余弦定理及其證明

1、精品文檔 2016 全新精品資料-全新公文范文-全程指導(dǎo)寫作-獨家原創(chuàng) 1 / 7 余弦定理及其證明 步驟1. 在銳角 ABC中，設(shè)三邊為a, b, c。作CHLAB垂足為 點H CH=a sinB CH=b sinA a - sinB=b - sinA 得到 a/sinA=b/sinB 同理，在 ABC中， b/sinB=c/sinC 步驟2. 證明 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R : 如圖，任意三角形 ABC,作 ABC的外接圓0. 作直徑BD交OO于D. 連接DA. 因為直徑所對的圓周角是直角，所以/ DAB=90度 因為同弧所對的圓周角相等，所以/D等于/ C. 所以

2、c/sinC=c/sinD=BD=2R a/SinA=BC/SinD=BD=2R 類似可證其余兩個等式。 精品文檔 2016 全新精品資料-全新公文范文-全程指導(dǎo)寫作-獨家原創(chuàng) 2 / 7 2. 三角形的余弦定理證明： 平面幾何證法： 在任意 ABC中 做 ADL BC. ZC所對的邊為c,/B所對的邊為b,/A所對的邊為 a 則有 BD=cosB*c，AD=sinB*c， DC=BC-BD=a-cosB*c 根據(jù)勾股定理可得： AC =AD +DC b =(sinB*c) +(a-cosB*c) b =sin B*c +a +cos B*c -2ac*cosB b =(sin B+cos B

3、)*c -2ac*cosB+a b =c +a -2ac*cosB cosB=(c +a -b )/2ac 3 在厶 ABC 中，AB=c、 BC=a CA=b 則 c =a +b -2ab*cosC a =b +c -2bc*cosA b =a +c -2ac*cosB 下面在銳角中證明第一個等式，在鈍角中證明以此 類推。 過 A作 ADL BC 于 DBD+CD=a 精品文檔 2016 全新精品資料-全新公文范文-全程指導(dǎo)寫作-獨家原創(chuàng) 3 / 7 由勾股定理得： c =(AD) +(BD) , (AD) =b -(CD) 所以 c =(AD) -(CD) +b =(a-CD) -(CD)

4、 +b =a -2a*CD +(CD) -(CD) +b =a +b -2a*CD 因為 cosC=CD/b 所以 CD=b*cosC 所以 c =a +b -2ab*cosC 題目中表示平方。 2 談?wù)?、余弦定理的多種證法 聊城二中魏清泉 正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具，關(guān)于這兩個定 理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材數(shù)學(xué)(必修5) 是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時用到 作輔助單位向量并對向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種 構(gòu)思方法過于獨特，不易被初學(xué)者接受 .本文試圖通過運用 多種方法證明正、余弦定理從而進(jìn)一步理解正、余弦定理， 進(jìn)一步體會向量的巧妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中“數(shù)

5、”與“形”的完 美結(jié)合. 定理：在厶 ABC 中，AB=c,AC=b,BC=a,貝U 精品文檔 2016 全新精品資料-全新公文范文-全程指導(dǎo)寫作-獨家原創(chuàng) 4 / 7 (1)( 正弦定理)=； (2)( 余弦定理) c2=a2+b2-2abcos C, b2=a2+c2-2accos B, a2=b2+c2-2bccos A. 一、正弦定理的證明 證法一：如圖1,設(shè)AD BE、CF分別是 ABC的三條高( 則有 AD=b?sinZ BCA BE=c?sinZ CAB CF=a?sin/ABC 所以 SAABC=a?b?csinZ BCA =b?c?sin / CAB =c?a?sin / A

6、BC. 證法二：如圖1,設(shè)AD BE、CF分別是 ABC的3條高 則有 AD=b?sinZ BCA=c?sinZ ABC BE=a?sinZ BCA=c?sinZ CAB 證法三：如圖 2,設(shè)CD=2r是厶ABC的外接圓 的直徑，貝DAC=90，/ ABCh ADC 證法四：如圖3,設(shè)單位向量j與向量AC垂直。 精品文檔 2016 全新精品資料-全新公文范文-全程指導(dǎo)寫作-獨家原創(chuàng) 5 / 7 因為 AB=AC+CB 所以 j?AB=j?(AC+CB)=j?AC+j?CB. 因為 j?AC=O, j?CB=| j |CB|cos(90 - / C)=a?sinC, j?AB=| j |AB|c

7、os(90 - / A)=c?sinA . 二、 余弦定理的證明 法一：在厶ABC中，已知，求c。 過A作， 在Rt中， 法二： ，即： 法三： 先證明如下等式： 證明： 故式成立，再由正弦定理變形，得 結(jié)合、有 即. 同理可證 三、 正余弦定理的統(tǒng)一證明 精品文檔 2016 全新精品資料-全新公文范文-全程指導(dǎo)寫作-獨家原創(chuàng) 6 / 7 法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系，則 A=(0， 0)、B=(c,0)，又由任意角三角函數(shù)的定義可得： C=(bcos A,bsin A)，以AB BC為鄰邊作平行四邊形 ABCC，貝U精品文檔 2016 全新精品資料-全新公文范文-全程指導(dǎo)寫作-獨家原創(chuàng) 7 / 7 / BAC = n - / B, C (acos( n -B),asin( n - B)=C(-acos B). 根據(jù)向量的運算： =(-acos B,asin B) , =-=(bcos A-c,bsin A), (1) 由=:得 asin B=bsin A, 即 同理可得：=. = (2) 由=(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A 又 I l=a, a2=b2+c2 -2bccos A. 同理： c2=a2+b2-2abcos C; b2=a2+c2-2accos B. 法二：如圖5, ,設(shè)軸、軸方向上的單位向量分別為 、