勾股定理題型總結(jié)

1、勾股定理1:勾股定理2、勾股逆定理 3:勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見(jiàn)的是拼圖的方法，用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是 圖形經(jīng)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變 根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理 常見(jiàn)方法如下:（b a）2 I化簡(jiǎn)可證.4 1 ab方法4SBe方形EFGHS正方形ABCD2方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為S 4 -ab c2 2ab2222大正方形面積為S (a b) a 2ab b所以a2 b2 c2方法三：S梯形1 1 12(a b) (a b)

2、S梯形 2S ade S abe 2 abc2，梯形22，化簡(jiǎn)得證4:勾股數(shù)2 2 2能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a b c中，a，b，c為正整數(shù)時(shí)，稱a，b，c為一組勾股數(shù) 記住常見(jiàn)勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5 ; 6,8,10； 5,12,13 ； 7,24,25 ; 8,15,17 ; 9,40,41用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù):n21,2n,n21(n 2, n為正整數(shù))；2 22n 1,2n 2n,2n 2n 1（ n 為正整數(shù)）m22 2n ,2mn,m2n （ m n, m , n為正整數(shù)）勾股定理典型例題及專項(xiàng)訓(xùn)練 專題一：直接考查勾股定理已知

3、等腰三角形腰長(zhǎng)是10,底邊長(zhǎng)是16,求這個(gè)等腰三角形的面積。2、已知：如圖，Z B=Z D=90 , Z A=60 , AB=4 CD=2求：四邊形 ABCD勺面積。3:在 ABC中，AB=13 AC=15高AD=12貝U BC的長(zhǎng)為多少?4:已知如圖，在 ABC中, Z C=60 , AB，3 , AC=4 AD是 BC邊上的高，求BC的長(zhǎng)。5、如圖，在 Rt ABC中，/ ACB=90 , CDLAB于 D,設(shè) AB=c AC=b BC=a CD=h丄丄丄求證：a2 b2 h26.如圖， ABC中, AB=ACZ A=45o, AC的垂直平分線分別交 AB 則BD等于(?)A. 1?B.二

4、？C.?D. 17.已知一直角三角形的斜邊長(zhǎng)是 2,周長(zhǎng)是2+ 6，求這個(gè)三角形的面積.8.如圖RtABC, C 90 AC 3,BC 4,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積6.如圖， ABC中, AB=AC=20 BC=32 D是 BC上一點(diǎn)，且 ADLAC,求 BD的長(zhǎng).7.如圖， ABC中, Z ACB=90 , AC=BC P是厶ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足 PA=3 PB=1, ?PC=2 求Z BPC的度數(shù).8.已知 ABC中, Z ACB=90 , AC=3,BC=4,(1) AD平分Z BAC交BC于D點(diǎn)，求CD長(zhǎng)A(2) BE平分/ ABC交AC于E,求CE長(zhǎng)專題二勾股定理的證明1

5、、如圖，直線1上有三個(gè)正方形a, b c，若a, c的面積分別為5和11,則b的面積為()(A) 4(B) 6(C) 16(D) 552、如圖是2002年8月在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)中的圖案，其中四邊形ABC環(huán)口 EF都是正方形.證： ABFA DAEC圖圖第3題圖3、圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為(m n)的正方形，小穎將圖中的陰影部分拼成圖的形狀，由圖和圖能驗(yàn)證的式子是()2 2 2 2 2A (m n) (m n) 4mn b (m n) (m n ) 2mn2 2 2 2 2C (m n) 2mn m n d (m n)(m n) m n 專題三網(wǎng)格中的勾股定理1、如圖1,在單位正方形組

6、成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有 AB CD EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一 個(gè)直角三角形三邊的線段是()V1AA(A) CDEF、GH(B)ABEF、GH( C)AB CDGH( D)AB CD EF/Sa2、如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,則網(wǎng)格上的三角形ABC中,邊長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的邊數(shù)是()AA. OB. 1C. 2D. 33、（ 2010年四川省眉山市）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1, A、B、C是小正方形A. 90 B. 60 C. 45 D.304、如圖，小正方形邊長(zhǎng)為 上的高為（）1,連接小正方形的三個(gè)得到，可得的頂點(diǎn)，則/ ABC的度數(shù)為（）2 2io-5 5 5 5 5、如圖,每個(gè)小

7、格的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，請(qǐng)以圖中的格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)邊長(zhǎng)為 的三角形.所畫的三角形是直角三角形嗎 ？說(shuō)明理由.&如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1,在圖中畫出面積為2的三個(gè)形狀不同的三角形（要求 頂點(diǎn)在交點(diǎn)處，其中至少有一個(gè)鈍角三角形）專題四實(shí)際應(yīng)用建模測(cè)長(zhǎng)1、如圖（8），水池中離岸邊D點(diǎn)米的C處，直立長(zhǎng)著一根蘆葦，出水部分 BC的長(zhǎng)是米, 把蘆葦拉到岸邊，它的頂端 B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度AC.2、有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高米的墻上，任何東西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動(dòng)打開(kāi)，一個(gè)身高米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開(kāi)？3、臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)

8、形成氣旋風(fēng)暴，有 極強(qiáng)的破壞力，如圖，據(jù)氣象觀測(cè)，距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會(huì)減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心 現(xiàn)正以15千米/時(shí)的速度沿北偏東30o方向往C移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受 風(fēng)力達(dá)到或走過(guò)四級(jí)，則稱為受臺(tái)風(fēng)影響.（1）該城市是否會(huì)受到這交臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說(shuō)明理由（2）若會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市持續(xù)時(shí)間有多少？（3）該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)？ 專題五梯子問(wèn)題1、如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米?2、 一架方梯長(zhǎng)25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端

9、離墻 7米，（1）這 個(gè)梯子的頂端距地面有多高？ （2）如果梯子的頂端下滑了 4米，那么梯子的 底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？3、 如圖，梯子AB斜靠在墻面上，Ad BQ AC=BC當(dāng)梯子的頂端 A沿AC方 向下滑x米時(shí)，梯足B沿CB方向滑動(dòng)y米，則x與y的大小關(guān)系是（）x yx yx y不能確定專題六最短路線1、如圖，學(xué)校教學(xué)樓旁有一塊矩形花鋪，有極少數(shù)同學(xué)為了避開(kāi)拐角走“捷徑”，在花 鋪內(nèi)走出了一條“路”.他們僅僅少走了（）步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草.B、5C、42、如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20叫高AB為10 cm，BC是上底面的直徑。一螞蟻從點(diǎn) A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn) C

10、,試求出爬行的最短路程。BC3、如圖，有一個(gè)圓柱體，底面周長(zhǎng)為 20 cm，高AB為10 cm，在圓柱的下底 面A點(diǎn)處有一只螞蟻，它想繞圓柱體側(cè)面一周爬行到它的頂端 C點(diǎn)處，那么 它所行走的路程是多少？DDCA4、如圖，假不變，螞蟻4、如圖，假 不變，螞蟻體的玻璃杯，外部點(diǎn)A處爬到杯子的內(nèi)壁到達(dá)高 CD的中點(diǎn)E處,的厚度不計(jì)）離是多少?AD是杯底直徑，C是杯口一點(diǎn)，其他已知條件最短該走多遠(yuǎn)呢？（杯子螞蟻從一個(gè)棱長(zhǎng)為1米，且圭寸閉的正方體盒子外部的頂點(diǎn) A向 頂點(diǎn)B爬行，問(wèn)這只螞蟻爬行的最短路程為多少米？6、如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15cm寬為10cm高為20cm,點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離為5cm 一只螞蟻如

11、果要沿著長(zhǎng)方體的表面從 A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，需要爬行的最短距7、如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為2m、，A和B是臺(tái)階上兩BD個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，問(wèn)螞蟻沿著臺(tái)階爬行到 B點(diǎn) 的最短路程是多少？專題七折疊三角形1、如圖，一塊直角三角形的紙片，兩直角邊 AC=6cm, BC=8cm。 邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊 AB上，且與AE重合，求CD的長(zhǎng)0 2、如圖，小潁同學(xué)折疊一個(gè)直角三角形的紙片， 使A與B重合，折痕為DE CC若已知AC=10cm BC=6cmf爾能求出CE的長(zhǎng)嗎？ 3、如圖， ABC的三邊BC=3 AC=4 AB=5,把厶ABC沿最

12、長(zhǎng)邊AB翻折后得到 ABC，則CC的長(zhǎng)等于（）6 12 13 245555專題八折疊四邊形ABC1、折疊矩形 ABCD勺一邊AD,點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，已知AB=8CM,BC=10CM,求（1） CF的長(zhǎng)（2） EC的長(zhǎng).2、在矩形紙片ABCD中AD=4cm AB=10cm按圖所示方式折疊，使點(diǎn) B與點(diǎn)D重合，折痕為B幾求（1） DE的長(zhǎng)；（2） EF的長(zhǎng)。3. 矩形紙片ABCD勺邊長(zhǎng)AB=4, AD=2將矩形紙片沿EF折疊，使點(diǎn)A與 點(diǎn)C重合，折疊后在其一面著色（如圖），則著色部分的面積為4、如圖2-3，把矩形ABCDft直線BD向上折疊，使點(diǎn)C落在C的位置上，已知AB=?3 BC=7重合部分厶EBD勺面積為.5、如圖5,將正方形ABCD折疊，使頂點(diǎn)A與CD邊上的點(diǎn)M重合，折痕交AD于E,交BC 于F,邊AB折疊后與BC邊交于點(diǎn)G如果M為CD邊的中點(diǎn)，且DE=6求正方形ABCD勺 面積&矩形ABCD中AB=6 BC=8先把它對(duì)折，折痕為EF,展開(kāi)后再沿BG折疊，使A落在 EF上的A1，求第二次折痕BG的長(zhǎng)。專題九旋轉(zhuǎn)問(wèn)題:1、如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2,PB= 如圖所示， ABC是等腰直角三角形，AB