8.2點(diǎn)積叉積2011.3.15

1、 第八章第八章第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 1M一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動(dòng),W1. 定義定義設(shè)向量的夾角為 ,稱 記作數(shù)量積 (點(diǎn)積) .引例引例. 設(shè)一物體在常力 F 作用下, F位移為 s , 則力F 所做的功為cossFsFW2Mbacosba的與為baba,s 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) cosa ba b 變形公式：cosa ba b Prbbj aPraaj bcosa ba b Pr

2、aj b Prbj a a ba a bb 1. 2. 又 a a 2a3. 0baba 4. 0,0ba則 i i 1j j 1k k 1i j 0j k 0k i 05. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) (1) 交換律(2) 結(jié)合律),(為實(shí)數(shù)abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba事實(shí)上, 當(dāng)0c時(shí), 顯然成立 ;時(shí)當(dāng)0ccbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb2. 運(yùn)算律運(yùn)算律 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 例1：已知0abc, ,a b c a bb cc

3、a 且為單位向量，求解： abcabc02c a 2b c 2a b 2c2b2a所以a bb cc a 22212abc32 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 設(shè)則, 10zzyyxxbababa當(dāng)為非零向量時(shí),cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,兩向量的夾角公式 , 得3. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示數(shù)量積的坐標(biāo)表示 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) )(MB, )(MA BM例例2：

4、已知三點(diǎn), )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB. A解解:, 1, 1 0, 1,0 1則AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故例例3 3：求向量2,2,1a 2,1,2b 在上的投影解：Prbj a 83a bb 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 定義向量方向:(叉積)記作且符合右手規(guī)則模 :向量積 ,，的夾角為設(shè)ba,c,acbccsinabbac稱c的與為向量babacba思考思考: 右圖三角形面積abba21S1. 定義定義 二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 為非零向

5、量, 則，0sin0或即aa0, a b 0baba,0,0時(shí)當(dāng)baba0basinab0討論討論:sinabbaii 0jj0kk0ij kjkiki j2. 變形公式變形公式 1. 2. 3. ikj4. 提供了一個(gè)求同時(shí)與兩個(gè)向量垂直的向量的方法 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 3. 運(yùn)算律運(yùn)算律(2) 分配律(3) 結(jié)合律cba )(cbcaba )()( ba)(baa bb a(1) 反交換律反交換律 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) )(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量積的坐標(biāo)表示式向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)則,kajaiaazyx,kbjb

6、ibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 行列式行列式二元方程組11 1122121 12222a xa xba xa xb求該方程組的解消元得112212211122212112212212211121a aa axbab aa aa axb aba上式左端系數(shù)可用行列式表示11122122aaaa11122122,aaaa分別叫做元素，豎排叫列橫排叫行，i

7、 ja, i j中分別叫做行數(shù)和列數(shù)11221221a aa a 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 如23127 83327 111213212223313233aaaaaaaaa22233233aaaa11a12a21233133aaaa13a21223132aaaa按第一行展開如2124312354323241253135210 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 1233122313123321231322118 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(

8、jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx向量積的行列式計(jì)算法向量積的行列式計(jì)算法 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 例例4：求同時(shí)垂直于2,2,1a 4,5,3b 和的單位向量解：c i1j2 k221453ijkec11, 2,23cc2ab 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) , )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面積 . 解解: 如圖所示,CBASABC12kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三例例5. 已知三點(diǎn) 目錄 上頁 下

9、頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 設(shè)1. 向量運(yùn)算加減:數(shù)乘:點(diǎn)積:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉積:kjixayazaxbybzbba內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 2. 向量關(guān)系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0ba0ba 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè)計(jì)算并求夾角 的正弦與余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方法證明正弦定

10、理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2jibkjia,baba及BabcAC 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 證證: 由三角形面積公式AcbsinBacsinBbAasinsin所以CcsinCbasin因ABACSABC21BCBA21CACB21ABACBCBACACBBabcAC 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 22343cos322)2(17備用題備用題1. 已知向量的夾角且解：解：,43ba ,. |ba求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 22200)2(211ABCD在頂點(diǎn)為三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B的和) 1,3, 1(C求 AC 邊上的高 BD .解：解：)3,4,0(AC, 5)3(422| AC)2,2,0(AB三角形 ABC 的面積為 |21ABACS21S| AC| BD5211| B