6-彎曲變形new

1、61 概述概述62 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分63 按疊加原理求梁的按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角撓度與轉(zhuǎn)角64 梁的剛度校核梁的剛度校核 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形 65 梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能66 簡單超靜定簡單超靜定梁的求解方法梁的求解方法67 提高提高梁彎曲剛度的措施梁彎曲剛度的措施6 6 概概 述述研究范圍：等直梁在平面彎曲時位移的計算。研究目的：對梁作剛度校核； 解超靜定梁（變形幾何條件提供補充方程）。1.1.撓度：撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用w(x)表示。 符號： 與 y 軸同向為正，反之為負。2.2.轉(zhuǎn)角：轉(zhuǎn)角：橫截面

2、繞其中性軸轉(zhuǎn)動的角度。用 表示，逆時針轉(zhuǎn)動為正，反之為負。二、撓曲線：變形后，軸線變?yōu)楣饣€，該曲線稱為撓曲線。二、撓曲線：變形后，軸線變?yōu)楣饣€，該曲線稱為撓曲線。 其方程為：其方程為： w =w (x) 撓曲線方程撓曲線方程三、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系：三、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系：一、度量梁變形的兩個基本位移量一、度量梁變形的兩個基本位移量PxwC C1ydxxdwtgdxxdw)()(小變形小變形 6-2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分zzEIxM)(1一、撓曲線近似微分方程一、撓曲線近似微分方程zzEIxMxw)()( 式（2）就是撓曲線近似微分方程。EIxMx

3、w)()( （2）)( )1 ()(1232xwwxw 小變形小變形yxM00)( xwyxM00)( xw)()(xMxwEI 對于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：二、積分法求撓曲線方程（彈性曲線）二、積分法求撓曲線方程（彈性曲線）)()(xMxwEI 1d)()(CxxMxwEI21d)d)()(CxCxxxMxEIw 1.微分方程的積分支點位移條件：支點位移條件：連續(xù)條件：連續(xù)條件：光滑條件：光滑條件：0Aw0Bw0Dw0DCCwwCC右左或?qū)懗蒀C右左或?qū)懗蒀CwwPABCPD討論：討論： 適用于適用于小變形小變形情況下、情況下、線彈性線彈性材料、細長構(gòu)件的材料、細長構(gòu)件

4、的平面彎曲平面彎曲。 可應(yīng)用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移?？蓱?yīng)用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。 積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件確定。積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件確定。 邊界條件邊界條件 連續(xù)條件連續(xù)條件 光滑條件光滑條件 優(yōu)點：使用范圍廣，直接求出較精確；優(yōu)點：使用范圍廣，直接求出較精確； 缺點：計算較繁。缺點：計算較繁。例例1 1 求等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。建立坐標系并寫出彎矩方程)()(LxPxM寫出微分方程的積分并積分應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù))()(xLPxMwEI 12)(21CxLPwEI213)(61CxCxLPEIw061

5、)0(23CPLEIw021)0()0(12CPLwEIEI322161 ; 21PLCPLC 解：PLxy寫出彈性曲線方程并畫出曲線3233)(6)(LxLxLEIPxwEIPLLyw3)(3maxEIPLL2)(2max 最大撓度及最大轉(zhuǎn)角xyPLEIPLxLPEIx2)(21)(22 解：建立坐標系并寫出彎矩方程 )( 0)0( )()(LxaaxaxPxM寫出微分方程的積分并積分12121)(21DwEICaxPwEI2122131)(61DxDEIwCxCaxPEIw )( 0)0( )(21LxawEIaxaxPwEIxyPLa例例2 2 求等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角

6、。應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)061)0(231CPaEIw021)0(121CPaEI32221161 ; 21PaDCPaDC )()(21awaw)()(21aa11DC 2121DaDCaCPLaxy寫出彈性曲線方程并畫出曲線)(a 36)()0( 3)(6)(3223231Lx axaEIPxwax axaxaEIPxwaLEIPaLyw36)(2maxEIPaa2)(2max 最大撓度及最大轉(zhuǎn)角PLaxy例例3 用積分法求下列各梁（剛度為用積分法求下列各梁（剛度為EI）的）的 wA 和和 B 。alxllxlalPxlPalxxlPaxMlPaRB)()(0)(解解(1)求支反力，列

7、彎矩方程：求支反力，列彎矩方程：（b）RBCLaABPxy)()( 0)()( 0)0(21211lwlwlwlww(3)用邊界條件確定積分常數(shù)：用邊界條件確定積分常數(shù)：(2)列撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，求指列撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，求指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角：定截面的撓度和轉(zhuǎn)角：)()(21xwxw6-3 6-3 按疊加原理求梁的按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角撓度與轉(zhuǎn)角一、載荷疊加（直接疊加法）：一、載荷疊加（直接疊加法）： 多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形等于每個載荷單多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形等于每個載荷單獨作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。獨作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。)()()(),(22

8、1121nnnPPPPPP )()()(),(221121nnnPwPwPwPPPw 二、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）：二、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）：結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法) ) 原理說明原理說明: :=+PL1L2ABCBCPL2w1w2等價等價xy21wwwyPL1L2ABC剛化剛化AC段段PL1L2ABC剛化剛化BC段段PL1L2ABCMxyxy例例4 4 按疊加原理求A點轉(zhuǎn)角和C點 撓度。解、載荷分解如圖由梁的簡單載荷變形表， 查簡單載荷引起的變形。EIPawPC63EIPaPA42 EIqLwqC2454EIqaqA33 qqPP=+AAABBBCaaqqP

9、P=+AAABBB Caa疊加qAPAA)43(122qaPEIa EIPaEIqawC624534EIPawPC63EIPaPA42 EIqLwqC2454EIqaqA33 例例6 用疊加法求下列各梁（剛度為用疊加法求下列各梁（剛度為EI）的）的 wA 和和 B 。解：將載荷分解：解：將載荷分解：（a）CL/2L/2ABPLPCL/2L/2ABPCL/2L/2ABPLEIPlEIlPlEIlPwA62)4(3)2(323EIPlEIlPlEIlPB892)2(22 9.8 用疊加法求下列各梁（剛度為用疊加法求下列各梁（剛度為EI）的）的 yA 和和 B 。解：用補齊法：解：用補齊法：（b）E

10、IqllEIlqEIlqEIqlwA3844126)2(8)2(84344EIqlEIlqEIqlB487686333 L/2L/2A(B)qL/2L/2A(B)qL/2L/2A(B)q9.8 用疊加法求下列各梁（剛度為用疊加法求下列各梁（剛度為EI）的）的 wA 和和 B 。解：用截面固化法：解：用截面固化法：（c）EIqaEIqaaEIaqaaEIaqawA24583)2(2116)4(4422EIqaEIaqaEIaqaB123)2(216)4(322 qCaABqaaaCaABqaaaqCaABaaqAqaCaABaaqa2/26-4 6-4 梁的剛度校核梁的剛度校核 maxw max

11、一、梁的剛度條件一、梁的剛度條件其中 稱為許用轉(zhuǎn)角； 稱為許用撓度。通常依此條件進行如下三種剛度計算：、校核剛度：、設(shè)計截面尺寸；、設(shè)計載荷。 max maxwPL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例例7 下圖為一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的E=210GPa，工程規(guī)定C點的=0.00001m,B點的=0.001弧度,試核此桿的剛度。=+=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=+圖圖1 1圖圖2 2圖圖3 3EIaLPawBC162111EILPB16211 EILaPEIMLB3323

12、 EILaPawBC32233解：結(jié)構(gòu)變換，查表求簡單 載荷變形。02BEIaPwC3322PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxyP2BCa=+圖圖1 1圖圖2 2圖圖3 3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxyEILaPEIaPEIaLPwC3316223221EILaPEILPB316221 疊加求復(fù)雜載荷下的變形)(6444dDI 10)4080(6414. 3 1244 48m10188 m1019. 533166223221EILaPEIaPEI

13、aLPwC)(10423. 0)320016400(18802104 . 03164221弧弧度度 EILaPEILPB 001.010423.04max m10m1019.556maxw校核剛度6-5 簡單超靜定簡單超靜定梁的求解方法梁的求解方法1、處理方法：變形協(xié)調(diào)方程、物理方程與平衡方程相結(jié)合，求全部未知力。解：建立靜定基 確定超靜定次數(shù)，用反力代替多余約束所得到的結(jié)構(gòu)靜定基（基本結(jié)構(gòu)）。=EIq0LABLq0MABAq0LRBABxy幾何方程變形協(xié)調(diào)方程0BBRBqBwww+q0LRBAB=RBABq0AB物理方程變形與力的關(guān)系補充方程EILRwEIqLwBBRBqB3;8340383

14、4 EILREIqLB83qLRB 求解其它問題（反力、應(yīng)力、 變形等）zEIxMw)( xyPLEIPLLww3)(3maxF增大增大EI。F減小跨度。減小跨度。F改善梁的受力情況。改善梁的受力情況。F增加支承。增加支承。EIPLw33maxEIPLw3max021. 0EIPLw3max014. 0EIPLw3max0073. 0 合理布置外力（包括支座），使合理布置外力（包括支座），使 M max 盡可能小。盡可能小。PL/2L/2Mx+PL/4PL/43L/4Mx3PL/16P=qLL/54L/5對稱MxqL2/10EIqLw4max013.0EIqLw43max107875. 0EIqLw43max10326. 0Mx82qLqLL/5qL/54