平衡半樣本法

1、復(fù)雜樣本的方差估計(jì)平衡半樣本法平衡半樣本法在實(shí)際抽樣調(diào)查中，為了提高效率，常采用每層只抽兩個(gè)單元的分層抽樣。這時(shí)如果要采用前面介紹的隨機(jī)組方差估計(jì)，則因?yàn)閮H僅只有兩個(gè)沒(méi)有共同單元的隨機(jī)組，將使得方差估計(jì)不夠穩(wěn)定。也就是說(shuō)，由于這兩個(gè)隨機(jī)組的取法的偶然性，將會(huì)使得方差的估計(jì)值起伏比較大。本節(jié)將介紹解決這個(gè)問(wèn)題的平衡半樣本方法（balanced half-sample method）。半樣本半樣本假設(shè)對(duì)總體 ，采用分層隨機(jī)抽樣，每層有放回地簡(jiǎn)單隨機(jī)抽取2個(gè)單元， 設(shè)yh1和yh2是第h層的樣本觀測(cè)值（h=1,2,.,L）,則總體均值 的無(wú)偏估計(jì)為：式中， 為層權(quán)；1LkhNNY1LsthhhyW

2、yhhNWN122hhhyyy 的方差 的標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)量為：式中，使用隨機(jī)組方法，因每層只抽取2個(gè)單元，所以只有2個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)組（y11,y21,yt-1）和(y12,y22,yt-2)。此 時(shí) 的隨機(jī)組估計(jì)為：stystV y2 222111124LLsthhhhhhv yW sW d12hhhdyystVy222,21112 2 14stst astststav yyyyy式中，,111LsthhhyW y,221LsthhhyW y,1,212stststyyy這個(gè)估計(jì)量計(jì)算簡(jiǎn)單。但由于僅有一個(gè)自由度，其穩(wěn)定性比標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)量 差。為了既保留隨機(jī)組估計(jì) 的簡(jiǎn)單性，又能保持標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)量 的穩(wěn)定性，我

3、們引入半樣本方法，即從每層抽取一個(gè)單元形成半樣本，總共可能出現(xiàn) 個(gè)半樣本。由于不同半樣本中包含某些共同的單元，所以半樣本之間是彼此相關(guān)的。在這一點(diǎn)上，半樣本方法與隨機(jī)組方法存在本質(zhì)上的不同。stv y RGstvystv y2L 個(gè)統(tǒng)計(jì)量 的平均，即是 的無(wú)偏估計(jì)。然而，當(dāng)層數(shù)L較大時(shí)，這個(gè)估計(jì)量的計(jì)算是不可行的。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，一個(gè)很自然的想法是選擇一個(gè)小的半樣本子集，希望這個(gè)半樣本子集盡量保留所有的信息，這樣即可達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的，又能保證足夠的精度。2L2,st astyy22,112Lst astLayystV y假設(shè)這個(gè)半樣本子集包含k個(gè)半樣本，可以推算出下式：因此，如果所選擇的k個(gè)半

4、樣本對(duì)所有 （ =1,2,L）都滿足以下條件：2,11kkstst astavyyyk( )( )111()2LLkaasthhhhhhhhhav yWW d dk h hh那么， 就正好等于因此，我們說(shuō)這k個(gè)半樣本完全保留了 個(gè)半樣本所包含的關(guān)于的信息。滿足條件式的k組半樣本成為平衡半樣本。()()10kaakha kstv ystv y2LstV y（1）如何確定平衡半樣本呢？Plackett and Burman(1946)給出了k*k階政教矩陣（k為4的倍數(shù)，為Hadamard矩陣）的方法。下表給出了4*4階矩陣，其中列表示層，行表示半樣本；在a行第h列的位置+1表示層h的第一個(gè)單元被

5、選入第a個(gè)半樣本，-1表示層h的第二個(gè)單元被選入第a個(gè)半樣本。按這種方式定義的半樣本即為平衡半樣本。01)()(khh，如果01)(kh半樣本層1234+1+1+1-1-1+1-1-1-1-1+1-1+1-1-1-1)(ihkLkh，01)(表具有以下性質(zhì)，即除了最后一列外，每列之和均為零。也就是說(shuō)，當(dāng)Lk時(shí)（k=4 or 8）,有對(duì)一般的k的情形也是如此，即用Plackett and Burman方法構(gòu)造的正交矩陣在LL的條件下，我們有從而( )10kaha( ),111102kLkast asthhhahayyWd,11,kst astayy Lkk（2）這與將所有的 個(gè) 進(jìn)行平均所得的結(jié)

6、果完全一樣。我們稱同時(shí)滿足式（1）和式（2）兩個(gè)條件的半樣本為完全正交平衡（full orthogonal balance）半樣本。 2L,st ay在復(fù)雜分層抽樣方案中，層數(shù)L經(jīng)常很大,即使平衡半樣本方法已經(jīng)減少了半樣本數(shù)，但由于k大于等于L的要求，所需計(jì)算量仍然龐大。這時(shí)可以設(shè)計(jì)k組部分平衡半樣本，具體方法如下。假設(shè)有L層，采用k組半樣本，k=4。但這里我們?nèi)=2,則4層分為2群，對(duì)包含第1層和第2層的第一群利用2階Hadamard矩陣構(gòu)造正交列，對(duì)包含第三層和第四層的第二群用同樣方法，見(jiàn)下表。半樣本層1234+1+1+1+1+1-1+1-1部分平衡半樣本的方差估計(jì)量雖然不如完全平衡半樣

7、本精確，但也是無(wú)偏的。BRRBRR用于多階段分層抽樣用于多階段分層抽樣 假設(shè)總體分為H個(gè)層，并且從每層中有放回的以不等概率抽取兩個(gè)初級(jí)抽樣單元。 利用向量 定義半樣本r：如果 則所有在該層的初級(jí)抽樣單元1的觀測(cè)值屬于半樣本r；如果 則所有在該層的初級(jí)抽樣單元2的觀測(cè)值屬于半樣本r。對(duì)于半樣本r創(chuàng)造一個(gè)新的權(quán)重列向量 ：r1rh1rh rw 現(xiàn)在使用 代替w求半樣本r的估計(jì)量。對(duì)于全樣本，總體總量y的估計(jì)為 ；對(duì)于半樣本r，總體總量y的估計(jì)量為 如果 ，則 ，并且有 。由所學(xué)知識(shí)我們知道可以使用權(quán)重計(jì)算經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，這里我們使用半樣本計(jì)算經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。 rwiiw yiriwyxyttiiiiw

8、 yw xriiiiiiwywx 20iirww 如果 是總體中位數(shù)，則 可能定義為當(dāng) 時(shí)y的最小值，這時(shí) 可能定義為當(dāng) 時(shí)y的最小值。 對(duì)于任意統(tǒng)計(jì)量 ，我們定義 BBR也能夠用于估計(jì)統(tǒng)計(jì)量的協(xié)方差：如果 和 是目標(biāo)量，則 r XXYXXYkk1kkkv121)(kcckvk121)( 21)(ckkkvvvkckvk12*41)( 優(yōu)點(diǎn)： 對(duì)于總體總量和分位數(shù)的平滑函數(shù)的方差估計(jì)，BRR給出的方差估計(jì)近似等于由線性化方法得到的方差估計(jì)。與刀切法和自助法相比，BRR的計(jì)算量更少。 缺點(diǎn)： 正如前面所定義的一樣，BRR要求每層只有兩個(gè)初級(jí)抽樣單元的設(shè)計(jì)。實(shí)際上，其經(jīng)常通過(guò)使用更復(fù)雜的平衡項(xiàng)擴(kuò)展

9、到其他抽樣設(shè)計(jì)中。當(dāng)每層總體數(shù)和各層基本抽樣單元數(shù)較小時(shí)，BRR在有放回抽樣情況下所得到的方差估計(jì)和刀切法、自助法一樣偏大。為研究被調(diào)查者拒答情況，實(shí)施一項(xiàng)調(diào)查。抽樣方式為分層隨機(jī)抽樣，從三個(gè)城區(qū)中各自隨機(jī)抽取兩個(gè)居委會(huì)，假設(shè)各層權(quán)重相同，調(diào)查結(jié)果見(jiàn)下表。試?yán)闷胶獍霕颖痉ü烙?jì)拒答率 的方差。R城區(qū)城區(qū)居委會(huì)（居委會(huì)（s1s1）居委會(huì)（居委會(huì)（s2s2）拒答戶數(shù)（y1）合格調(diào)查戶數(shù)（x1）拒答戶數(shù)（y2）合格調(diào)查戶數(shù)（x2）141150371492401493014833814538150總計(jì)119444105447解：由于各權(quán)重相同，拒答率的估計(jì)為：用完全平衡半樣本法估計(jì)拒答率 的方差，抽取

10、層數(shù)L=3，因?yàn)橐?，因此取k=4，平衡比一般的確定見(jiàn)表2.312131212240.2514891kkkkkkyyRxxRkL取各區(qū)第一個(gè)居委會(huì)形成第一個(gè)半樣本，該半樣本基期余集的拒答率的估計(jì)為：11213111121311190.2680444yyyRxxx12223211222321050.2349447cyyyRxxx取第一區(qū)的第二個(gè)居委會(huì)，第二區(qū)的第一個(gè)居委會(huì)以及第三區(qū)的第二個(gè)居委會(huì)形成第二個(gè)半樣本，該半樣本及其余集的拒答率的估計(jì)為：12213221221321150.2567448yyyRxxx11223221122311090.2460443cyyyRxxx取第一層和第二層的第二個(gè)居委會(huì)以及第三層第一個(gè)居委會(huì)形成第三個(gè)半樣本，該半樣本及其余集的拒答率的估計(jì)為：12223231222321050.2376442yyyRxxx11213231121321190.2650449cyyyRxxx取第一層第一個(gè)居委會(huì)、第二層和第三層的第二個(gè)居委會(huì)形成第四個(gè)半樣本，該半樣本及其余集的拒答率的估計(jì)為：11223241122321090.2433448yyyRxxx12213