第九講(邊緣分布及隨機變量的獨立性)

1、練習七練習七 參考答案參考答案一一 解：解： 所以可能的取值為所以可能的取值為0，1，4，9,且且YX2 P YP XP XP YP XP XP XP YP XP XP XP YP XP X22220000.20;11110.200.200.40;44220.100.150.25;9930.10. Y 0 1 4 9P 0.25 0.40 0.15 0.10所以所以Y的分布律為的分布律為二二 解：方法一解：方法一YXyyFyP YyPXyP Xyfx dxdxx33332(1)(1)( )1(1) 1( )(1) YYyfyFyyyy233 2613(1)( )( )(1) 1(1) 1(1)

2、 yx31 方法二方法二 由于函數由于函數 在在R上為嚴格單上為嚴格單調減函數，從而有反函數調減函數，從而有反函數xh yy3( )(1) YXfyfh yh yyyyy233 26( ) ( )( )13(1)(1) 1(1) 1(1) YyyxXyyyyF yP YyPXyPXfx dxedx2211222112211( )1 2221( )2 yyYYyyyfyFyeeey22112222141111( )( )222212(1) 三三 解：解：1）當）當 時時y1 2( )120( )0YYFyP YyPXyfy 當當 時時y1 yYeyfyy141,1( )2(1)0, 其其他他22

3、2,0( )0,yYeyfy 其其他他2222222222)(21)(21)()(21)()()(,0, 0)()()(0)2yyyYYxyyYYeyeyeyFyfdxeyXyPyXPyFyyXPyYPy Fy時當時，當第九講第九講 邊緣分布及邊緣分布及隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性 二維聯(lián)合分布全面地反映了二維隨機變量二維聯(lián)合分布全面地反映了二維隨機變量(X,Y)的取值及其概率規(guī)律的取值及其概率規(guī)律. 而單個隨機變量而單個隨機變量X,Y也具有自己的概率分布也具有自己的概率分布. 那么要問那么要問:二者之間有二者之間有什么關系呢什么關系呢?這一節(jié)里這一節(jié)里,我們就來探求這個問題我們就來探求這

4、個問題 .二維隨機變量二維隨機變量 (X,Y)作為一個整體作為一個整體,具有分布函具有分布函數數 ,F x y而而 和和 都是隨機變量都是隨機變量 ,XY也有各自的分也有各自的分布函數布函數,分別記為分別記為 ,XYFxFy XFxP Xx 變量變量 (X,Y) 關于關于 X 和和 Y的邊緣分布函數的邊緣分布函數.依次稱為二維隨機依次稱為二維隨機 ,YFyP YyP XYyFy 一、邊緣分布函數一、邊緣分布函數 ,P Xx Y ,F x一般地，對一般地，對離散型離散型 r.v ( X,Y )，則則 (X,Y) 關于關于X 的邊緣分布律的邊緣分布律為為X和和Y 的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律為為, 2

5、 , 1,),(jipyYxXPijji 11,ijijjjPXx Yyp ,2,1iixXP1,jjiiyYxXxX二、離散型隨機變量的邊緣分布律二、離散型隨機變量的邊緣分布律. ip (X,Y) 關于關于 Y 的邊緣分布律的邊緣分布律為為jyYPjiijjiippyYxXP.11, 1,2,j 例例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設把一枚均勻硬幣拋擲三次，設X為三次為三次拋擲中正面出現的次數拋擲中正面出現的次數 ，而，而 Y 為正面出現次數與為正面出現次數與反面出現次數之差的絕對值反面出現次數之差的絕對值 , 求求 (X ,Y) 的分布律的分布律 .解解 ( X, Y ) 可取值可取值 (0,3

6、) , (1,1) , (2,1) , (3,3)PX=0, Y=3PX=1, Y=1 PX=2, Y=1PX=3, Y=0YX1301 83 8001233 8001 82311221 2311222 31 2 1 8. =3/8=3/8 31 2 1 8 PX=0=PX=1=PX=2=PX=3=PY=1=PY=3=1/8,PX=0, Y=1+PX=0, Y=3=3/8,PX=1, Y=1+PX=1, Y=3=3/8,PX=2, Y=1+PX=2, Y=3PX=3, Y=1+PX=3, Y=3=1/8. 30,1kP Xk Y =3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8. 30,3k

7、P Xk Y 我們常將邊緣分布律寫在聯(lián)合分布律表格的邊我們常將邊緣分布律寫在聯(lián)合分布律表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個名詞緣上，由此得出邊緣分布這個名詞.YX1301 83 8001233 8001 8 jP Yy iP Xx 1 83 83 81 86 82 8聯(lián)合分布與邊緣分布的關系聯(lián)合分布與邊緣分布的關系由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.YX1301 83 8001233 8001 8 jP Yy iP Xx 1 83 83 81 86 82 8 對對連續(xù)型連續(xù)型 r.v ( X,Y ) ，X 和和Y

8、 的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為則則 ( X,Y ) 關于關于 X 的邊緣概率密度的邊緣概率密度為為),(yxfdyyxfxfX),()( dyyxfdxxFxFxX,事實上事實上 , ,XXfxFxfx y dy 三、連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度三、連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度 x ( X,Y )關于關于Y 的邊緣概率密度的邊緣概率密度為為dxyxfyfY),()( y 例例2 設二維連續(xù)型隨機變量設二維連續(xù)型隨機變量( X ,Y ) 的概率密度為的概率密度為xyxyyf x y8,0,01,( , )0, 其其他他聯(lián)合分布函數為聯(lián)合分布函數為求邊緣概率密度與邊緣分布函數求邊緣概率密度與邊

9、緣分布函數F (x,y) =0, x 0 或或 y 0y4 , 0 x 1, 0 y x ，2x2y2y4, 0 x 1, x y 1 ，2x2x4 , 0 x 1, y 1 ，y4 , x 1, 0 y x ，1, x 1, y x ，解：解：),()( xFxFX=0, x 0，2x2x4 , 0 x 1, 1, x 1當當x0時時),()( xFxFX),()( xFxFXxx242 當當 時時x01 1 0 當當 時時x1 XFx( )0, y 0y4 , 0 y 1, 1 , y 1=),()(yFyFY dyyxfxfX),()( 其他其他, 010,81xxvdvxv=u10uv

10、1 其其他他, 010,443xxxYfyf x y dx( )( , ) 08,010,yuyduy 其其他他v=u10uv1yy34,010, 其其他他XXxxxfxFx344,01( )( )0, 其其他他YYyyfyFy34,01( )( )0, 其其他他或或 yxyyxxyxf,)()(2)()1(21exp121),(2222212121212221 于于是是 21122112221212221)()(2)( xxyyxy dyeexfxyxX2112222121)1(212)(221121)( dyyxfxfX),()(由由于于 令令),(1111222 xyt則則有有 同理同理

11、 yeyfyY,21)(22222)(2 xedteexfxtxX,2121)(2121221212)(122)(1 那么要問，在什么情況下，由邊緣分布那么要問，在什么情況下，由邊緣分布可以唯一確定聯(lián)合分布呢？可以唯一確定聯(lián)合分布呢？兩事件兩事件A,B獨立的定義是：獨立的定義是：若若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件則稱事件A,B獨立獨立 . 設設 X,Y是兩個是兩個r.v，若對任意的，若對任意的x,y,有有)()(),(yYPxXPyYxXP 則稱則稱X,Y相互相互獨立獨立 .四、四、 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性1、兩個隨機變量的相互獨立性、兩個隨機變量的相互獨立性定義定義)()()

12、,(yFxFyxFYX用分布函數表示用分布函數表示,即即 設設 X,Y是兩個是兩個r.v，若對任意的，若對任意的x,y,有有則稱則稱X,Y相互相互獨立獨立 . 它表明，兩個它表明，兩個r.v相互相互獨立時，它們的聯(lián)合獨立時，它們的聯(lián)合分布函數等于兩個邊緣分布函數的乘積分布函數等于兩個邊緣分布函數的乘積 .因此因此,二維隨機變量二維隨機變量 ( X, Y ) 相互獨立相互獨立,則邊緣分則邊緣分布完全確定聯(lián)合分布布完全確定聯(lián)合分布.),(yxf其中其中是是X,Y的聯(lián)合密度，的聯(lián)合密度，)()(),(yfxfyxfYX 幾乎處處成立，則稱幾乎處處成立，則稱X,Y相互相互獨立獨立 .對任意的對任意的

13、x, y, 有有 若若 (X,Y)是連續(xù)型是連續(xù)型r.v ，則上述獨立性的，則上述獨立性的定義等價于：定義等價于：這里這里“幾乎處處幾乎處處成立成立”的含義是：的含義是：在平面上除去面在平面上除去面積為積為0的集合外，的集合外，處處成立處處成立.分別是分別是X的的)(),(yfxfYX邊緣密度和邊緣密度和Y 的邊緣密度的邊緣密度 . 若若 (X,Y)是離散型是離散型r.v ，則上述獨立性的，則上述獨立性的定義等價于：定義等價于：)()(),(jijiyYPxXPyYxXP則稱則稱X和和Y相互相互獨立獨立.對對(X,Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi, yj),有有jiijppp 即即 若兩

14、個隨機變量相互獨立若兩個隨機變量相互獨立, 且又有相同且又有相同 的分布的分布, 不能說這兩個隨機變量相等不能說這兩個隨機變量相等. 如如XP-1 10.5 0.5Y P-1 10.5 0.5X ,Y 相互獨立，則相互獨立，則X-1 1 -1 10.25 0.25Y 0.25 0.25P X = Y = 0.5, 故不能說故不能說 X = Y .注意注意 02222212122222121212122)(22)(1)()(2)()1(212212121121 yxyyxxeee證證對任何對任何 x,y 有有21,yx取取);,;,(),(222211NYX相互獨立相互獨立命題命題 212212

15、121121 故故0 將將0代入代入),(yxf即得即得)()(),(yfxfyxfYX 因為因為X與與Y 相互獨立相互獨立,解解所以所以ijijP Xx YyP Xx P Yy, 0.3 0.60.18 于是于是P XYP XP Y1,212 例例4 設兩個獨立的隨機變量設兩個獨立的隨機變量 X 與與Y 的分布律為的分布律為Y 2 4PY 0.6 0.4X 1 3PX 0.7 0.3求隨機變量求隨機變量 (X,Y) 的分布律的分布律P XYP XPY1,41 4 P XYP XPY3,23 2 P XYP XPY3,43 4 0.70.60.42 0.3 0.40.12 0.70.40.28

16、 因此（因此（X,Y)的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為YX2 4 0.18 0.12 3 0.42 0.28 例例5 已知已知 ( X, Y ) 的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為其他, 010 , 10,4),(1yxxyyxf(1)其他, 010 ,0,8),(2yyxxyyxf(2)討論討論X ,Y 是否獨立？是否獨立？解解(1)11xx2 ,01,0, 其其他他yy2 ,01,0, 其其他他顯然，顯然，)()(),(1yfxfyxfYX 故故X ,Y 相互獨立相互獨立 dyyxfxfX),()(xydyx104,01,0, 其其他他Yfyf x y dx( )( , ) xydxy104,0

17、1,0, 其其他他(2)xxx24 (1),01,0, 其其他他yy34,01,0, 其其他他顯然，顯然，)()(),(2yfxfyxfYX 故故X ,Y 不獨不獨 立立11 dyyxfxfX),()(xxydyx18,01,0, 其其他他Yfyf x y dx( )( , ) yxydxy08,01,0, 其其他他上上服服從從均均勻勻分分布布且且都都在在相相互互獨獨立立設設1 , 0,YX有實根的概率。有實根的概率。求方程求方程02 YXtt),1 , 0(,UYX解解1, 01( )0Xxfx，其他1, 01( )0Yyfy，其他,(,)X YX Y相互獨立 則的概率密度為( , )( )

18、( )XYf x yfx fy例61, 01 010 xy，其他042 YX42XY 24XP Y24( , )xyf x y dxdy 10402xdxdy121 xy0142xy 有實根有實根方程方程02 YXtt042 YX例例7 甲乙兩人約定中午甲乙兩人約定中午12時時30分在某地會面分在某地會面.如果甲來到的時間在如果甲來到的時間在12:15到到12:45之間是均勻之間是均勻分布分布. 乙獨立地到達乙獨立地到達,而且到達時間在而且到達時間在12:00到到13:00之間是均勻分布之間是均勻分布. 試求先到的人等待另一試求先到的人等待另一人到達的時間不超過人到達的時間不超過5分鐘的概率分

19、鐘的概率. 又甲先到的又甲先到的概率是多少？概率是多少？解解: 設設X為甲到達時刻為甲到達時刻,Y為乙到達時刻為乙到達時刻以以12時為起點時為起點,以分為單位以分為單位,依題意依題意,XU(15,45), YU(0,60)其它, 04515,301)(xxfX所求為所求為P |X-Y | 5 及及PXY 其它其它, 0600,601)(yyfY解解: 設設X為甲到達時刻，為甲到達時刻， Y為乙到達時刻為乙到達時刻以以12時為起點，以分為單位，依題意，時為起點，以分為單位，依題意，XU(15,45), YU(0,60)其它, 0600 ,4515,18001),(yxyxf甲先到甲先到的概率的概

20、率由獨立性由獨立性先到的人等待另一人先到的人等待另一人到達的時間不超過到達的時間不超過5分鐘分鐘的概率的概率解一：解一： 45155x5xdxdy18001P| X-Y| 5 xy015451060405yx5yx=P -5 X -Y 5=1/6=1/2xy01545106040yx PXY 451560 xdxdy18001解二：解二：5| yx |dxdy18001PX YP| X-Y| 5 隨機變量相互獨立的概念隨機變量相互獨立的概念可以推廣到可以推廣到 n 維隨機變量維隨機變量則稱隨機變量則稱隨機變量X 1, X 2 , , X n 相互獨立相互獨立若若nnXXXnF xxxFx Fx

21、Fx121212(,)()()() 判斷二維連續(xù)型隨機變量相互獨立的判斷二維連續(xù)型隨機變量相互獨立的 兩個重要結論兩個重要結論1、 設設f (x,y)是二維連續(xù)型隨機變量是二維連續(xù)型隨機變量(X ,Y )的聯(lián)合的聯(lián)合 密度函數，密度函數，r (x), g(y)為非負可積函數，且為非負可積函數，且.).()()(),(eaygxryxf 則則(X ,Y )相互獨立相互獨立且且.).()()()(eadxxrxrxfX .).()()()(eadyygygyfY 利用此結果，不需計算即可得出利用此結果，不需計算即可得出(1)中的隨機變量中的隨機變量X 與與Y 是相互獨立的是相互獨立的.再如，服從矩

22、形域再如，服從矩形域(x,y)| a x b, c y d上上的均勻分布的二維隨機變量的均勻分布的二維隨機變量( X ,Y ), 其其他他0,)(1),(dycbxacdabyxfX ,Y 是相互獨立的是相互獨立的. 且其邊緣分布也是均勻分布且其邊緣分布也是均勻分布 其其他他, 0,1)(bxaabxfX 其其他他, 0,1)(dyccdyfY若若 其他其他00, 06),(32yxeyxfyx則則 X ,Y 是相互獨立的是相互獨立的. 且其邊緣概率密度為且其邊緣概率密度為 其其他他, 00,2)(2xexfxX 其他其他, 00,3)(3yeyfyY若若 其他其他00, 21),(3yxeyxfy則則 X ,Y 是相互獨立的是相互獨立的. 且其邊緣概率密度為且其邊緣概率密度為 其其他他,