2019年高考數(shù)學二輪復習 專題四 數(shù)列 4.2.2 數(shù)列中的證明及存在性問題課件 文

1、4 4. .2 2. .2 2數(shù)列中的證明及存數(shù)列中的證明及存在性問題在性問題-2-等差等差(比比)數(shù)列的判斷與證明數(shù)列的判斷與證明例1(2018全國,文17)已知數(shù)列an滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an.設 .(1)求b1,b2,b3;(2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列,并說明理由;(3)求an的通項公式.-3-4-解題心得1.判斷和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的三種方法.(1)定義法:對于n1的任意自然數(shù),驗證 為同一常數(shù).(2)通項公式法:若an=kn+b(nN*),則an為等差數(shù)列;若an=pqkn+b(nN*),則an為等比數(shù)列.(3)中項公式法:若2an=an-1+an+1(n

2、N*,n2),則an為等差數(shù)列;若 (nN*,n2),則an為等比數(shù)列.2.對已知數(shù)列an與Sn的關系,證明an為等差或等比數(shù)列的問題,解題思路是:由an與Sn的關系遞推出n+1時的關系式,兩個關系式相減后,進行化簡、整理,最終化歸為用定義法證明.-5-對點訓練對點訓練1設Sn為等比數(shù)列an的前n項和,已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通項公式;(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列.-6-數(shù)列型不等式的證明數(shù)列型不等式的證明例2設Sn是數(shù)列an的前n項和,an0,且4Sn=an(an+2).(1)求數(shù)列an的通項公式;-7-8-解題心得要證明關于一個數(shù)列的前n項和的

3、不等式,一般有兩種思路:一是先求和,再對和式放縮;二是先對數(shù)列的通項放縮,再求數(shù)列的和,必要時對其和再放縮.-9-對點訓練對點訓練2已知數(shù)列l(wèi)og2(an-1)(nN*)為等差數(shù)列,且a1=3,a3=9.(1)求數(shù)列an的通項公式;(1)解 設等差數(shù)列l(wèi)og2(an-1)的公差為d.由a1=3,a3=9,得log22+2d=log28,即d=1.log2(an-1)=1+(n-1)1=n,即an=2n+1.-10-數(shù)列中的存在性問題數(shù)列中的存在性問題例3已知數(shù)列an的前n項和為Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中為常數(shù).(1)證明:an+2-an=;(2)是否存在,使得an為等差數(shù)列?并說明理由.(1)證明 由題設,anan+1=Sn-1,an+1an+2=Sn+1-1,兩式相減,得an+1(an+2-an)=an+1.因為an+10,所以an+2-an=.(2)解 由題設,a1=1,a1a2=S1-1,可得a2=-1.由(1)知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4.由此可得a2n-1是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=4n-3;a2n是首項為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在=4,使得數(shù)列an為等差數(shù)列.-11-解題心得假設推理法:先假設所探求對象存在或結(jié)論成立,