度量空間的進(jìn)一步例子

1、第一節(jié) 度量空間的進(jìn)一步例鯊、* 子校：西華師范大學(xué) 院系：數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 姓名：孔彪 指導(dǎo)教師：何中全教學(xué)目標(biāo)：（一）知識(shí)與技能目標(biāo)：1把在第二章的維歐氏空間中學(xué)習(xí)過(guò)的鄰域、極限、開(kāi)集、 閉集等相應(yīng)概念轉(zhuǎn)移到度量空間中來(lái)。2引入更多的度量空間的例子和泛函分析中的證明思想。（二）過(guò)程與方法目標(biāo)：從一些具體的空間實(shí)例中加深對(duì)基本概念的理解。教材分析：（一）教學(xué)重點(diǎn)：離散度量空間，序列空間，有界空間，可測(cè)函數(shù)空間, 的性質(zhì)。（二）教學(xué)難點(diǎn)：序列空間，有界函數(shù)空間課型：新授課教學(xué)方法：講解法教學(xué)過(guò)程：復(fù)習(xí)引入：（1）復(fù)習(xí)第二章n維歐氏空間中的鄰域，開(kāi)集、閉集、極限等相應(yīng)概念。（2）今天學(xué)習(xí)的度量空間

2、與n維歐氏空間有什么樣子的區(qū)別和聯(lián)系呢？進(jìn)而舉例說(shuō)明常用的幾種不同度量空間。講解新課：例1離散的度量空間設(shè)X是任意的非空集合，對(duì)X中任意兩點(diǎn)“ “ ，令 容易驗(yàn)證（）滿足第二章中關(guān)于舉例的定義中的條件i吸r。我們稱“）為離散的估量空間。 由此可見(jiàn)，在任何非空集合上總可以定義距離。狡它成為度量空間。例2序列空間S令S表示實(shí)數(shù)列（或復(fù)數(shù)列）的全體，對(duì)S中任意兩點(diǎn)，6）及八他,心，億，,）令H1 +呦易知心，滿足距離條件r ,下血驗(yàn)證滿足距離條件2“。為此我們首先證明對(duì)任意兩個(gè) 復(fù)數(shù)“和蔦成立不等式 S + M三也1 + 卜 + 科 1 + pz|/(0= 一1 + t事實(shí)上，我們考察上的函數(shù)仃+廠

3、）-所以M）在03上單調(diào)增加，由不等式訃我們得H H H , H由于在血8）上, 令|卜+切1 + b + b/（0= . 1 01 + p/| + |/?|1 + |u | + |/? |1 + p| + |/?| 卜 |+ 1|+1令z = (,歹2,，”，)嚴(yán)4Y，一Gd 則“ +廠久，代入上面不等式，得 已一久|三巨一個(gè)I k廠久I由此立即可知/(“滿足距離條件2。，即S按(“)成一度量空間。例3有界函數(shù)空間B(A)設(shè)A是一給定的集合，令B(A)表示A上有界實(shí)值(或復(fù)值)函數(shù)全體，對(duì)B(A)中任意識(shí) X y,為2 義 d(x，y)= sup|x(f)_ y(f)|下面驗(yàn)證d(“滿足條件

4、和2。4-.V)顯然是非負(fù)的。又d()= 0等價(jià)于對(duì)一切，成立 M)=M),所以一，眼,y)滿足條件1。,此外，對(duì)所有的成立所以卜(f)-|x(/)- z(/)|+ |z(/)- y(t) sup |x(/)- ?(f)|+ sup|z(r)- y(/)|sup |x(/)- y(t)e rcod（x,.y）=工（兒一 尸I則d是廠的距離。距離條件1譙容易禪出眇 現(xiàn)檢驗(yàn)條件2。、2對(duì)任何正整數(shù)n,和（兒兒，兒）都是q中的元索，由Cauchy 不等式JI JI再令右端，即得coco再令左端的“TA-i即得由此可得coco遼適昇8Jt-I I-lE(XX + y J =工 x； + 2Xk yk + X lt-1Jt-I1-11 18/ CO0、28| ( 、2了85工牡+ 2工昭工y； +工昇=2；+工昇A-lIZ*-l) X-lI JI )丿的三點(diǎn)不等式令取m” = 和一匕。以x* =