2-4 角動量 角動量守恒

1、1. 1. 質(zhì)點的角動量（動量矩）質(zhì)點的角動量（動量矩） 當一個質(zhì)點繞著空間某個點旋轉(zhuǎn)時，我們通常當一個質(zhì)點繞著空間某個點旋轉(zhuǎn)時，我們通?？梢砸胍粋€新的物理量角動量來描述它?？梢砸胍粋€新的物理量角動量來描述它。rmmo定義定義：質(zhì)點對質(zhì)點對O點的角動量為點的角動量為)(vmrPrL角動量大小角動量大小 （面積）（面積）sinrmvL rLvm角動量方向角動量方向OLmrLvmOvmr 當質(zhì)點作圓周運動時，由于當質(zhì)點作圓周運動時，由于 ，質(zhì)點對圓，質(zhì)點對圓心的角動量大小為心的角動量大小為rmLr2/LvmOL2/ rvmLrO行星在公轉(zhuǎn)軌道上的角動量行星在公轉(zhuǎn)軌道上的角動量pprddL si

2、nrmrmOZL 如果質(zhì)點在垂直于軸的平面內(nèi)運動，則質(zhì)點相對于如果質(zhì)點在垂直于軸的平面內(nèi)運動，則質(zhì)點相對于O點點的角動量與相對于的角動量與相對于Z軸的角動量是相同的。軸的角動量是相同的。rmOZL 如果質(zhì)點平行于如果質(zhì)點平行于z軸運動，則質(zhì)點相對于軸運動，則質(zhì)點相對于O點的角動量在垂點的角動量在垂直于軸的平面內(nèi)，此時其相對于直于軸的平面內(nèi)，此時其相對于z軸的角動量是等于零的。軸的角動量是等于零的。rmOZcosmsinm 質(zhì)點的角動量既與其動量有關，同時還與質(zhì)點的角動量既與其動量有關，同時還與質(zhì)點相對于固定點的矢徑有關，因此，一個質(zhì)質(zhì)點相對于固定點的矢徑有關，因此，一個質(zhì)點的角動量必須明確是哪

3、個參照系、對哪個固點的角動量必須明確是哪個參照系、對哪個固定點的。定點的。在直角坐標系中，角動量的分量表示在直角坐標系中，角動量的分量表示 Lrp()() xyzxiyjzkp ip jp k在各坐標軸的分量在各坐標軸的分量xzyyxzzyxLypzpLzpxpLxpyp分別稱為對分別稱為對 、 、 軸的角動量軸的角動量xyzxzy Lrp()() xyzxiyjzkp ip jp k 2、力矩、力矩FrM sinFrM單位：牛單位：牛米（米（N m） rsin rOAMFPrFOZM 如果作用力如果作用力F在垂直于在垂直于z軸的平面內(nèi)，則該力軸的平面內(nèi)，則該力F相對于軸相對于軸上上O點的力矩

4、與相對于點的力矩與相對于Z軸的力矩是相同的。軸的力矩是相同的。rsin rFOZM 如果作用力如果作用力F平行于平行于Z軸，則該力軸，則該力F相對于軸上相對于軸上O點的力矩點的力矩在垂直于在垂直于Z軸的平面內(nèi)，該力矩在軸的平面內(nèi)，該力矩在Z軸上的投影等于零。軸上的投影等于零。rFOZF/F在直角坐標系中在直角坐標系中()() xyzMrFxiyjzkF iF jF kxzy M 在各坐標軸的分量在各坐標軸的分量 xzyyxzzyxMyFzFMzFxFMxFyF分別稱為對分別稱為對 、 、 軸的矩軸的矩xyz3、質(zhì)點的角動量定理和角動量守恒定律：、質(zhì)點的角動量定理和角動量守恒定律：對對t t求導

5、求導)(ddddPrttLtprPtrdddd0)(dd,ddvmvptrvtrMFrtprtLddddPrL 質(zhì)點的角動量定理：質(zhì)點的角動量定理：作用在質(zhì)點上的合外力對某給定點作用在質(zhì)點上的合外力對某給定點O的沖的沖量矩等于該質(zhì)點對量矩等于該質(zhì)點對O點的角動量的增量。點的角動量的增量。質(zhì)點的角動量守恒定律：如果該質(zhì)點所受力對質(zhì)點的角動量守恒定律：如果該質(zhì)點所受力對O點的力矩等于點的力矩等于零，則該質(zhì)點對零，則該質(zhì)點對O點的角動量將守恒。點的角動量將守恒。tLMdd222121LLLddtMLLtt4. 4. 有心力有心力 有心力的定義：有心力的定義：運動質(zhì)點所受的力的作用線始運動質(zhì)點所受的力

6、的作用線始終通過某個給定點，而且力的大小也只依賴于質(zhì)點終通過某個給定點，而且力的大小也只依賴于質(zhì)點對該給定點的距離，這種力叫做對該給定點的距離，這種力叫做有心力有心力。這個給定。這個給定點叫做點叫做力心力心。質(zhì)點在有心力作用下的運動有何特點？。質(zhì)點在有心力作用下的運動有何特點？常量pd常矢量 pr表明行星在運動過程中，對太陽的角動量保持不變。表明行星在運動過程中，對太陽的角動量保持不變。行星繞太陽的運動行星繞太陽的運動 與與 始終保持平行。始終保持平行。FrOpprrddFF 由于有心力相對于力心的力矩始由于有心力相對于力心的力矩始終等于零，因此終等于零，因此質(zhì)點在有心力作用下，質(zhì)點在有心力作

7、用下，角動量守恒。如果該有心力是平方反角動量守恒。如果該有心力是平方反比力，則機械能也守恒。比力，則機械能也守恒。F1v2v2r1rom1122rvrv1122rmvrmv表明小球?qū)A心的角動量保持不變（下面觀看演示）表明小球?qū)A心的角動量保持不變（下面觀看演示）實驗中發(fā)現(xiàn)實驗中發(fā)現(xiàn) 質(zhì)點的角動量守恒實例質(zhì)點的角動量守恒實例5.5.質(zhì)點系的角動量定理和角動量守恒定理質(zhì)點系的角動量定理和角動量守恒定理 對于由對于由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，系統(tǒng)對固定點個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，系統(tǒng)對固定點o的總角動量為各質(zhì)點對的總角動量為各質(zhì)點對o點點角動量的矢量和，角動量的矢量和，即系統(tǒng)對即系統(tǒng)對點點的總角動量為的總角

8、動量為: :兩邊對時間求導，可得兩邊對時間求導，可得11nniiiiiLLrp11dddd()dddd nniiiiiiiirpLrpprtttt式中第一項式中第一項d0dviiiirppt式中第二項式中第二項111dd nnniiiiiiiiprrFMt11dd nniiiiiLrFMt即即即即niniiniexiMMdtLd11)()(imjmjifijfOd0)(1niiniM即即由于任何一對內(nèi)力矩的矢量和為零，因此由于任何一對內(nèi)力矩的矢量和為零，因此, 上上式可寫作式可寫作這表明：這表明：質(zhì)點系所受的合外力矩等于系統(tǒng)的角質(zhì)點系所受的合外力矩等于系統(tǒng)的角動量對時間的變化率動量對時間的變化

9、率質(zhì)點系的角動量定理質(zhì)點系的角動量定理 exniexiMMdtLd1)(為質(zhì)點系受到的合外力矩為質(zhì)點系受到的合外力矩exM 1） 質(zhì)點系的角動量定理與質(zhì)點的角動量定理質(zhì)點系的角動量定理與質(zhì)點的角動量定理在形式上是相同的。在形式上是相同的。 2）對質(zhì)點系來說，角動量變化為系統(tǒng)總角動）對質(zhì)點系來說，角動量變化為系統(tǒng)總角動量的變化，合外力矩為全部外力矩的矢量和；量的變化，合外力矩為全部外力矩的矢量和； 3）對于質(zhì)點系中的任意一個質(zhì)點來說，內(nèi)力）對于質(zhì)點系中的任意一個質(zhì)點來說，內(nèi)力矩對角動量改變?nèi)杂杏绊?。矩對角動量改變?nèi)杂杏绊?。?nèi)力矩的作用是將角內(nèi)力矩的作用是將角動量從一個質(zhì)點轉(zhuǎn)移到另一個質(zhì)點上去，總

10、角動動量從一個質(zhì)點轉(zhuǎn)移到另一個質(zhì)點上去，總角動量保持不變。量保持不變。 需要強調(diào)：需要強調(diào)：如果質(zhì)點系受到的合外力矩等于零，即如果質(zhì)點系受到的合外力矩等于零，即0exM0dtLd質(zhì)點系的角動量將守恒質(zhì)點系的角動量將守恒例、一質(zhì)量為例、一質(zhì)量為m=1kg的質(zhì)點在的質(zhì)點在xy平面內(nèi)沿平面內(nèi)沿x軸正方軸正方向運動，某一時刻該質(zhì)點的速度為向運動，某一時刻該質(zhì)點的速度為1m/s，位于如圖，位于如圖所示的位置，則此時該質(zhì)點相對于原點所示的位置，則此時該質(zhì)點相對于原點O的角動量的角動量大小為多少？大小為多少？O43yxvmr例、一力例、一力 ，其作用點的矢，其作用點的矢徑為徑為 ，則該力對坐標原點的，則該力

11、對坐標原點的力矩為：力矩為：（A） （B） （C） （D） 例例 質(zhì)量為質(zhì)量為m的小球系在繩子的一端，繩穿過一光滑鉛直套管，的小球系在繩子的一端，繩穿過一光滑鉛直套管，使小球限制在一光滑水平面內(nèi)運動，先使小球以速度使小球限制在一光滑水平面內(nèi)運動，先使小球以速度 繞管心作半徑為繞管心作半徑為 的圓周運動，然后向下拉繩，使小球作圓的圓周運動，然后向下拉繩，使小球作圓周運動的半徑縮短為周運動的半徑縮短為 ，求：，求： （1）小球距管心為）小球距管心為 時的速時的速度；（度；（2）半徑由）半徑由 縮短到縮短到 的過程中，拉繩的力所作的功。的過程中，拉繩的力所作的功。1r2r1r2r1v2r例、一水平剛

12、性輕桿，質(zhì)量不計，桿長例、一水平剛性輕桿，質(zhì)量不計，桿長20cm，其上穿有兩個，其上穿有兩個小球，開始時，兩小球相對桿中心小球，開始時，兩小球相對桿中心O對稱放置，分別與對稱放置，分別與O相距相距5cm，兩者之間用細線拉緊，現(xiàn)在細桿繞通過中心，兩者之間用細線拉緊，現(xiàn)在細桿繞通過中心O的豎直固的豎直固定軸作勻角速轉(zhuǎn)動，角速度為定軸作勻角速轉(zhuǎn)動，角速度為 ，將細繩燒斷，讓兩球向桿的，將細繩燒斷，讓兩球向桿的兩端滑去，不考慮轉(zhuǎn)軸和空氣的摩擦，當兩球滑到桿端時，兩端滑去，不考慮轉(zhuǎn)軸和空氣的摩擦，當兩球滑到桿端時，細桿轉(zhuǎn)動的角速度為多少？細桿轉(zhuǎn)動的角速度為多少？0AOOCRR3例、質(zhì)量為例、質(zhì)量為m的火箭，以水平速度的火箭，以水平速度 0沿地球表面從沿地球表面從A點發(fā)射點發(fā)射出去，如圖所示，地軸出去，如圖所示，地軸O