體微團(tuán)中的一點，M0的速度為V0。M點為此微團(tuán)M0的鄰域上任一點，M的速度為V，那么可以表示為： 式中 為應(yīng)變率

29、張量， 為微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度。第二項為流體微元象剛體一樣旋轉(zhuǎn)所造成相鄰點的速度增量，第三項是由于流體微元的變形而造成相鄰點的速度增量。0dd VVrr117 如果流場是連續(xù)的，速度的各階導(dǎo)數(shù)存在，那么M點的速度可用Taylor級數(shù)展開，在直角坐標(biāo)系x1，x2，x3中表示為（忽略了二次以上的高階項）： 或： (118)112233dddduuuVeee0123123dddxxxxxxVVVVV0123123ddddxxxxxxVVVVVVdV V的三個分量為：du1，du2，du3，式中e1、e2和e2為x1，x2，x3方向的單位矢量。11111231123ddddduuuuxxxuxxxr， 22

30、221232123ddddduuuuxxxuxxxr33331233123ddddduuuuxxxuxxxr111123112222212333333123dddddduuuxxxuxuuuuxxxxuxuuuxxx 用矩陣表示： 簡寫成： (119) 式中 叫變形率矩陣?？梢园炎冃温示仃嚪纸獬梢粋€對稱矩陣和一個反對稱矩陣： ddijuxVrijux311211213132122122323331213233112211221122ijuuuuuxxxxxuuuuuuxxxxxxuuuuuxxxxx 312121313122213233123132110221102211022uuuuxxxx

31、uuuuxxxxuuuuxxxx 式中右邊第一項稱為應(yīng)變率張量(二階張量) ，第二項為剛體自轉(zhuǎn)率張量 ，而 。上式可以簡寫為：kijke12Viijijkkjuex （120）ij式中eijk是levycivita排列符號。 為角速度分量。k323121000ijkke ddd Vrr01 , ,1, ,ijkei j ki j k任兩個下表相同 如果按123、231和312排列如果不按順序排列 應(yīng)變率張量 應(yīng)變率張量 為二階張量，共有9個分量，應(yīng)變率可分為兩類：一種是伸長率，另一種是切變率。伸長率為單位時間內(nèi)單位長度的微元的伸長或壓縮，當(dāng)伸長時為正，壓縮時為負(fù)；在直角坐標(biāo)系中，,和 為x1,

32、x2和x3方向的伸長率：312112233123 uuuxxx112233 在x1方向的伸長率由圖17（a）表示。圖中 為dt時間間隔內(nèi)，dx1長度在x1方向的伸長，那么伸長率可用（121）式表示。（1-21）111d dux tx112233e（1-22） 圖 1.7 流體運動的種類 圖17（b）中流體微元受到的切應(yīng)力作用可產(chǎn)生剪切變形，那么微元在單位時間的角改變量（角變形）為： 定義流體微元的剪切變率為角的改變量，用 ， 和 表示，那么： (123)122112122uudtxx122331311331233223122112212121xuxuxuxuxuxu 那么應(yīng)變率張量可以用矩陣表

33、示為：111213222123333132000 由上式可見張量是一個對稱張量，有9個分量，其分量的大小不僅與時間和微團(tuán)的位置有關(guān)，還與坐標(biāo)系的選擇有關(guān)的。但是應(yīng)變率張量表示的是流場中一位置上的微團(tuán)的應(yīng)變率狀態(tài)，此狀態(tài)與坐標(biāo)的選擇無關(guān)的，故必定存在三個應(yīng)變率張量的不變量與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)。應(yīng)變率張量的第1、2和3不變量分別用I1、I2和I3表示： 321,xxx3322111I2312232121133332222112IijI3（1-24）（1-25）（1-26）I1是微元的體積膨脹率。I2是與微元的耗散相聯(lián)系的。根據(jù)對稱張量的性質(zhì)，存在一個使非對角線上的分量為零的坐標(biāo)系，這個坐標(biāo)系叫主軸坐

34、標(biāo)系。三個主軸坐標(biāo)系的主軸用 表示，那么在主軸坐標(biāo)系中，切變率皆為零，應(yīng)變率張量可以簡化為：123000000（1-27） 2 應(yīng)力張量 圖18 P的應(yīng)力狀態(tài) 靜止流體和理想流體中，某一點的應(yīng)力（表面力）只用一個標(biāo)量壓力表示，流體內(nèi)微元的表面力永遠(yuǎn)沿作用面的內(nèi)法線方向，其大小與作用面無關(guān)。 粘性流體中，應(yīng)力除了上述正應(yīng)力以外還有粘性切應(yīng)力，所以一個表面上的總應(yīng)力一般不垂直于此表面，而且在不同方向上的應(yīng)力也不相等。 考慮粘性流體中一點P的應(yīng)力狀態(tài)，在P點附近取一個微元（立方體），此微元共有6個表面，每個表面用外法線單位矢量表示，如圖18所示。每一個表面的應(yīng)力可以分解成三個應(yīng)力分量。如ABCD平面

35、可以用其外法線單位矢量表示，此面上的總應(yīng)力為 , 沿x1,x2, x3方向的三個應(yīng)力分量分別為3e3 (前面腳標(biāo)表示作用面的外法線方向，后一個腳標(biāo)表示應(yīng)力分量的方向)，那么 為：333231,331 132233 3eee3（1-28） P點附近一共存在六個表面力，可以用動量矩定律證明，當(dāng)此微元趨近無窮小時，上述六個表面力，兩兩大小相等，方向相反。那么此微元趨近于無窮小時，可用 和 表示此微元的應(yīng)力狀態(tài)，也就是說用9個應(yīng)力分量表示。這9個應(yīng)力分量不僅與空間位置和時間有關(guān)，還與作用面的方向（即坐標(biāo)軸的選擇）有關(guān)，組成一個二階張量1,2 3 所以二階應(yīng)力張量 是矢量的并積。應(yīng)力張量是對稱張量。11

36、121311 1 112 1 213 1 321222321 2 12222232331323331 3 1323233 3 3e ee ee ee ee ee ee ee ee e11 1 112 1 213 1 321 2 13333e ee ee ee ee e 過N點任何平面上的應(yīng)力n 圖19 作用在微元四面體上的面積力 設(shè)此平面的外法線方向的單位矢量為 ， 的三個分量為 ?？梢员硎緸椋?上式用約定求和表示為： 即同一項中不同變量的相同下標(biāo)j表示j1，2，3 三項相加。其中 。 如果在P點附近取一個四面體，根據(jù)靜力學(xué)平衡條件馬上可以得出上述表達(dá)式： jjnjjnjjnnnnnnnnnn

37、nnn333322311332332222112213312211111nn123,nnn1 1223 3nnnneeejjnne11cos( , )n e n（1-29） 即過N點任何平面上的應(yīng)力等于此平面外法線的單位矢量與此點應(yīng)力張量的點積。 同樣也可以得出一個張量與矢量的點積，例如： jijie ejjjijijjjjiijjiinnnn ee eeeee123 nnnnn jijiiijiijnn ne e ee（1-30）（1-31）（1-32） 當(dāng)張量為對稱二階張量時，上述兩種點積的結(jié)果相同。非對稱二階張量則不然。根據(jù)上述點積概念同樣可以定義張量的散度 。其中漢密爾頓符號可以表示為

38、： 123123jjxxxx eeeejijijjijijjiijjjxxxee eeeee （1-33）（1-34） 流體微元中單位質(zhì)量的流體所受的表面力 圖110 微元體上的應(yīng)力張量 圖110所示為流體微元在x1方向上所受的表面應(yīng)力，那么此微元在x1方向所受全部表面力之和為dF1： 32122221231fxxxxx3111211123123123123dd d dd d dd d dFx xxx xxx xxxxx31111211123123d1d d dFfx xxxxx 由此可見流體微元中單位質(zhì)量流體所受的表面力的合力為 即為二階張量的散度。11223311fff efee1（1-35）第五節(jié) 廣義牛頓定律 廣義牛頓定律（廣義牛頓粘性公式）表示的是粘性流體應(yīng)力張量和應(yīng)變率張量之間的關(guān)系。此定律是牛頓內(nèi)摩擦定律的推廣。 牛頓提出了關(guān)于粘性流體做直流層狀運動時，兩流體層間的切應(yīng)力與層間速度梯度成正比，即：1212ddux21212（1-36a）（1-36b）圖111 流體的直流層狀運動 斯托克斯(Stokes)把牛頓內(nèi)摩擦定律推廣到粘性流體的流動中，他根