微積分(不定積分)

1、第四章第四章 不定積分不定積分 不定積分的概念和性質(zhì)不定積分的概念和性質(zhì) 基本積分公式基本積分公式 換元積分法 分部積分分部積分 微積分這門課程，主要包括微分學(xué)和積分學(xué)。在上微積分這門課程，主要包括微分學(xué)和積分學(xué)。在上學(xué)期我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了微分學(xué)，即已知一個(gè)函數(shù)學(xué)期我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了微分學(xué)，即已知一個(gè)函數(shù) ，如，如何求出其導(dǎo)數(shù)何求出其導(dǎo)數(shù) 的問題。本章我們開始學(xué)習(xí)微分的的問題。本章我們開始學(xué)習(xí)微分的反運(yùn)算，亦即已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反運(yùn)算，亦即已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ，如何求出，如何求出 的問題，這一過程稱為積分。的問題，這一過程稱為積分。( )f x( )fx( )fx( )f x例如，已知某工廠生產(chǎn)例如，

2、已知某工廠生產(chǎn) 單位某種產(chǎn)品的邊際成本單位某種產(chǎn)品的邊際成本為為x( )210C xx求總成本函數(shù)求總成本函數(shù)( )C x這個(gè)問題就是求這個(gè)問題就是求 的積分的過程的積分的過程( )C x2021/6/1624-1 4-1 不定積分的概念和性質(zhì)不定積分的概念和性質(zhì)2021/6/163 又如又如d(sec x)=sec x tan xdx，所以所以sec x是是sec x tan x 的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù).定義定義 設(shè)設(shè)f (x) 在某在某區(qū)間上區(qū)間上有有定義定義，如果對該區(qū)間的任意，如果對該區(qū)間的任意點(diǎn)點(diǎn)x都有都有 F(x)=f (x) 或或 dF(x)=f (x)dx則稱則稱F(x)為為

3、 f (x)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù). 1 原函數(shù)的概念原函數(shù)的概念 例如例如: ， 是函數(shù)是函數(shù) 在在 上的原函數(shù)上的原函數(shù). ,sin x是是cos x在在 上的原函數(shù)上的原函數(shù).(,) 32()3xx x233x(,) (sin )cos x x (2) (2)如果如果f(x)在某區(qū)間上存在原函數(shù)，那么原函數(shù)在某區(qū)間上存在原函數(shù)，那么原函數(shù)不是唯一的不是唯一的, ,且有無窮多個(gè)且有無窮多個(gè)(1)(1)如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則它的原函數(shù)一定存在如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則它的原函數(shù)一定存在例如例如在在 上上 是是 的原函數(shù)的原函數(shù)(,) sin1,sin2xx sin xc

4、os xsin1,sin3xx也是它的原函數(shù)也是它的原函數(shù)即即 加任意常數(shù)都是加任意常數(shù)都是 的原函數(shù)的原函數(shù).sinxcosx (3) 若函數(shù)若函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 I 上存在原函數(shù)，則其任上存在原函數(shù)，則其任意兩個(gè)原函數(shù)只差一個(gè)常數(shù)項(xiàng)意兩個(gè)原函數(shù)只差一個(gè)常數(shù)項(xiàng).而而注注: :2021/6/165定義定義2 2 如果函數(shù)如果函數(shù)F(x)是是f (x)在在區(qū)間區(qū)間 I 上上的一個(gè)原函數(shù)，的一個(gè)原函數(shù)，那么那么f (x)的全體的全體原函數(shù)原函數(shù)F(x) C(C為任意常數(shù)為任意常數(shù)) )稱為稱為f (x)在在區(qū)間區(qū)間 I 上上的不定積分的不定積分. . 記作記作( )df xx其中記號其

5、中記號 稱為積分號稱為積分號，f (x)稱為被積函數(shù)，稱為被積函數(shù)，f (x)dx稱稱為被積表達(dá)式，為被積表達(dá)式，x 稱為積分變量，稱為積分變量，C為積分常數(shù)為積分常數(shù). .( )d( )f xxF xC，即即2.不定積分的概念不定積分的概念注意：不定積分為全體原函數(shù)注意：不定積分為全體原函數(shù)F(x) C2021/6/166例例2 求求21d .1xx21(arctan )()1 ，x xx解解2 1darctan.1 所所以以在在上上有有xxxCx例例1 求求4d . xx545由由于于，xx解解54d.5所所以以xxCx2021/6/167例例3 求求1d . xx,1) 1(1)(1 )

6、ln(0 xxxxxx 時(shí)，有當(dāng)解解10(ln ). xx x當(dāng)時(shí)，有1dln (0).xxCxx所所以以ln x1dln().xxCx又又ln0,ln()0,xxxx當(dāng)當(dāng)1dln (0)xxCxx2021/6/1683 3 不定積分與微分的關(guān)系不定積分與微分的關(guān)系微分運(yùn)算與積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算微分運(yùn)算與積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算. . (1) ( )d ( ) d( )d( )df xx f xf xxf xx或或，特別地，有特別地，有d.xx C(2) ( )d( ) d ( )( )f xxf xCf xf xC或或，2021/6/1694 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 被積函數(shù)中不為零

7、的常數(shù)因子可以移到積分被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以移到積分號的前面號的前面. .( )d( )dkf xxkf xx(0).kk 是常數(shù)，性質(zhì)性質(zhì)2可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情形，即可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情形，即nnxxxxxxxxxxffffff1212( )( )( ) d ( )d( )d( )d .性質(zhì)性質(zhì)2 兩個(gè)函數(shù)的和兩個(gè)函數(shù)的和(或差或差)的不定積分等于各函數(shù)的不定積分等于各函數(shù)不定積分的和不定積分的和(或差或差)，即，即 ( )( )d( )d( )d .f xg xxf xxg xx2021/6/1610例例4 求求32543)d .(2xxxx32 2d5d4d3 dxx

8、x xxxx3232 543)d 2d5d4 d3d(2xxxxx xxxxxx解解43215 23.23xCxxx 注注 逐項(xiàng)積分后，每個(gè)積分結(jié)果中均含有一個(gè)任意逐項(xiàng)積分后，每個(gè)積分結(jié)果中均含有一個(gè)任意常數(shù)由于任意常數(shù)之和仍是任意常數(shù)，因此只常數(shù)由于任意常數(shù)之和仍是任意常數(shù)，因此只要寫出一個(gè)任意常數(shù)即可要寫出一個(gè)任意常數(shù)即可 2021/6/16114-2 4-2 基本積分公式基本積分公式2021/6/1612 (6) sin dcosxxxC(1) d kxkxCd(3) ln|.xxCx(5) d.eexxxC 1(2) d (1).1xxxC (4) d.lnxxxCaaa 基本積分公式

9、基本積分公式2021/6/1613 22d(8) csc d cot .sinxxxxCx(10) sec tan dsec .xxxxC(7) cos dsin .xxxC22d(9) sec dtan .cosxxxxCx (11) csc cot dcsc .xxxxC21(12) darcsin 1xxCx21(13) darctan1xxCx arccos .xC arccot.xC2021/6/1614練習(xí)：計(jì)算下列積分練習(xí)：計(jì)算下列積分31(1)d . (2)d . (3) 2 d . (4)d .xxx xxxexx.43131134131CCxxxxxxd d1(2)21解解

10、xxxxd d(1) 313.22111 211CxCx (3)22 dln2xxxC(4).xxxC dee2021/6/1615例例5 某公司測定出生產(chǎn)某公司測定出生產(chǎn) 件某種產(chǎn)品的邊際成本件某種產(chǎn)品的邊際成本 為為x( )C x( )210C xx求總成本函數(shù)求總成本函數(shù)( )C x解：解：應(yīng)用積分來求成本函數(shù)應(yīng)用積分來求成本函數(shù)( )( )C xC x dx(210)xdx210 xxC().C其中 是常數(shù)2021/6/1616.xexC1) d(xxe21(1)(1)dd11xxxxxxxeeeee解解21d .1xxxee例例6 求求2021/6/1617cos2d .sincos

11、xxxx sincos.xx C例例7求求cos2dsincosxxxx解解(cossin )xx dx 有些積分在基本積分公式中沒有相應(yīng)的類型，但有些積分在基本積分公式中沒有相應(yīng)的類型，但經(jīng)過對被積函數(shù)的適當(dāng)變形，化為基本公式所列函數(shù)經(jīng)過對被積函數(shù)的適當(dāng)變形，化為基本公式所列函數(shù)的積分后，便可逐項(xiàng)積分求得結(jié)果的積分后，便可逐項(xiàng)積分求得結(jié)果 (cossin )(cossin )dsincosxxxxxxx22cos2cossinxxx2021/6/1618練習(xí)：計(jì)算下列積分練習(xí)：計(jì)算下列積分2(1)d . (2)(1 2 )d . (3) cosd . xxxx xexx x3121312Cx

12、(1 2 )d(2) xxex解解32d (1) dx xxxx1l .(2 )n2xxeeCe (3)2cos x x d522.5Cxxa2cos22cos1xx12(cos21xx)d12xC14() d2xxeexsin2x122021/6/1619作業(yè)：作業(yè)：P138 1，（，（3）（）（8）（）（12）2021/6/1620作業(yè)：計(jì)算下列積分作業(yè)：計(jì)算下列積分232cos(1)d . (2)d . (3) sind . 1 sin2xxxx xxxx22cos1 sin(1 sin )(1 sin )ddd1 sin1 sin1 s n(2)i xxxxxxxxxx解解372d (

13、1) dxx xxx(1 sin )dxx (3)2sin2xx d922.9Cx2cos212sinxx 1122sin xxCcosxxC1(1 cos )d2xx2021/6/16214-3 4-3 換元積分法換元積分法2021/6/1622換元積分法換元積分法 直接利用基本積分表和分項(xiàng)積分法所能計(jì)算的直接利用基本積分表和分項(xiàng)積分法所能計(jì)算的不定積分是非常有限的，為了求出更多的積分，需不定積分是非常有限的，為了求出更多的積分，需要引進(jìn)更多的方法和技巧本節(jié)和下節(jié)就來介紹求積要引進(jìn)更多的方法和技巧本節(jié)和下節(jié)就來介紹求積分的兩大基本方法分的兩大基本方法換元積分法和分部積分法。換元積分法和分部積

14、分法。 在微分學(xué)中，復(fù)合函數(shù)的微分法是一種重要的在微分學(xué)中，復(fù)合函數(shù)的微分法是一種重要的方法，不定積分作為微分法的逆運(yùn)算，也有相應(yīng)方法，不定積分作為微分法的逆運(yùn)算，也有相應(yīng)的方法。利用中間變量的代換，得到復(fù)合函數(shù)的的方法。利用中間變量的代換，得到復(fù)合函數(shù)的積分法積分法換元積分法。通常根據(jù)換元的先后，換元積分法。通常根據(jù)換元的先后，把換元法分成第一類換元和第二類換元。把換元法分成第一類換元和第二類換元。2021/6/1623問題問題 xdx2cos,2sinCx 解決方法解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過程過程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos

15、21Ct sin21.2sin21Cx 一、第一類換元法一、第一類換元法xCx2cos2sin21 說明結(jié)果正確說明結(jié)果正確2021/6/1624 ( )d( )( ) f uu F uCux，如果具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則 有 ( )( )d ( )d ( )fx x xfxx 定理定理1設(shè)設(shè) 該公式稱為不定積分的第一換元積分公式，應(yīng)用該公式稱為不定積分的第一換元積分公式，應(yīng)用第一換元積分公式計(jì)算不定積分的方法稱第一換元積第一換元積分公式計(jì)算不定積分的方法稱第一換元積分法分法.也稱也稱“湊微分湊微分”法法 ( )FxC 2021/6/1625湊微分法的基本思路：湊微分法的基本思路： 與基本積分公式相比

16、較，將不同的部分與基本積分公式相比較，將不同的部分中間變量中間變量和和積分變量積分變量變成相同變成相同步驟：湊微分；換元求出積分；回代原變量步驟：湊微分；換元求出積分；回代原變量應(yīng)用定理應(yīng)用定理1 1求不定積分的步驟為求不定積分的步驟為 ( )d( )( )d( ) d ( )g xxfxxxfxx湊微分( )d( )( )( )( )f uuF uCFxCxuux變量代換還原2021/6/1626 微分的基本公式：微分的基本公式：CC()(1) d0 為為常常數(shù)數(shù)1(2) d () 為為常常數(shù)數(shù)axxa(4) e dxx 1(5) d xx(7) sin d x x(3) d (01)xax

17、a,a(6) cos d x xxd xCd() 1d axa1dln xaadexdln xdsin xdcos x21(8) d1 xxdarcsin x21(9)d1 xxarctandx2021/6/1627例例1 1 求求.231dxx 解解32 ,uxdxx 231112duud(3) ln|.xxCx2,dudx1,2dxdu1ln2uC1ln 322xC一般地一般地 dxbaxf)(1( )f u duuaxba2021/6/1628例例2 2 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx duu121Cu ln21.)ln21ln(21C

18、x 12ln ,ux 2 (ln ),dudx2021/6/1629,)106(3000900022xxxdxdpdxxxxdxxpxp22)106(30009000)( )(22261500(610)xdxxx )106()106(1500222xxdxxCxx212)106(2111500.)106(150012Cxx 已知某公司出售現(xiàn)已知某公司出售現(xiàn)x單位產(chǎn)品的邊際利潤函數(shù)是單位產(chǎn)品的邊際利潤函數(shù)是求總利潤函數(shù)求總利潤函數(shù). .例例3 3解：由不定積分的性質(zhì)可知解：由不定積分的性質(zhì)可知2(610)d xx26xdx2021/6/1630練習(xí)：求下列不定積分練習(xí)：求下列不定積分2008d

19、.(31)xx.cos11 dxx2021/6/16312008d .(31)xx d31 d 20082008) 13(uxux于是有131d3ddd3uxuxxu令，得，解解uud31=200820091132009Cu20091(31).6027xC2021/6/1632解解.cos11 dxx11 cosdxxCx 2tan212cos2dxx2cos22cos1xx221cos2xdx2021/6/1633解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx1c

20、otsinxCx 221cossinsinxdxdxxxcsccot.xxC2021/6/16342cos2sin2tanxxx xxcos1cos1 xx22cos1)cos1( xxsincos1 xxcotcsc 1cossinsinxxx2021/6/1635例例4dxxa 221解解dxxa 221dxxaxa )(1 dxxaxaa1121Cxaxaa |ln|ln21Cxaxaa |ln21)(1)(121xadxaxadxaa2021/6/16361cosdxxsecxdx2coscosxdxx21(sin )1 sindxx111sin21 sin1 sindxxx211 s

21、in11 sinlnln21 sin2cosxxCCxx例例5 5 求求secxdx解解1111(1 sin )(1 sin )2 1 sin2 1 sindxdxxxln sectanxxC2021/6/1637例例6 6 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 2021/6/1638例例7 7 求求解解5sincos.xxdx5sincos.xxdx5sin(cos)xxdx5sinsinx dx61sin.6xC2021/6/1639練習(xí)：求下列不定積分練習(xí)：求下列不定積分.csc

22、xdx.cossin52 xdxx.12xxedxe2021/6/1640.12xxedxe解解112xxdee1 2xxedxe1212xxd ee1211(21)212xxdee12xeC2021/6/1641解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 2021/6/1642解解 dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdx111cos21cos1cosdxxx

23、 Cxxcos1cos1ln21.csc xdx1111(1 cos )(1 cos )2 1 cos2 1 cosdxdxxx.)cotln(cscCxx 2021/6/1643解解 dxxsin1 xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanln.)cotln(cscCxx 2021/6/1644dxxxxxx cotcsccotcsccsc2 )cot(csccotcsc1xxdxxCxx )cotln(cscCxx )cotln(csc解解 xdxcsc dxxxxxxcotcsc)cot(csccsc2021/6/

24、16451()d()d() (0)f axbxf axbaxbaa (1) (2)11()d()d()f xxxf xx (3)1(ln)d(ln)d(ln)fxxfxxx (4)()d()d()xxxxf eexf ee (5)1()d()d()lnxxxxf aaxf aaa 事實(shí)上事實(shí)上 ，湊微分就是把中間變量省略，從而簡化計(jì)算，湊微分就是把中間變量省略，從而簡化計(jì)算過程，這種方法需要一定的技巧，請同學(xué)們熟識下列公式過程，這種方法需要一定的技巧，請同學(xué)們熟識下列公式2021/6/1646(6)(sin) cos d(sin)d(sin)fxx xfxx (7)(cos ) sin d(c

25、os )d(cos )fxx xfxx (8)2(tan)d(tan)d(tan)fxsec x xfxx (9)2(cot) cscd(cot)d(cot)fxx xfxx (10)21(arctan )d(arctan )d(arctan )1fxxfxxx (11)21(arcsin)d(arcsin)d(arcsin)1fxxfxxx 2021/6/1647問題問題?125 dxxx解決方法解決方法改變中間變量的設(shè)置方法改變中間變量的設(shè)置方法.過程過程令令txsin ,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （應(yīng)用（應(yīng)用“湊微分

26、湊微分”即可求出結(jié)果）即可求出結(jié)果）二、第二類換元法二、第二類換元法2021/6/164811:( )( )0,( )( ) ( )( )(t)C( )Cxtttxf x dxftt dtFFx定理 設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，并且其反函數(shù)為，2021/6/1649例例8 8 求求解解22.ax dx令令sinxatcosdxatdt 2,2t22ax dxcoscosat atdt21 cos22tadttax22ax22cosatdt2(1 cos2 )2at dt21(sin2 )C22att2(sincos )C2attt222arcsinC22axxaxasinxta2021/6/1650例例

27、9 9 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 2,2tCxax )ln(222021/6/1651例例1010 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax Caxx )ln(222021/6/1652練習(xí)：求下列不定積分練習(xí)：求下列不定積分21.1dxx 24.x

28、 dx21.91dxx 2021/6/1653解解24.x dx令令2sinxt2cosdxtdt 2,2t24x dx2cos2costtdt1 cos242tdtt2x24x24 cos tdt2 (1 cos2 ) t dt12(sin2 )C2tt2(sincos )Cttt22arcsin4C22xxxsin2xt 2021/6/1654解解21.1dxx 令令tanxt2secdxtdt211dxx 21secsectdtt tdtsecCtt )tanln(sect1x21x 2,2t2ln(1)xxC2021/6/1655解解21.91dxx 令令1sec3xt 2, 0t1s

29、ec tan3dxttdt2191dxx 1sectan3tanttdtt1sec3tdt1ln(sectan )3ttCt13x291x 21ln 391.3xxC2021/6/1656說明說明(1)(1) 以上幾例所使用的均為以上幾例所使用的均為三角代換三角代換.三角代換的三角代換的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 2021/6/1657說明說明(2)(2) 積分中為了化掉根式是否一定采用積分中為了化掉根式是否一定采

30、用三角代換（或雙曲代換）并不是絕對的，需三角代換（或雙曲代換）并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定根據(jù)被積函數(shù)的情況來定.例例1111 求求dxxx 251（三角代換很繁瑣）（三角代換很繁瑣）解解21xt 令令, 122 tx,tdtxdx dxxx 251221ttdtt dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 2021/6/1658.1tx 說明說明(3)(3)當(dāng)分母的次數(shù)較高時(shí)當(dāng)分母的次數(shù)較高時(shí), 可采用可采用倒代換倒代換例例1212 求求dxxx )2(17解解令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17 72112ttdtt dttt762

31、1Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 2021/6/1659說明說明(4)(4) 當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式 時(shí)，時(shí)， 可采用令可采用令 （其中（其中 為各根指數(shù)為各根指數(shù)k, l, 的的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù)） ,klxx ntx n例例1313 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(62352261tdtt21611dtt6(arctan )ttC666(arctan).xxC2021/6/1660練習(xí)：求下列不定積分練習(xí)：求下列不定積分.11dxex 41.1d

32、xx x 3.1xdxx2021/6/1661解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx2021/6/1662解解41.1dxx x 41(1)dxx x 令令tx1 ,12dttdx 2411111ttdtt（分母的階較高）（分母的階較高）341tdtt 44114 1dtt 4411(1)4 1d tt 41ln(1)4tC 411ln(1)4Cx 2021/6/16633.1xdxx解解令令6tx ,65dttdx 31xdxx35261tt dtt8261

33、tdtt821 161tdtt 4422(1)(1)1611ttdttt2021/6/166422422(1)(1)(1)16611tttdtdttt642216 (1)61tttdtdtt75366266arctan75ttttt C67511666266266arctan75xxxxxC2021/6/1665基基本本積積分分表表(14)tanlncoslnsec;xdxxCxC (15)cotlnsinlncsc;xdxxCxC (16)secln(sectan );xdxxxC(17)cscln(csccot );xdxxxC2211(18)arctan;xdxCaxaa2021/6/1

34、6662211(20)ln;2axdxCaxaax221(21)arcsin;xdxCaax22221(22)ln().dxxxaCxa2211(19)ln;2xadxCxaaxa2021/6/1667三、小結(jié)三、小結(jié)兩類積分換元法：兩類積分換元法： （一）（一）湊微分湊微分（二）（二）三角代換、倒代換、根式代換三角代換、倒代換、根式代換基本積分表基本積分表(2)2021/6/16684-4 4-4 分部積分法分部積分法2021/6/1669分部積分法分部積分法 前面我們在復(fù)合函數(shù)微分法的基前面我們在復(fù)合函數(shù)微分法的基礎(chǔ)上，得到了換元積分法。換元積分礎(chǔ)上，得到了換元積分法。換元積分法是積分的一

35、種基本方法。本節(jié)我們法是積分的一種基本方法。本節(jié)我們將介紹另一種基本積分方法將介紹另一種基本積分方法分部分部積分法，它是兩個(gè)函數(shù)乘積的微分法積分法，它是兩個(gè)函數(shù)乘積的微分法則的逆轉(zhuǎn)。則的逆轉(zhuǎn)。2021/6/1670問題問題 ?dxxex解決思路解決思路利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xuu 和和)(xvv 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,vuvuuv , vuuvvu ,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部積分公式分部積分公式一、基本內(nèi)容一、基本內(nèi)容()uvdxuv dxu vdx2021/6/1671注：注：分部積分公式的特點(diǎn)：等式兩邊分部積分公

36、式的特點(diǎn)：等式兩邊 u,v 互換位置互換位置分部積分公式的作用：分部積分公式的作用： udv vdu容易求得容易求得利用分部積分公式利用分部積分公式化難為易化難為易例例1 1 求積分求積分.cos xdxx解解sin,duxdx xdxdv xdxxcos xdxxxxsin2cos222顯然，顯然， 選擇不當(dāng)選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行，積分更難進(jìn)行.vu ,求得，求得，當(dāng)左邊的積分當(dāng)左邊的積分 不易不易而右邊的積分而右邊的積分212vx令令,cosxu 212cos()xdx22coscos22xxxdx2021/6/1672解解 令令,xu cosxdxdv xdxxcos xxdsin xd

37、xxxsinsin.cossinCxxx 分部積分公式運(yùn)用成敗的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剡x擇分部積分公式運(yùn)用成敗的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剡x擇u, v 一般來說，一般來說， u, v 選取的原則是：選取的原則是：（1）積分容易者選為）積分容易者選為v （2）求導(dǎo)簡單者選為）求導(dǎo)簡單者選為usinvx,dudx用來求用來求v用來求用來求du.cos xdxx2021/6/1673例例2 2 求積分求積分.xxe dx解解,ux,xe dxdvxxe dxxxxee dx.xxxeeC總結(jié)總結(jié) 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余余)弦函弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積, 就考慮設(shè)就考慮設(shè)冪函數(shù)為冪函數(shù)為u=xxde,dudxxve2021/6/1674練習(xí)：求下列不定積分練習(xí)：求下列不定積分sin d .xx x.2 dxexx2021/6/1675.dsinxxx dsin duxvx x令，解解sin d d( cos )xx xxx.sincosCxxxxxxxd coscosddux則，cosvx ，2021/6/1676.2 dxexx解解 dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分部積分法）（再次使用分部積分法）,xu dv