8連續(xù)系統(tǒng)的振動a

1、主講：殷玉楓 教授太原科技大學(xué)機械電子工程學(xué)院2007-9-9 實際的振動系統(tǒng)都是連續(xù)體，它們具有連續(xù)分布的質(zhì)量實際的振動系統(tǒng)都是連續(xù)體，它們具有連續(xù)分布的質(zhì)量與彈性，因而又稱與彈性，因而又稱連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)或或分布參數(shù)系統(tǒng)。分布參數(shù)系統(tǒng)。 由于確定連續(xù)體上無數(shù)質(zhì)點的位置需要無限多個坐標，由于確定連續(xù)體上無數(shù)質(zhì)點的位置需要無限多個坐標，因此因此連續(xù)體是具有無限多自由度的系統(tǒng)。連續(xù)體是具有無限多自由度的系統(tǒng)。 連續(xù)體的振動要用時間和空間坐標的函數(shù)來描述，其運連續(xù)體的振動要用時間和空間坐標的函數(shù)來描述，其運動方程不再像有限多自由度系統(tǒng)那樣是動方程不再像有限多自由度系統(tǒng)那樣是二階常微分方程組二階常微

2、分方程組，它是，它是偏微分方程。偏微分方程。 在物理本質(zhì)上，連續(xù)體系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)沒有什么差在物理本質(zhì)上，連續(xù)體系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)沒有什么差別，別，連續(xù)體振動的基本概念與分析方法與有限多自由度系連續(xù)體振動的基本概念與分析方法與有限多自由度系統(tǒng)是完全類似的。統(tǒng)是完全類似的。（1）本章討論的連續(xù)體都假定為線性彈性）本章討論的連續(xù)體都假定為線性彈性體，即在彈性范圍內(nèi)服從虎克定律。體，即在彈性范圍內(nèi)服從虎克定律。說說 明明（2）材料均勻連續(xù)；各向同性。）材料均勻連續(xù)；各向同性。（3）振動滿足微振動的前提）振動滿足微振動的前提 。連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 一維波動方程一維波動方程 動力學(xué)方程動

3、力學(xué)方程（1）桿的縱向振動）桿的縱向振動 討論等截面細直桿的縱向振動討論等截面細直桿的縱向振動 桿長桿長 l假定振動過程中各橫截面仍保持為平面假定振動過程中各橫截面仍保持為平面截面積截面積 S材料密度材料密度彈性模量彈性模量 E忽略由縱向振動引起的橫向變形忽略由縱向振動引起的橫向變形),(txplx0),(txp單位長度桿上分布的縱向作用力單位長度桿上分布的縱向作用力 桿參數(shù)：桿參數(shù)：連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 一維波動方程一維波動方程),(txu桿上距原點桿上距原點 x 處截面在時刻處截面在時刻 t 的縱向位移的縱向位移微段分析微段分析 ),(txplx0 xdxdxtxp),(dxu

4、dxxuu22xuSdxdxxFFF微段應(yīng)變：微段應(yīng)變： xudxudxxuu)(橫截面上的內(nèi)力：橫截面上的內(nèi)力：xuESESF由達朗貝爾原理：由達朗貝爾原理： dxtxpFdxxFFtuSdx),()(22連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 一維波動方程一維波動方程),(txu桿上距原點桿上距原點 x 處截面在時刻處截面在時刻 t 的縱向位移的縱向位移),(txplx0 xdx橫截面上的內(nèi)力：橫截面上的內(nèi)力：xuESESF由達朗貝爾原理：由達朗貝爾原理： dxtxpFdxxFFtuSdx),()(22),()(22txpxuESxtuS代入，得：代入，得： 桿的縱向強迫振動方程桿的縱向強迫振動

5、方程 對于等直桿，對于等直桿，ES 為常數(shù)為常數(shù) ),(1222022txpSxuatu/0Ea 彈性縱波沿桿的縱向傳播速度彈性縱波沿桿的縱向傳播速度 有：有： 連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 一維波動方程一維波動方程（2）弦的橫向振動）弦的橫向振動弦兩端固定，以張力弦兩端固定，以張力 F 拉緊拉緊在分布力作用下作橫向振動在分布力作用下作橫向振動 yxFF),(txpxdx),(txyo建立坐標系建立坐標系xoy),(txy弦上距原點弦上距原點 x 處的橫截面在處的橫截面在 t 時刻的橫向位移時刻的橫向位移 ),(txp單位長度弦上分布的作用力單位長度弦上分布的作用力 單位長度弦的質(zhì)量單位長

6、度弦的質(zhì)量 微段受力情況微段受力情況 達朗貝爾原理：達朗貝爾原理： dxtxpFdxxFtydx),()(22弦的橫向強迫振動方程弦的橫向強迫振動方程/0Ea 令：令：xy并考慮到：并考慮到：),(1222022txpxyaty得：得：彈性橫波的縱向傳播速度彈性橫波的縱向傳播速度0apdx22tydxdxxdxFF連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 一維波動方程一維波動方程（3）軸的扭轉(zhuǎn)振動）軸的扭轉(zhuǎn)振動細長圓截面等直桿在分布細長圓截面等直桿在分布扭矩作用下作扭轉(zhuǎn)振動扭矩作用下作扭轉(zhuǎn)振動 假定振動過程中各橫截面仍保持為平面假定振動過程中各橫截面仍保持為平面截面的極慣性矩截面的極慣性矩 Ip材料密

7、度材料密度切變模量切變模量 G),(txp：單位長度桿上分布的外力偶矩：單位長度桿上分布的外力偶矩 桿參數(shù)：桿參數(shù)：),(tx為桿上距離原點為桿上距離原點 x 處的截面在時處的截面在時刻刻 t 的角位移的角位移截面處的扭矩為截面處的扭矩為 T微段微段 dx 受力受力),(txpx0 xdxpdxTdxxTT 22tdxIp dxIp：微段繞軸線的轉(zhuǎn)動慣量：微段繞軸線的轉(zhuǎn)動慣量連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 一維波動方程一維波動方程代入，得：代入，得：微段微段 dx 受力受力),(txpx0 xdxpdxTdxxTT 22tdxIp 達朗貝爾原理：達朗貝爾原理：pdxTdxxTTtdxIp )

8、(22材料力學(xué)：材料力學(xué)：xGITp 即：即：),(22txpxTtIp ),()(22txpxGIxtIpp 圓截面桿的扭轉(zhuǎn)振動強迫振動方程圓截面桿的扭轉(zhuǎn)振動強迫振動方程對于等直桿，抗扭轉(zhuǎn)剛度對于等直桿，抗扭轉(zhuǎn)剛度 GIp 為常數(shù)為常數(shù)),(1222022txpIxatp 有：有：Ga 0剪切彈性波的剪切彈性波的縱向傳播速度縱向傳播速度連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 一維波動方程一維波動方程小結(jié)：小結(jié)：（1）桿的縱向振動）桿的縱向振動 ),(1222022txpSxuatu（2）弦的橫向振動）弦的橫向振動),(1222022txpxyaty雖然它們在運動表現(xiàn)形式上并不相同，但它們的運動微雖

9、然它們在運動表現(xiàn)形式上并不相同，但它們的運動微分方程是類同的，都屬于分方程是類同的，都屬于一維波動方程一維波動方程 。（3）軸的扭轉(zhuǎn)振動）軸的扭轉(zhuǎn)振動),(1222022txpIxatp 連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 一維波動方程一維波動方程 固有頻率和模態(tài)函數(shù)固有頻率和模態(tài)函數(shù)以等直桿的縱向振動為對象以等直桿的縱向振動為對象 方程：方程：),(1222022txpSxuatu縱向自由振動方程：縱向自由振動方程：222022xuatu/0Ea 假設(shè)桿的各點作同步運動，即設(shè)假設(shè)桿的各點作同步運動，即設(shè) ：)()(),(tqxtxuq(t) 表示運動規(guī)律的時間函數(shù)表示運動規(guī)律的時間函數(shù) )(x

10、桿上距原點桿上距原點 x 處的截面的縱向振動振幅處的截面的縱向振動振幅 代入，得：代入，得： )()()()(20 xxatqtq ),(txplx0連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動)()()()( 20 xxatqtq 記：記：2 0)()()(0)()(202xaxtqtq )sin()(tatq0201cossin)(axcaxcx通解：通解：（確定桿縱向振動的形態(tài)，稱為（確定桿縱向振動的形態(tài)，稱為模態(tài)模態(tài) ）,21cc由桿的邊界條件確定由桿的邊界條件確定 與有限自由度系統(tǒng)不同，連續(xù)系統(tǒng)的模態(tài)為坐標的連續(xù)函數(shù)與有限自由度系統(tǒng)不同，連續(xù)系統(tǒng)的模態(tài)為坐標的連續(xù)函數(shù)

11、，表示各坐標振幅的相對比值，表示各坐標振幅的相對比值 由頻率方程確定的固有頻率由頻率方程確定的固有頻率 有無窮多個有無窮多個 i（下面講述）（下面講述）連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動第第 i 階主振動：階主振動：)sin()(tatq0201cossin)(axcaxcx222022xuatu)()(),(tqxtxui)(xi一一對應(yīng)一一對應(yīng))2 , 1(),sin()(),()( itxatxuiiiii系統(tǒng)的自由振動是無窮多個主振動的疊加：系統(tǒng)的自由振動是無窮多個主振動的疊加： 1)sin(),(iiiiitatxu連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振

12、動桿的縱向振動幾種常見邊界條件下的固有頻率和模態(tài)函數(shù)幾種常見邊界條件下的固有頻率和模態(tài)函數(shù) （1）兩端固定）兩端固定邊界條件：邊界條件： 0)()0(), 0(tqtu0)()(),(tqltlu不能恒為零不能恒為零 )(tq0)0(0)(l故：故：0201cossin)(axcaxcx代入模態(tài)函數(shù)代入模態(tài)函數(shù) 02c得：得： 0sin0al（桿的縱向振動頻率方程（桿的縱向振動頻率方程 ）無窮多個固有頻率：無窮多個固有頻率：), 2 , 1 , 0(,0ilaii由于零固有頻率對應(yīng)的模態(tài)函數(shù)為零，因此零固有頻率除去由于零固有頻率對應(yīng)的模態(tài)函數(shù)為零，因此零固有頻率除去 特征：兩端位移為零特征：兩

13、端位移為零模態(tài)函數(shù)模態(tài)函數(shù) ：lxicxiisin)(), 2 , 1 , 0(ilx0連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動（2）兩端自由）兩端自由特征：自由端的軸向力為零特征：自由端的軸向力為零 邊界條件邊界條件 ：0), 0(xtuES0),(xtluES)()(),(tqxtxu 0)0(得：得：0)( llxicxiicos)(零固有頻率對應(yīng)的常值模態(tài)為桿的縱向剛性位移零固有頻率對應(yīng)的常值模態(tài)為桿的縱向剛性位移0201cossin)(axcaxcx頻率方程和固有頻率兩端固定桿的情況相同頻率方程和固有頻率兩端固定桿的情況相同), 2 , 1 , 0(i固有頻率：固有

14、頻率：), 2 , 1 , 0(,0ilaii模態(tài)函數(shù)：模態(tài)函數(shù)：01c得出：得出：0cos0allx0連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動（3）一端固定，一端自由）一端固定，一端自由特征：固定端位移為零特征：固定端位移為零 自由端軸向力為零自由端軸向力為零 邊界條件邊界條件 ：0),(xtluES)()(),(tqxtxu 得：得：0)0(0)( l0cos0al02c0201cossin)(axcaxcx固有頻率：固有頻率：0), 0(tu模態(tài)函數(shù)：模態(tài)函數(shù)：,.2 , 1,)212(ilaii,.2 , 1),212sin()(ixlicxiilx0連續(xù)系統(tǒng)的振動連

15、續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動或：或：,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxii左端自由，右端固定左端自由，右端固定特征：固定端位移為零特征：固定端位移為零 自由端軸向力為零自由端軸向力為零 邊界條件邊界條件 ：0), 0(xtuES)()(),(tqxtxu 得：得：0)(l0)0(0cos0al01c0201cossin)(axcaxcx固有頻率：固有頻率：0),(tlu模態(tài)函數(shù)：模態(tài)函數(shù)：lx0連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(

16、ixlicxii邊界條件邊界條件0)(l0)0(0cos0al模態(tài)函數(shù)模態(tài)函數(shù)lx0連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxiilx00)0(0)( l0cos0al頻率方程頻率方程固有頻率固有頻率,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxii*例：例：一均質(zhì)桿，左端固一均質(zhì)桿，左端固定，右端與一彈簧定，右端與一彈簧連接。連接。推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程。推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程。連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動lx0k連續(xù)系統(tǒng)的振

17、動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動解：解：邊界條件：邊界條件：lx0k0), 0(tu),(),(tlxuEStlku)()(),(tqxtxu 0201cossin)(axcaxcx0)0(),()(tlxESlk得出：得出：02c000cossinalaESalk常數(shù)klESalaltg00/)/(頻率方程頻率方程振型函數(shù)：振型函數(shù)：xacxii0sin)(連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動例：例：一均質(zhì)桿，左端固一均質(zhì)桿，左端固定，右端與一集中定，右端與一集中質(zhì)量質(zhì)量M固結(jié)。固結(jié)。推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程。推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程。Mlx0邊界條件：邊界條件：0)

18、, 0(tu),(),(22tlxuEStltuM自己推導(dǎo)！自己推導(dǎo)！主振型的正交性主振型的正交性只對具有簡單邊界條件的桿討論主振型的正交性只對具有簡單邊界條件的桿討論主振型的正交性 桿可以是變截面或勻截面的桿可以是變截面或勻截面的 即質(zhì)量密度即質(zhì)量密度及截面積及截面積 S 等都可以是等都可以是 x 的函數(shù)的函數(shù) 桿的動力方程桿的動力方程 ：),()(22txpxuESxtuS 自由振動：自由振動：)(22xuESxtuS 主振動主振動 ：)sin()(),( taxtxuSES2)(代入，得代入，得 ：連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動SES2)(桿的簡單邊界桿的簡單

19、邊界 ：固定端固定端0)( xx = 0 或或 l 0)( xES自由端自由端x = 0 或或 l 設(shè)：設(shè)：)(xii)(xjj代入：代入：iiiSES2)( jjjSES2)( )(xj乘乘 并沿桿長對并沿桿長對 x 積分：積分： lljiiijdxSdxES002)(利用分部積分：利用分部積分： dxESESdxESjlliliiij 000)()(00桿的任一端上總有桿的任一端上總有或者或者成立成立 ljliijdxESdxES00)(得：得： ljiiljidxSdxES020連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動)(xi乘乘 并沿桿長對并沿桿長對 x 積分：積分：

20、 iiiSES2)( jjjSES2)( 同理同理)(xj乘乘 并沿桿長對并沿桿長對 x 積分：積分： lljiiijdxSdxES002)( lljijjidxSdxES002)( ljijljidxSdxES020相減：相減： ljiiljidxSdxES0200)(022ljijidxSjiji 時時則必有：則必有：桿的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性桿的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性 00ljidxS)(ji 進而：進而： lijljidxESdxES000)()(ji 桿的主振型關(guān)于剛度的正交性桿的主振型關(guān)于剛度的正交性 連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動0)(022ljiji

21、dxS關(guān)于質(zhì)量的正交性關(guān)于質(zhì)量的正交性 00ljidxS)(ji )(ji 關(guān)于剛度的正交性關(guān)于剛度的正交性 當當ji 時時 恒成立恒成立令：令：pilimdxS 02第第 i 階模態(tài)主質(zhì)量階模態(tài)主質(zhì)量 piliilikdxESdxES 020)()(第第 i 階模態(tài)主剛度階模態(tài)主剛度 pipiimk/2 lijljidxESdxES000)(第第 i 階固有頻率：階固有頻率：主振型歸一化：主振型歸一化： 102 pilimdxS正則振型正則振型 2ipik 則第則第 i 階主剛度：階主剛度：ijljidxS0ijijlidxES20 ijiljidxES20)( 合寫為：合寫為： jijii

22、j01連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動桿的縱向強迫振動桿的縱向強迫振動 采用振型疊加法進行求解采用振型疊加法進行求解 ),()(22txpxuESxtuS 強迫振動方程：強迫振動方程：初始條件：初始條件： )()0 ,(1xfxu)(|20 xftut假定假定 ，i)2 , 1 i（i已經(jīng)得出已經(jīng)得出令：令：)()(),(1tqxtxuiii)(tqi正則坐標正則坐標 代入方程：代入方程：),()(11txpqESqSiiiii 兩邊乘兩邊乘j并沿桿長對并沿桿長對 x 積分積分 ： ljilijiljiiidxtxpdxESqdxSq01001),()( 利用正交性條

23、件：利用正交性條件：)(2tQqqjjjj ljjdxtxptQ0),()(第第 j 個正則坐標的廣義力個正則坐標的廣義力 連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動),()(22txpxuESxtuS )()0 ,(1xfxu)(|20 xftut)()(),(1tqxtxuiii)(2tQqqjjjj ljjdxtxptQ0),()(模態(tài)初始條件的求解模態(tài)初始條件的求解 12011)0()()()0()()()0 ,(iiitiiiqxxftuqxxfxu乘乘)(xSj并沿桿長對并沿桿長對 x 積分，由正交性條件，知有：積分，由正交性條件，知有： ljjljjdxxxSfq

24、dxxxSfq0201)()()0()()()0( ljjjjjjjjjdttQtqtqtq0)(sin)(1sin)0(cos)0()(得：得：)(tqj求得求得 后后可得可得),(txu連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動),()(22txpxuESxtuS )()0 ,(1xfxu)(|20 xftut)()(),(1tqxtxuiii)(2tQqqjjjj dxtxptQjlj),()(0如果沿桿身作用的不是分布力，而是集中力如果沿桿身作用的不是分布力，而是集中力 可表達成分布力形式：可表達成分布力形式：)()(),( xtPtxp正則坐標的廣義力：正則坐標的廣義

25、力： )()()()()()(0jljjtPdxxxtPtQ 前述外部激勵為分布力前述外部激勵為分布力lx0)(tP連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動例：等直桿例：等直桿自由端作用有：自由端作用有： tPtPsin)(0 為常數(shù)為常數(shù)0P求：桿的縱向穩(wěn)態(tài)響應(yīng)求：桿的縱向穩(wěn)態(tài)響應(yīng) lx0)(tP連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動解：解：一端固定，一端自由一端固定，一端自由 邊界條件：邊界條件：固有頻率：固有頻率：), 5 , 3 , 1(20 ilaii), 5 , 3 , 1(2sin)( ilxicxii模態(tài)函數(shù)：模態(tài)函數(shù)：代入歸一化條件：代入

26、歸一化條件： 102 dxSli12)2sin(220 ilicSldxlxicSSlci2 ), 5 , 3 , 1(sin2sin)(0 itiPctQii)()()(iitPtQ 模態(tài)廣義力：模態(tài)廣義力：第第 i 個正則方程個正則方程 ：tiPctqtqiiiisin2sin)()(02 正則坐標的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)正則坐標的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) ：tiPctqiiisin2sin1)(022 桿的穩(wěn)態(tài)強迫振動桿的穩(wěn)態(tài)強迫振動 ：)()(),(5 , 3 , 1tqxtxuiii 當外部力頻率等于桿的任一階固有頻率時都會發(fā)生共振現(xiàn)象當外部力頻率等于桿的任一階固有頻率時都會發(fā)生共振現(xiàn)象 lx0)(tP連續(xù)系統(tǒng)的

27、振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動lxiisltPii2sin2sin1sin23 , 1220 連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動4/ lx04/ l2/ l0P0P例：例：一均質(zhì)桿兩端固定。假一均質(zhì)桿兩端固定。假定在桿上作用有兩個集定在桿上作用有兩個集中力，如圖所示。中力，如圖所示。試問：當這些力突然移去時，桿將產(chǎn)生甚么樣的試問：當這些力突然移去時，桿將產(chǎn)生甚么樣的振動？振動？連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動邊界條件：兩端固定邊界條件：兩端固定0)()0(), 0(tqtu0)()(),(tqltlu初始條件：初始條件：),

28、2 , 1(,0ilaii模態(tài)函數(shù)模態(tài)函數(shù) ：,.)2 , 1(,sin)(ilxicxii4/ lx04/ l2/ l0P0P解：解：桿的自由振動方程：桿的自由振動方程：222022xuatuEa 0固有頻率：固有頻率：0)()()0 ,(0ttuxfxulxlxllxlxllxxxf43 )(434 )2(40 )(000ESP400連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動4/ lx04/ l2/ l0P0P系統(tǒng)的自由振動是無窮多個主振動的疊加：系統(tǒng)的自由振動是無窮多個主振動的疊加： 1)sin(),(iiiiitatxu10201sincossiniiitlaiBtla

29、iBlxi), 2 , 1(,0ilaii,.)2 , 1(,sin)(ilxicxii連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動4/ lx04/ l2/ l0P0P10201sincossin),(iiitlaiBtlaiBlxitxu初始條件：初始條件：0)()()0 ,(0ttuxfxu應(yīng)用位移初始條件：應(yīng)用位移初始條件：11sin)(iilxiBxf兩邊乘兩邊乘)(xSj并沿桿長積分，然后利用正交性條件：并沿桿長積分，然后利用正交性條件：lidxlxixflB01sin)(2應(yīng)用速度初始條件：應(yīng)用速度初始條件：02iB連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱

30、向振動4/ lx04/ l2/ l0P0PlidxlxixflB01sin)(2lxlxllxlxllxxxf43 )(434 )2(40 )(000ESP40002iBllllldxlxixldxlxixldxlxixl4/34/04/34/0sin)( sin)2(sin24/ )2(220) 1(iESilP,.)10, 6 , 2( i連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動4/ lx04/ l2/ l0P0P10201sincossin),(iiitlaiBtlaiBlxitxu02iB,.)10, 6 , 2() 1(4/ )2(2201iESilPBii系統(tǒng)響應(yīng)

31、：系統(tǒng)響應(yīng)：,.10, 6, 2024/ )2(20cossin) 1(iitlailxiiESlP連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動思考題：思考題：有一根以常速度有一根以常速度 v 沿沿 x 軸運動的桿。如果桿的中點軸運動的桿。如果桿的中點處突然被卡住停止，試求出所產(chǎn)生的自由振動表處突然被卡住停止，試求出所產(chǎn)生的自由振動表達式。達式。在此種情況下，可從桿的中點分開，分開的左右兩在此種情況下，可從桿的中點分開，分開的左右兩部分的振動形式相同，因此只分析右半部分即可。部分的振動形式相同，因此只分析右半部分即可。提示：提示：連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的

32、縱向振動右半部分為一端固定、另一端自由的桿。右半部分為一端固定、另一端自由的桿。邊界條件：邊界條件：桿的自由振動方程：桿的自由振動方程：222022xuatuEa 0初始條件：初始條件：0)(, 0), 0(2/lxxutuvxuxutx)(, 0)0 ,(自己推導(dǎo)！自己推導(dǎo)！連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動例：例：有一根有一根 x=0 端為自由、端為自由、x=l 端處為固定得桿，固定端端處為固定得桿，固定端承受支撐運動承受支撐運動tdtugsin)(d為振動的幅值為振動的幅值試求桿的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。試求桿的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。lx0)(tug連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱

33、向振動桿的縱向振動解：解：lx0tdtugsin)(方程建立方程建立dxudxxuuug)(22xuSdxdxxFFF微段分析微段分析應(yīng)變：應(yīng)變： xuudxudxxuuugg)()(內(nèi)力：內(nèi)力：xuuESESFg)(達朗貝爾原理：達朗貝爾原理： FdxxFFtuSdx)(22),(txu桿上距原點桿上距原點 x 處截面處截面在時刻在時刻 t 的縱向位移的縱向位移2222)(xuuEStuSg連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動lx0tdtugsin)(令：令：代入方程：代入方程： 2222)(xuuEStuSgguuu*guuu*即：即：guSESuuS *tSdsin

34、2設(shè)解為：設(shè)解為： 1*)()(iiitqxu)(xi為歸一化的正則模態(tài)為歸一化的正則模態(tài),.5 , 3 , 1,2cos2)(ixlilxi代入方程，得：代入方程，得：tSdESqqSiiiiisin)(2,.5 , 3 , 1 連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動lx0tdtugsin)(2222)(xuuEStuSgguuu*1*)()(iiitqxu,.5 , 3 , 1,2cos2)(ixlilxitSdESqqSiiiiisin)(2,.5 , 3 , 1 )(xj用用乘上式，并沿桿長積分：乘上式，并沿桿長積分：ljiljiiljiidxtSddxESqdxS

35、q0210 0sin)( 利用正交性：利用正交性：tdillqqiiiisin) 1(2222/ ) 1(2 連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動lx0tdtugsin)(2222)(xuuEStuSgguuu*1*)()(iiitqxu,.5 , 3 , 1,2cos2)(ixlilxitdillqqiiiisin) 1(2222/ ) 1(2 模態(tài)穩(wěn)態(tài)解：模態(tài)穩(wěn)態(tài)解：tdillqiiiisin) 1(222/ ) 1(222)/(11iitlxidiEluiiisin2cos) 1(16,.5 , 3 , 132/ ) 1(322*連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿

36、的縱向振動桿的縱向振動lx0tdtugsin)(2222)(xuuEStuSgguuu*2)/(11iitlxidiEluiiisin2cos) 1(16,.5 , 3 , 132/ ) 1(322*tdlxiiEluuuiiigsin2cos) 1(161 ,.5 , 3 , 12/ ) 1(3322*連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動桿振動分析小結(jié)桿振動分析小結(jié)1. 建立動力學(xué)方程建立動力學(xué)方程2. 根據(jù)邊界條件求解固有頻率和模態(tài)根據(jù)邊界條件求解固有頻率和模態(tài)3. 變量分離變量分離4. 代入動力學(xué)方程，并利用正交性條件代入動力學(xué)方程，并利用正交性條件得到模態(tài)空間方程

37、得到模態(tài)空間方程5. 物理空間初始條件轉(zhuǎn)到模態(tài)空間物理空間初始條件轉(zhuǎn)到模態(tài)空間6. 模態(tài)空間方程求解模態(tài)空間方程求解7. 返回物理空間，得解返回物理空間，得解)()(),(1tqxtxuiii)(2tQqqjjjj )(,xii)0(),0(jjqq)(tqj)()(),(1tqxtxuiii物理空間問題物理空間問題模態(tài)空間問題模態(tài)空間問題)()(),(1tqxtxuiii 梁的彎曲振動動力學(xué)方程動力學(xué)方程考慮細長梁的橫向彎曲振動考慮細長梁的橫向彎曲振動 ),(txf),(txmyx0梁各截面的中心慣性軸在同一平面梁各截面的中心慣性軸在同一平面 xoy 內(nèi)內(nèi)在低頻振動時可以忽略剪切變形以及截面

38、繞中性軸轉(zhuǎn)動慣量的影響在低頻振動時可以忽略剪切變形以及截面繞中性軸轉(zhuǎn)動慣量的影響外載荷作用在該平面內(nèi)外載荷作用在該平面內(nèi)梁在該平面作橫向振動（微振）梁在該平面作橫向振動（微振） 這時梁的主要變形是彎曲變形這時梁的主要變形是彎曲變形伯努利歐拉梁（伯努利歐拉梁（Bernoulli-Euler Beam） f(x,t): 單位長度梁上分布的外力單位長度梁上分布的外力 m(x,t): 單位長度梁上分布的外力矩單位長度梁上分布的外力矩 梁參數(shù)：梁參數(shù)：I 截面對中性軸的慣性積截面對中性軸的慣性積 單位體積梁的質(zhì)量單位體積梁的質(zhì)量S 梁橫截面積梁橫截面積E 彈性模量彈性模量外部力：外部力：假設(shè)：假設(shè)：連續(xù)

39、系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動動力學(xué)方程動力學(xué)方程),(txf),(txmyx0f(x,t):單位長度梁上分布的外力單位長度梁上分布的外力 m(x,t):單位長度梁上分布的外力矩單位長度梁上分布的外力矩 微段受力分析微段受力分析令：令：y(x,t):距原點距原點x處的截面在處的截面在t時刻時刻 的橫向位移的橫向位移 ),(txyxdxdxtxf),(dx22tySdxdxxMMdxxFFssMsFdxtxm),(:,MFs截面上的剪力和彎矩截面上的剪力和彎矩 微段的慣性力微段的慣性力 :22tySdx:),(dxtxf微段所受的外力微段所受的外力 :),(dxtxm微段

40、所受的外力矩微段所受的外力矩 連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動dxtxf),(dx22tySdxdxxMMdxxFFssMsFdxtxm),(力平衡方程力平衡方程 ：0),()(22dxtxfFdxxFFtySdxsss22),(tyStxfxFs 即即 ：以右截面上任一點為矩心，力矩平衡：以右截面上任一點為矩心，力矩平衡： 0),(22),()22 dxtxmdxtySdxdxdxtxfdxFMdxxMMs（略去高階小量：略去高階小量：),(txmxMFs材料力學(xué)的等截面假設(shè)，彎矩與撓度的關(guān)系：材料力學(xué)的等截面假設(shè)，彎矩與撓度的關(guān)系：22),(),(xtxyEItx

41、M),(),(),(),(222222txmxtxfttxySxtxyEIx 變截面梁的動力學(xué)方程：變截面梁的動力學(xué)方程：連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動),(),(),(),(222222txmxtxfttxySxtxyEIx 變截面梁的動力學(xué)方程：變截面梁的動力學(xué)方程：等截面梁的動力學(xué)方程：等截面梁的動力學(xué)方程：),(),(2244txmxtxftySxyEI 連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動固有頻率和模態(tài)函數(shù)固有頻率和模態(tài)函數(shù)),(),(),(),(222222txmxtxfttxySxtxyEIx 變截面梁的動力學(xué)方程：變截面梁的動力

42、學(xué)方程：討論梁的自由振動討論梁的自由振動 0),(),(222222 ttxySxtxyEIx自由振動方程：自由振動方程： 根據(jù)對桿縱向振動的分析，梁的主振動可假設(shè)為：根據(jù)對桿縱向振動的分析，梁的主振動可假設(shè)為： )sin()()()(),(taxtqxtxy代入自由振動方程：代入自由振動方程：0)(2 SEI對于等截面梁：對于等截面梁：0)()(4)4(xx2024aSEIa20 xCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 通解：通解：)41( iCi和和應(yīng)滿足的頻率方程由梁的邊界條件確定應(yīng)滿足的頻率方程由梁的邊界條件確定 連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎

43、曲振動0),(),(2244 ttxySxtxyEI等截面梁的自由振動方程：等截面梁的自由振動方程： 梁的主振動：梁的主振動： )sin()()()(),(taxtqxtxy0)()(4)4(xxxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 通解：通解：代入，得：代入，得：第第 i 階主振動：階主振動： )(xii無窮多個無窮多個)sin()(),()(iiiiitxatxyiai和和 由系統(tǒng)的初始條件確定由系統(tǒng)的初始條件確定 系統(tǒng)的自由振動是無窮多個主振動的疊加：系統(tǒng)的自由振動是無窮多個主振動的疊加： 1)sin()(),(iiiiitxatxy連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 /

44、 梁的彎曲振動梁的彎曲振動常見的約束狀況與邊界條件常見的約束狀況與邊界條件 0),(xtxy0)(x0)( xlx 0 或（1）固定端）固定端撓度和截面轉(zhuǎn)角為零撓度和截面轉(zhuǎn)角為零0),(txy（2）簡支端）簡支端撓度和彎矩為零撓度和彎矩為零0),(22xtxyEIM0),(txy0)( x0)(xlx 0 或（3）自由端）自由端彎矩和剪力為零彎矩和剪力為零0),(22xtxyEIM0 xMFs0)( x0)( xlx 0 或)()(),(tqxtxy連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動例：例：求懸臂梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)求懸臂梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)x0y解：解：一端固定，

45、一端自由一端固定，一端自由邊界條件邊界條件0)0( 0)0( 固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零自由端：彎矩和截面剪力為零自由端：彎矩和截面剪力為零0)( l0)( lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 得：得：4231,CCCC 以及：以及： 0)cosh(cos)sinh(sin0)sinh(sin)cosh(cos2121llCllCllCllC0coshcossinhsinsinhsincoshcos llllllll21CC、非零解條件：非零解條件：2024aSEIa20連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動0coshco

46、ssinhsinsinhsincoshcos llllllll簡化后，得：簡化后，得：01coshcos ll頻率方程頻率方程當當 i=1,2,3時時解得：解得：), 4 , 3(,212 iili875. 11 l694. 42 l855. 73 l3 i當當 時時各階固有頻率：各階固有頻率：2024aSEIa20), 2 , 1(,)(42 iSlEIlii對應(yīng)的各階對應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)模態(tài)函數(shù)：其中：其中：), 2 , 1(),sinh(sincoshcos)( ixxxxxiiiiii), 2 , 1(,sinhsincoshcos illlliiiii連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 /

47、梁的彎曲振動梁的彎曲振動鉛垂梁的前三階模態(tài)形狀鉛垂梁的前三階模態(tài)形狀第一階模態(tài)第一階模態(tài)第二階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)第三階模態(tài)一個節(jié)點一個節(jié)點兩個節(jié)點兩個節(jié)點無節(jié)點無節(jié)點節(jié)點位置節(jié)點位置連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動例：例：簡支梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)簡支梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)解：解：一端圓柱固定鉸一端圓柱固定鉸另一端圓柱滑動鉸另一端圓柱滑動鉸0)0( 0)0( 固定鉸：撓度和截面彎矩為零固定鉸：撓度和截面彎矩為零滑動鉸：撓度和截面彎矩為零滑動鉸：撓度和截面彎矩為零0)( l0)( lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 得：得：031 CC以

48、及：以及： 0sinhsin0sinhsin4242lClClClC2024aSEIa20yx004 C0sin l頻率方程：頻率方程：), 2 , 1(, iili固有頻率：固有頻率：), 2 , 1(,)(2 iSEIlii連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動0sin l頻率方程：頻率方程：固有頻率：固有頻率：), 2 , 1(,)(2 iSEIlii0431 CCC模態(tài)函數(shù)：模態(tài)函數(shù)：), 2 , 1(,sin)( ixlixi), 2 , 1(, iilixCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 第一階模態(tài)第一階模態(tài)第二階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)

49、第三階模態(tài)第四階模態(tài)第四階模態(tài)模態(tài)形狀模態(tài)形狀節(jié)點位置節(jié)點位置yx0無節(jié)點無節(jié)點一個節(jié)點一個節(jié)點兩個節(jié)點兩個節(jié)點三個節(jié)點三個節(jié)點連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動例：例：兩端自由梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)兩端自由梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)背景：導(dǎo)彈飛行背景：導(dǎo)彈飛行yx0系統(tǒng)類別：半正定系統(tǒng)系統(tǒng)類別：半正定系統(tǒng)存在剛體模態(tài)存在剛體模態(tài)導(dǎo)彈飛行導(dǎo)彈飛行1導(dǎo)彈飛行導(dǎo)彈飛行2連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動yx0頻率方程：頻率方程：1coshcos ll模態(tài)函數(shù)：模態(tài)函數(shù)：2024aSEIa20其中：其中：), 2 , 1(),sinh(sincoshcos

50、)( ixxxxxiiiiii), 2 , 1(,sinhsincoshcossinhsincoshcos illlllllliiiiiiiii當當 i=1,2,3時時解得：解得：730. 41 l853. 72 l996.103 l3 i當當 時時), 4 , 3(,)21( iili自由端：彎矩和截面剪力為零自由端：彎矩和截面剪力為零0)0( 0)0( 0)( l0)( l0 i當當 時時00 l對應(yīng)剛體模態(tài)對應(yīng)剛體模態(tài)連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動第二階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)第三階模態(tài)第四階模態(tài)第四階模態(tài)第五階模態(tài)第五階模態(tài)自由梁的模態(tài)形狀自由梁的模態(tài)形狀連

51、續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動例：試用數(shù)值確定一根一端固定另一端簡支的梁的頻例：試用數(shù)值確定一根一端固定另一端簡支的梁的頻率方程，并且繪出第一階模態(tài)和第二階模態(tài)的撓率方程，并且繪出第一階模態(tài)和第二階模態(tài)的撓度曲線。度曲線。連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動yx0l連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動yx0l解：解：0),(),(222222 ttxySxtxyEIx梁的自由振動方程：梁的自由振動方程： 邊界條件邊界條件0), 0(ty0), 0(ty固定端：固定端：自由端：自由端：0)0( 0)0( 0),(tly0),

52、0( ty0)(l0)( lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 2024aSEIa20模態(tài)函數(shù)：模態(tài)函數(shù)：連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動yx0l0)0( 0)0( 0)(l0)( lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 0)0( 031CC13CC0)0( 042CC24CC0)(l0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC0)( l0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動0coshcossinhsinsinhsincoshcosllll

53、llll21CC、非零解條件：非零解條件：0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC頻率方程：頻率方程：0sincoshsinhcosllll求得：求得：352.13,210.10,069. 7,927. 34321llll對應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)：對應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)：), 2 , 1(),sinh(sinhcoscosh)(ixxxxxiiiiii代入：代入：), 2 , 1(,sinhsinhcoscosh12illllCCiiiii連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動yx0l第一階模態(tài)：第一階模態(tài)：), 2

54、 , 1(),sinh(sinhcoscosh)(ixxxxxiiiiii第二階模態(tài)：第二階模態(tài)：0.560069. 7927. 321ll例：懸臂梁例：懸臂梁一端固定，另一端有彈性支撐一端固定，另一端有彈性支撐邊界條件邊界條件0)0( 0)0( 固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零彈性支撐端：剪力、彎矩分別與直線彈簧反力、卷簧反力矩相等彈性支撐端：剪力、彎矩分別與直線彈簧反力、卷簧反力矩相等2kx0y1kl彈簧二：直線彈簧，與撓度成正比彈簧二：直線彈簧，與撓度成正比彈簧一：卷簧，與截面轉(zhuǎn)角成正比彈簧一：卷簧，與截面轉(zhuǎn)角成正比彎矩平衡條件：彎矩平衡條件：),(),(222tly

55、kxtlyEIx xtlykxtlyEI ),(),(122剪力平衡條件：剪力平衡條件：)()(),(tqxtxy)()(1lklEI )()(2lklEI 連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動xCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 0)cosh(cos)sinh(sin)sinh(sin)cosh(cos1211 llkllEICllkllEIC2024aSEIa202kx0y1kl0)0( 0)0( 固定端：固定端：彈性支撐端：彈性支撐端：)()(1lklEI )()(2lklEI 由固定端條件解得：由固定端條件解得：4231,CCCC 由彈性支撐

56、固定端條件解得：由彈性支撐固定端條件解得：0)sinh(sin)cosh(cos)cosh(cos)sinh(sin232231 llkllEICllkllEIC連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動或或21CC、非零解條件導(dǎo)出頻率方程：非零解條件導(dǎo)出頻率方程：0)cosh(cos)sinh(sin)sinh(sin)cosh(cos1211 llkllEICllkllEIC0)sinh(sin)cosh(cos)cosh(cos)sinh(sin232231 llkllEICllkllEIC)0(),coshsinsinh(cos1coshcos21 kllllEIkll

57、)0(),coshsinsinh(cos1coshcos132 kllllEIkll連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動)0(),coshsinsinh(cos1coshcos21 kllllEIkll)0(),coshsinsinh(cos1coshcos132 kllllEIkll（1）若）若k1、k2 同時為零，則退化為懸臂梁的情形同時為零，則退化為懸臂梁的情形連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動2kx0y1kl討論：討論：01coshcosllx0y)0(),coshsinsinh(cos1coshcos21 kllllEIkll)0(),c

58、oshsinsinh(cos1coshcos132 kllllEIkll（2）若）若k10、k2 無窮大，則退化為一端固定另一端簡支的情形無窮大，則退化為一端固定另一端簡支的情形連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動2kx0y1kl討論：討論：0coshsinsinhcosllllx0yl例：懸臂梁自由端附有質(zhì)量例：懸臂梁自由端附有質(zhì)量yx0l0m求頻率方程求頻率方程解：解：0)0( 0)0( 固定端：固定端：自由端：彎矩為零，剪力與質(zhì)量慣性力平衡自由端：彎矩為零，剪力與質(zhì)量慣性力平衡0)( lEI)()(20lmlEI 利用同上述算例相同的方法，得頻率方程：利用同上述算例

59、相同的方法，得頻率方程：其中：其中：)sinhcoscosh(sin1coshcoslllllll mm0 為集中質(zhì)量與梁質(zhì)量之比為集中質(zhì)量與梁質(zhì)量之比Slm 為梁質(zhì)量為梁質(zhì)量連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動分析中沒有考慮剪切變形和截面轉(zhuǎn)動慣量的影響，因此分析中沒有考慮剪切變形和截面轉(zhuǎn)動慣量的影響，因此（梁的長度大于梁高度（梁的長度大于梁高度5倍倍以上）以上）考慮剪切變形使得梁的剛度降低，考慮轉(zhuǎn)動慣量使得梁的慣考慮剪切變形使得梁的剛度降低，考慮轉(zhuǎn)動慣量使得梁的慣性增加，這兩個因素都會使梁的固有頻率降低性增加，這兩個因素都會使梁的固有頻率降低連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動

60、 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動模態(tài)函數(shù)的正交性模態(tài)函數(shù)的正交性0),(),(2244 ttxySxtxyEI梁若為等截面，則：梁若為等截面，則： 0),(),(222222 ttxySxtxyEIx變截面梁的自由振動方程：變截面梁的自由振動方程：主振動：主振動： )sin()()()(),(taxtqxtxy代入，得：代入，得：0)(2 SEI設(shè)：設(shè)：)(xii)(xjj jjjiiiSEISEI22)()(有：有：連續(xù)系統(tǒng)的振動連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動0)(2 SEI jjjiiiSEISEI22)()(（1）（2）j(1)式兩邊乘式兩邊乘 并沿梁長對并沿梁長對 x 積分