第2章 流變學(xué)的基本概念

1、第第2 2章章 流變學(xué)的基本概念流變學(xué)的基本概念主要內(nèi)容主要內(nèi)容2.1 流體形變的基本類型2.2 標(biāo)量、矢量和笛卡爾張量的定義2.3 應(yīng)力張量和應(yīng)變張量2.4 本構(gòu)方程和材料函數(shù)第第2 2章章 流變學(xué)的基本概念流變學(xué)的基本概念流變現(xiàn)象力學(xué)行為理想化模型應(yīng)力-應(yīng)變(速率)的關(guān)系流體均勻各項同性應(yīng)力-應(yīng)變亦如此應(yīng)力應(yīng)變應(yīng)變速率2.1 2.1 流體形變的基本類型流體形變的基本類型三種最基本的形變類型：（1）拉伸和單向膨脹（2）各向同性的壓縮和膨脹（3）簡單剪切和簡單剪切流2.1.1 2.1.1 拉伸和單向膨脹拉伸和單向膨脹（1）拉伸和單向膨脹在拉伸實驗中，流體元在拉伸方向上的長度增加，而在兩位兩個方

2、向上長度則縮短。若L=L，M=M，N=N且=(L-L)/L,=(M-M)/M=(N-N)/N則有=1+ ，=1-（、1）稱為應(yīng)變，或拉伸應(yīng)力方向上的應(yīng)變。顯然，拉伸時1，1，則有和均0；壓縮時1，1，則有和均0；流體元的體積變化率：V/V=(1+)(1- )2 -1-22.1.1 2.1.1 拉伸和單向膨脹拉伸和單向膨脹（2）各向同性的壓縮和膨脹若壓縮比則壓縮應(yīng)變= -1 (1) 壓縮時，0。流體元的體積變化率：V/V= 3-1=(1+)2 -132.1.2 2.1.2 各向同性的壓縮和膨脹各向同性的壓縮和膨脹2.1.3 2.1.3 簡單剪切與簡單剪切流簡單剪切與簡單剪切流簡單剪切中，頂面相對

3、于底面發(fā)生位移w，高度l 保持不變，則變形可表示如下：=/l=tan=1若1,則表示剪切應(yīng)變（shear strain）剪切應(yīng)變速率(剪切速率)：（shear rate）一個假設(shè)：在模型推導(dǎo)和計算中，一般將流場中的流體都當(dāng)作連續(xù)介質(zhì)來處理。定義：由具有確定質(zhì)量的、連續(xù)地充滿空間的眾多微小質(zhì)點(微團)所組成的，微團之間無孔洞，在流體的流動形變過程中相鄰微團永遠連接，既不能超越也不能落后。ddt2.2 2.2 標(biāo)量、矢量和笛卡爾張量的定義標(biāo)量、矢量和笛卡爾張量的定義2.2.1 標(biāo)量、矢量、張量的物理定義（a）標(biāo)量在選定了測量單位后，僅由數(shù)值大小所決定的物理量，與事件發(fā)生、發(fā)展的方向無關(guān)。如溫度T、

4、能量E、體積V、時間t等。（b）矢量在選定了測量單位后，由數(shù)值大小和空間的方向決定的物理量。如位置p、速度u、加速度a、動量mv、力F等。2.2.1 標(biāo)量、矢量、張量的物理定義（c）張量在笛卡爾坐標(biāo)系中，在一點處不同方向上、具有不同量值的物理量，稱為張量或笛卡爾張量。張量是矢量的推廣，是比矢量更為復(fù)雜的物理量，如應(yīng)力張量、應(yīng)變張量、應(yīng)變速率張量、取向張量等什么是笛卡爾坐標(biāo)系？笛卡爾坐標(biāo)系 是直角坐標(biāo)系和斜角坐標(biāo)系的統(tǒng)稱。.斜角坐標(biāo)系通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線；它們的正方向要符合右手規(guī)則，即以右手握住z軸，當(dāng)右手的四指從正向x軸以/2角度轉(zhuǎn)向正向y軸時，大拇指的指向就是z軸

5、的正向，這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個空間直角坐標(biāo)系，點O叫做坐標(biāo)原點。這樣就構(gòu)成了一個笛卡爾坐標(biāo)。2.2 2.2 標(biāo)量、矢量和張量的定義標(biāo)量、矢量和張量的定義3.數(shù)學(xué)定義 不同坐標(biāo)變換，不同的集合滿足不同轉(zhuǎn)換關(guān)系：標(biāo)量：123123(,)(,)x xxx xx矢量： 123123123123(,)(,)(,)(,)ikkiikikF x xxF x xxF x xxF x xx張量： 123123123123(,)(,)(,)(,)mijijminjmnimjntx xxtx xxtx xxtx xx 2.2.3.1 幾個特殊張量1）單位張量（克羅內(nèi)克算子）100010001ijI2.2.3

6、2.2.3 張量的運算張量的運算2）對稱張量 張量的分量滿足 ，則稱這樣的張量為對稱張量。ijji1112131112132122232223313233332.2.3.1 2.2.3.1 幾個特殊張量幾個特殊張量3）并矢張量 將矢量A和矢量B按以下形式排成數(shù)組：111213212223313233ABABABA BA BA BA BA BA B 并矢張量或兩矢量的矢并積是二階張量的特殊形式，數(shù)組內(nèi)的各元素是矢量的分量之積。注意：兩個矢量之間沒有任何乘號，一般情況下，ABBA2.2.3.1 2.2.3.1 幾個特殊張量幾個特殊張量2.2.3.2 2.2.3.2 張量的代數(shù)運算張量的代數(shù)運算1）

7、張量相等 在同一坐標(biāo)系中，如兩張量的各個分量全部對應(yīng)相等，則兩張量相等。2）張量的加減 按矩陣方法，兩張量對應(yīng)分量相加減。PQTPQ標(biāo)量、矢量和笛卡爾張量的定義3）張量與標(biāo)量的乘（除） 即把張量的各個分量分別乘以標(biāo)量111213111213212223212223313233313233PPPPPPTPPPPPPPPPPPPP標(biāo)量、矢量和笛卡爾張量的定義4）向量和張量的乘積 向量與張量點乘，其積均為一個矢量。5）張量與張量乘積（單點積） 張量與張量單點積得一張量：TP Q2.2.4 2.2.4 張量的重要性張量的重要性在一個坐標(biāo)系中，笛卡爾張量所有分量都等于零，在所有笛卡爾坐標(biāo)系中也為零。兩個

8、同階笛卡爾兒張量的和或差仍是同階張量，于是同階張量的任何線性組合仍是同階張量。如果某個張量方程在一個坐標(biāo)系中能夠立，那么對于允許變換所能得到的所有坐標(biāo)系，也一定成立。2.3 2.3 應(yīng)力張量和應(yīng)變張量應(yīng)力張量和應(yīng)變張量1、物體受力的三種類型：（1）外力也稱為長程力，指作用于物體上的非接觸力，如重力、電場力、磁場力等；（2）表面力指施加在物體外表面的接觸力。是物體內(nèi)的一部分通過假想的分離面作用在相鄰部分上的力，即外力向物體內(nèi)傳遞，常作為邊界條件處理；（3）內(nèi)部應(yīng)力想象將物體分割成許多微觀尺度、足夠小的單元，單元表面存在著相互作用力，稱為應(yīng)力。與流體微團相鄰的流體質(zhì)點直接施加的表面接觸力，也稱為近

9、程力。單位：Pa、MPa、GPaT= FSdFdS2.3.1 2.3.1 應(yīng)力張量應(yīng)力張量在笛卡爾坐標(biāo)系中，假設(shè)某點的作用力為F，則F總可以分解為X、Y、Z三個方向的分力Fx、Fy、Fz，若將之除以相對應(yīng)微體積元面積，則可得到相應(yīng)的應(yīng)力Tx、Ty、Tz。再將每一個應(yīng)力沿X、Y、Z三個方向進行分解，則得到以下分量形式：Tx=（Txx, Txy, Txz） Ty =（Tyx, Tyy, Tyz）Tz=（Tzx, Tzy, Tzz）應(yīng)力張量Tij：應(yīng)力張量分量下標(biāo)i表示應(yīng)力的作用面，j 表示應(yīng)力的方向如Txy表示x面上的沿y 方向的應(yīng)力xxxyxzyxyyyzzxzyzzTTTTTTTTTT2.3.

10、1 2.3.1 應(yīng)力張量應(yīng)力張量 通常將應(yīng)力張量分解為兩部分： 流體形變有關(guān)的動力學(xué)應(yīng)力，偏應(yīng)力張量； 張量的各向同性部分；-TP-ijijijTP2.3.1 2.3.1 應(yīng)力張量應(yīng)力張量稱為單位張量，可定義為以下形式：100= 010001ij當(dāng)時，應(yīng)力分量就是法向應(yīng)力，其他分量稱為剪切應(yīng)力2.3.1 2.3.1 應(yīng)力張量應(yīng)力張量一些基本流變實驗中的應(yīng)力張量：a、（單向）拉伸實驗作用力施加于試樣的斷面，且與斷面所在平面垂直，因此，其應(yīng)力為Txx，相應(yīng)的應(yīng)力張量為： Ttensile=00000000 xxT2.3.1 2.3.1 應(yīng)力張量應(yīng)力張量b、各向同性的壓縮定義：如果應(yīng)力矢量T無論在什

11、么方向上總是與分隔面(作用面)垂直，且其大小與分隔面的方向無關(guān)，則稱為各向同性。流體靜止時（完全流體無論何時）內(nèi)部的接觸力就屬于這種性質(zhì)，因此各向同性的應(yīng)力也稱為流體靜壓力。2.3.1 2.3.1 應(yīng)力張量應(yīng)力張量nTnP 因此，在壓縮實驗中，其應(yīng)力為Txx=Tyy=Tzz=P，其它剪切應(yīng)力分量均為零。則相應(yīng)的應(yīng)力張量為： Tcompresion=000000 xxyyzzTTT2.3.1 2.3.1 應(yīng)力張量應(yīng)力張量c、簡單剪切在剪切應(yīng)力實驗中，應(yīng)力與作用面平行，為了保持平衡，在施加一個剪切應(yīng)力的同時，必須施加相應(yīng)的另一個剪切應(yīng)力?？偭貫椋?2.3.1 2.3.1 應(yīng)力張量應(yīng)力張量=0yx

12、xydLT dxdydzT dxdydz=yxxyTT因此，Txy=Tyx=f / S，則相應(yīng)的應(yīng)力張量為或Tshear= = 或0000000 xyyxTT0000000 xzzxTT0000000yzzyTT2.3.1 2.3.1 應(yīng)力張量應(yīng)力張量變形前兩點的相對位置可用下列矢量表示：12(,)PPdx dy dz變形后的兩點相對位置用下列矢量表示：12(,)xyzP Pdxdu dydudzdu2.3.2 2.3.2 應(yīng)變張量應(yīng)變張量變形前的距離為：(,)dsdx dy dz變形后產(chǎn)生的相對位移：(,)xyzdudu dudu2.3.2 2.3.2 應(yīng)變張量應(yīng)變張量 變形前后兩點的相對位

13、置發(fā)生變化，其變化量分別為相對位移在坐標(biāo)軸上的分量，其矩陣形式為:xxxyyyzzzuuuxyzuuududsxyzuuuxyz 無窮小位移梯度張量,yxzuuuxyz和分別表示各坐標(biāo)軸方向上的單位伸長，即變形對各坐標(biāo)的變化率。2.3.2 2.3.2 應(yīng)變張量應(yīng)變張量 根據(jù)矩陣運算法則，無窮小位移梯度張量可分解為兩部分：11+2211+2211+22110-2211-2212yxxxzyyyxzyxzzzyxxzyyyxzuuuuuxyxzxuuuuududsxyyzyuuuuuxzyzzuuuuyxzxuuuuuxyyzy（） （）（）（）（） （）（） （）（）（）（=E+W1-2yxzz

14、zuuuuuxzyzz） （）應(yīng)變張量反對稱二階張量2.3.2 2.3.2 應(yīng)變張量應(yīng)變張量應(yīng)變張量可簡為：xxxyxzijyxyyyzzxzyzzeeeEeeeeeee可得到：,yxzxxyyzzuuueeexyz1+2yxxyyxuueeyx（）1+2xzxzzxuueezx（）1+2yzyzzyuueeyz（）2.3.2 2.3.2 應(yīng)變張量應(yīng)變張量第一不變量：1xxyyzzIeee第二不變量：2( , , )ijjiijIe ei jx y z第三不變量：3000000 xxxyxzxyxyyyzyzxzyzzzeeeeIeeeeeeee2.3.2 2.3.2 應(yīng)變張量應(yīng)變張量3332

15、312322211312113I3322111I3331131133322322221221112I.各向同性壓縮 設(shè)笛卡爾坐標(biāo)的原點在試樣的角上，各邊與坐標(biāo)軸一致。(1)xx(1)yy(1)zz2.3.2 2.3.2 應(yīng)變張量應(yīng)變張量.拉伸實驗 笛卡爾坐標(biāo)的原點在物體的中心，各邊與坐標(biāo)軸平行。(1)xx(1)yy(1)zz2.3.2 2.3.2 應(yīng)變張量應(yīng)變張量.簡單剪切xxyyyzz2.3.2 2.3.2 應(yīng)變張量應(yīng)變張量2.3.3 2.3.3 應(yīng)變速率張量應(yīng)變速率張量在流動過程中，與流體應(yīng)力狀態(tài)相關(guān)的更重要物理量，往往不是形變的大小，而是形變進行的速率，它與流動場中的速度梯度密切相關(guān)。設(shè)

16、在某一瞬時位形，流體內(nèi)的流動速度場為，則定義速度梯度張量如下：2.3.3 2.3.3 應(yīng)變速率張量應(yīng)變速率張量描述流動會涉及應(yīng)變速率張量，則為11()()2211()()2211()()22yxxxzyyyxzyxzzzxyxzxvxyyzyxzzyzzvzvyvzvxvyvzvyvyvxvxvzvxvyvxvzyzxzzyyxyzxyxxzzzyzxyzyyyxxzxyxx2220)()(0)(0yVzVxVzVyVzVxVyVxVzVxVyVzyzxzyyxzxyx2.3.3 2.3.3 應(yīng)變速率張量應(yīng)變速率張量是應(yīng)變速率張量，表征了材料形變的速率。是反對稱張量，稱旋轉(zhuǎn)速率張量，與材料的形

17、變無關(guān)。例例1 1 簡單剪切流場中的形變率張量簡單剪切流場中的形變率張量2.3.3 2.3.3 應(yīng)變速率張量應(yīng)變速率張量2.3.3 2.3.3 應(yīng)變速率張量應(yīng)變速率張量任一瞬間流體的運動可以分解為以下四種運動：1、平動2、整體剛性轉(zhuǎn)動3、產(chǎn)生拉伸應(yīng)變速率的運動4、產(chǎn)生剪切應(yīng)變速率的運動應(yīng)變速率張量的性質(zhì)應(yīng)變速率張量的性質(zhì)應(yīng)變速率張量隨應(yīng)變速率張量隨zzyyxxI zzzyyzyyzzzxxzxxyyyxxyxxII zzzyzxyzyyyxxzxyxxIII2.3.3 2.3.3 應(yīng)變速率張量應(yīng)變速率張量如果 ，則流體無體積變化11I 如果 ，則流體體積膨脹11I 如果 ，則流體體積壓縮11I

18、 2.3.3 2.3.3 應(yīng)變速率張量應(yīng)變速率張量2.4 2.4 本構(gòu)方程和材料函數(shù)本構(gòu)方程和材料函數(shù)牛頓第二定律：F=m.a應(yīng)力張量 應(yīng)變張量(應(yīng)變速率張量)本構(gòu)方程（constitutive equation）定義：一類聯(lián)系應(yīng)力張量和應(yīng)變張量或應(yīng)變速率張量之間的關(guān)系方程。聯(lián)系的系數(shù)通常是材料常數(shù)，如黏度、模量等建立本構(gòu)方程是將計算方法引入流變學(xué)的關(guān)鍵，可以說是流變學(xué)最重要的任務(wù)? =G 2.4 2.4 本構(gòu)方程和材料函數(shù)本構(gòu)方程和材料函數(shù)材料函數(shù)可看作本構(gòu)方程的特殊情況，即某一給定的特定的應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系。通常表現(xiàn)為聯(lián)系應(yīng)力和應(yīng)變相應(yīng)分量的各種經(jīng)驗方程；通常決定于應(yīng)力、應(yīng)變測量范圍內(nèi)的多種因素根據(jù)不同的材料體系，往往會表現(xiàn)出各種不同的材料函數(shù)。