高等數(shù)學(xué)教案一

1、湖南機電職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)期授課計劃學(xué) 期2008年 9 月 至 2009 年1 月學(xué)年度第 一 學(xué)期課 程 名 稱高 等 數(shù) 學(xué) 使 用 教 材名 稱 及 版 別大學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用基礎(chǔ)湖南教育出版社第二版采用大綱名稱及擬定者高等數(shù)學(xué)教學(xué)大綱 校編適用專業(yè)班級酒管0801、02 電子0801、02 網(wǎng)絡(luò)080103 軟件0801、02 accp/ibm0801本課程總課時48本期前已授課時0本學(xué)期總課時周 課 時講 課實 驗測 驗 復(fù) 習(xí)機 動4043424本計劃制定教師譚潔本計劃使用教師 譚潔 田智 關(guān)章才 童麗娟 教 研 室 主 任系 主 任教 務(wù) 處 長本課程本學(xué)期教學(xué)目的及要求: 教學(xué)目的:通過

2、本課程的學(xué)習(xí)使學(xué)生掌握高等數(shù)學(xué)的思想與思維方式,提高理性思維的能力,全面改善學(xué)生的素質(zhì),加強分析問題的能力,應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的培養(yǎng),注重高等數(shù)學(xué)教學(xué)中弘揚人文精神的教化作用,以期在數(shù)學(xué)教學(xué)中全面體現(xiàn)知識,能力和素質(zhì)的統(tǒng)一.教學(xué)要求:對高職學(xué)生來說,要掌握相關(guān)的高等數(shù)學(xué)的理論與知識,根據(jù)我校學(xué)生的知識層次和課程設(shè)置的要求,在教學(xué)中從以下幾方面提高學(xué)生的素質(zhì)與能力,做到學(xué)有所用,學(xué)以致用.首先精選教學(xué)內(nèi)容,再精簡相關(guān)的內(nèi)容,把總課時控制在44左右,其次在教法上盡量使用現(xiàn)代教學(xué)方式,提高教學(xué)質(zhì)量,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法和用數(shù)學(xué)的意識,了解常見的解題技巧與方法.重點知識掌握函數(shù)的極限、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微

3、分,函數(shù)的極值和最值的應(yīng)用,以及不定積分的初步知識和定積分意義與運用。 學(xué) 期 授 課 計 劃序號周次授 課 內(nèi) 容 提 要授課形式作業(yè)111.1-1.6函數(shù)、函數(shù)的特性、反函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與反三角函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)面授 p6:3 p10:4,5p12:121.9-1.10數(shù)列的極限、函數(shù)的極限面授p44:4321.11-1.12無窮小與無窮大、極限的運算法則面授p49:4,541.13極限存在準則，兩個重要極限面授p59:3531.14函數(shù)的連續(xù)性面授p66:6,762.1導(dǎo)數(shù)的概念面授p87:4，5742.2-2.3函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求

4、導(dǎo)法則面授p92:1單 p95:1 單82.4-2.5隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)面授p101:2952.7-2.8高階導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的微分面授p116:3單，4103.2羅必達法則面授p137:2單1163.3函數(shù)單調(diào)性的判別法面授p140:2單123.4函數(shù)的極值面授p145:1單1373.5函數(shù)的最大值和最小值面授p148:6,7143.6-3.7曲線的凹凸與拐點，函數(shù)圖像的描繪面授 p155: 1(1)(2);2(1) 1584.1不定積分的概念面授p176:3164.2不定積分的運算法則與直接積分法面授p181:1（1）（8）1794.3換元積分法面授p189:1（1）（8）184.4分

5、部積分法面授p193:（1）（8）1910復(fù)習(xí)（一）面授20復(fù)習(xí)（二）面授備注：嚴格按此計劃組織教學(xué)，授課內(nèi)容誤差不得超過2個課時；各班級按教學(xué)進度表組織教學(xué)，如有實習(xí)周或放假周，按計劃內(nèi)容順延。湖 南 機 電 職 業(yè) 技 術(shù) 學(xué) 院 教 案(一)備課組長簽名： 教師簽名： 班 級日 期課題 ： 1.1-1.6函數(shù)、函數(shù)的特性、反函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與反三角函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)教學(xué)目的(知識、技能、態(tài)度)：1、介紹高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，了解與初等數(shù)學(xué)之間的區(qū)別與聯(lián)系；2、復(fù)習(xí)函數(shù)概念，認識幾個特殊函數(shù)，掌握函數(shù)的幾種特性。3、復(fù)習(xí)幾個常見函數(shù)的，掌握其特性和圖像性質(zhì)。教學(xué)

6、重點：函數(shù)的特性教學(xué)難點：函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系課 型 ：新授課主要教學(xué)方法：啟發(fā)引導(dǎo)式 講授法教 學(xué) 過 程 設(shè) 計（時間大體分配）教學(xué)方法.組織教學(xué)： 自我介紹，課程介紹與要求，考勤 、新課教學(xué)一、函數(shù)定義設(shè)在某一變化過程中有兩個變量x和y，如果當變量x在其變化范圍內(nèi)任意取定一個數(shù)值時，變量y按照一定的法則總有確定的數(shù)值和它對應(yīng)，則稱y是x函數(shù)。記作。其中x叫自變量，y因變量。二、函數(shù)的幾種特性（1）函數(shù)的奇偶性如果函數(shù)f(x)對于定義域內(nèi)的任何x，恒有f(-x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。例如，,由于f(-x)=f(x)，所以，如果點m(x,f(x)在函數(shù)圖形上，那么它關(guān)于y軸的對稱點

7、m（-x,f(x)）也在圖形上，因此，偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱。（2）函數(shù)的周期性對于函數(shù)y=f(x)，如果存在不為零的常數(shù)t，使關(guān)系式對于定義域內(nèi)任何x值都成立，則稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，t叫做f(x)的周期，一般我們所說的周期是指最小正周期。例如，sinx，cosx是周期函數(shù)，它的周期是2。（3）函數(shù)的單調(diào)性如果對于區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意兩點x1和x2，當x1x2時，有f(x1)f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)是單調(diào)增加的；如果當x1f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)是單調(diào)減少的。單調(diào)增加的或單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。類似地，可以定義無窮區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)。單

8、調(diào)增加函數(shù)的圖形是沿x軸正向逐漸上升的；單調(diào)減少函數(shù)的圖形是沿x軸正向逐漸下降的。（4）函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù)在區(qū)間i內(nèi)有定義（i可以是函數(shù)f(x)的整個定義域，也可以只是定義域的一部分）。如果存在正的常數(shù)m，使得對于區(qū)間i內(nèi)的任何x值，恒有，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間i內(nèi)是有界的；如果這樣的m不存在，則稱函數(shù)f(x)在i內(nèi)是無界的。三、反函數(shù)在自由落體運動中，我們選定時間t為自變量，距離s為函數(shù)，則距離s與t的函數(shù)關(guān)系為.我們也可以選取距離s作為自變量，則時間t作函數(shù)，這時t與s的函數(shù)關(guān)系式為 ,我們稱是的反函數(shù)。當然也是的反函數(shù)，它們互為反函數(shù)。一般地，設(shè)給定y是x的函數(shù)y=f(x)，如果把y當作

9、自變量，x當作函數(shù)，則由y=f(x)所確定的函數(shù)x=(y)叫做函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，而f(x)叫直接函數(shù)。習(xí)慣上，我們總是用x表示自變量，y表示因變量。因此，我們把反函數(shù)x=(y)改寫為y=(x)，稱y=(x)和y=f(x)互為反函數(shù)。四、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)冪函數(shù)：函數(shù)，其中為任意實數(shù)，叫冪函數(shù)，它的義定域隨的不同而不同。但不論取什么值，冪函數(shù)在（0，+）內(nèi)總有定義，且圖形都通過（1，1）。中，=1，2，3，-1是最常見的冪函數(shù)。有些冪函數(shù)具有奇偶性。例如 是（-，+）內(nèi)的偶函數(shù)，而是（-，+）內(nèi)的奇函數(shù)。指數(shù)函數(shù)：函數(shù)（a0，a1）叫做指數(shù)函數(shù)，它的定義域是（-，+）。因為恒有0

10、，及=1，所以指數(shù)函數(shù)的圖形總在x軸上方，且通過點（0，1）。以常數(shù)e=2.71828為底的指數(shù)函數(shù)，是科技中常用的指數(shù)函數(shù)，關(guān)于常數(shù)e的意義本章將詳細說明。指數(shù)函數(shù)具有單調(diào)性。例如，在（-，+）內(nèi)是單調(diào)增加的，而在（-，+）內(nèi)是單調(diào)減少的。對數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，記作叫做對數(shù)函數(shù)，它的定義域是（0，），對數(shù)函數(shù)的圖形，可以從它所對應(yīng)的指數(shù)函數(shù)的圖形按反函數(shù)的作圖規(guī)則作出。工程實際問題中常遇到的以e為底的對數(shù)函叫做自然對數(shù)函數(shù),簡記作y=lnx。五、三角函數(shù)與反三角函數(shù)常用的三角函數(shù)有,正弦函數(shù)y=sinx(-x+)，余弦函數(shù)y=cosx (-x0且無限增大（記作），可以想見有同樣，當x0

11、而絕對值無限增大（記作）時，也有 兩種情況合起來，就是當時，自變量無限接近于有限數(shù)時，函數(shù)的極限對于函數(shù)y=f(x)，如果當自變量x無限接近于x0時，函數(shù)f(x)無限接近某個常數(shù)a，那么常數(shù)a叫做函數(shù)f(x)當時的極限。記作 或 ，其中叫f(x)的極限過程。 關(guān)于極限概念，應(yīng)注意以下幾點： a 所謂“x無限接近于x0”是指x與x0差的絕對值（在數(shù)軸上來說是距離）無限減小，至于x以什么方式接近于x0，定義中并不要求，x可以從大于x0無限接近于x0，也可以從小于x0無限接近于x0，還可以從兩個方向交替地?zé)o限接近于x0。 b 所謂“f(x)無限接近于某個常數(shù)a”是指可以任意小。 c 定義中是不包括的

12、，故有，所以當時，f(x)有沒有極限與f(x)在點x0是否有定義無關(guān)。 d 函數(shù)對于不同的極限過程，可以存在也可以不存在極限，例如，當時，可證明（性質(zhì)） 但當時，的值恒在-1和1之間擺動，不無限接近于某個確定的常數(shù)，所以不存在。 前面已經(jīng)指出，極限概念中的，x無限接近于x0的方式是任意的。但有時只能或只需考慮x僅從小于x0，即僅從x0的左側(cè)（在數(shù)軸上看）無限接近于x0（記作-0）的情形，或x僅從大于x0，即僅從x0的右側(cè)無限接近于x0（記作+0）的情形。 當-0時，,a叫做函數(shù)f(x)當時的左極限，記作。 當時，,a叫做函數(shù)f(x)當時的右極限，記作。 根據(jù)上述極限的定義，容易證明。 函數(shù)f(

13、x)當時極限存在的必要且充分條件是左極限、右極限各自存在并且相等。即例3，討論函數(shù)當時是否存在極限。解： 由于，所以不存在。自變量趨向無窮大時，函數(shù)的極限 對于函數(shù)y=f(x)，如果當自變量x的絕對值無限增大時，函數(shù)f(x)無限接近某個常數(shù)a，那么常數(shù)a叫做函數(shù)f(x)當時的極限，記作 或 ，其中叫f(x)的極限過程。很明顯，自變量x的絕對值無限增大包含兩種基本形式，即x從某個值開始取正值無限增大（記作）和x從某個值開始取負值時其絕對值無限增大（記作）。如果當，（）時，函數(shù)f(x)無限接近某個常數(shù)a，那么常數(shù)a叫做函數(shù)f(x)當，（）時的極限，記作：（）例如，考察函數(shù)的圖象，求出下列極限：，。

14、 作業(yè)（課后平行項目）：p38:3； p45:6 課堂小結(jié)：本節(jié)通過觀察一個數(shù)列的變化趨勢引入了數(shù)列極限及函數(shù)極限概念，并認真地對自變量的不同變化趨勢情形，討論了數(shù)列和函數(shù)極限的存在條件。最后介紹了無窮小量和無窮大量概念，研究了無窮小量的性質(zhì)、與極限的關(guān)系以及無窮小量與無窮大量之間的關(guān)系，內(nèi)容較多。 課堂情況記錄及課后分析：51010101015101010 下堂課預(yù)習(xí)要求：湖 南 機 電 職 業(yè) 技 術(shù) 學(xué) 院 教 案（三）備課組長簽名： 教師簽名： 班 級日 期課題 1.11-1.12無窮小與無窮大、極限的運算法則教學(xué)目的(知識、技能、態(tài)度)：理解無窮小量與無窮大量定義，了解它們之間的關(guān)系

15、以及與極限間的關(guān)系；熟悉極限的四則運算法則和復(fù)合函數(shù)的極限法則；提高理解能力與運算技能。 教學(xué)重點：無窮大與無窮小概念，性質(zhì)；極限的四則運算法則，復(fù)合函數(shù)的極限求解。教學(xué)難點：無窮大與無窮小的理解與運用，極限運算法則的熟練掌握。課 型 ：新授課主要教學(xué)方法：啟發(fā)式教學(xué)法；講授法。教學(xué)場所、設(shè)備要求：教 學(xué) 過 程 設(shè) 計（時間大體分配）教學(xué)方法.組織教學(xué)： 考勤，檢查預(yù)習(xí)情況 復(fù)習(xí)引入：以極限定義及觀察法求極限，一般函數(shù)的極限的計算有其法則和技巧嗎？、新課教學(xué)一、無窮小與無窮大 1.無窮?。涸谘芯亢瘮?shù)的極限時，常常遇到這樣的情況：當自變量或時，函數(shù)的極限為零，即這時，我們把函數(shù)叫做當（或）時的

16、無窮小或無窮小量。例1 因為 ，所以1是當時的無窮小。例2 因為，所以是當時的無窮小。例3 因為，所以（x2）2是當時的無窮小。 應(yīng)該明白，無窮小是一個以零為極限的變量，不能把它與一個很小的數(shù)混淆起來。因為一個很小的數(shù)，如10-8，10-26等，無論它多么小，總是不變的，因此它不能以零為極限。但是零是唯一可以看作無窮小的數(shù)。無窮小的性質(zhì)：（1）有限個無窮小的和是無窮小。（2）有限個無窮小的乘積是無窮小。（3）有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。由（3）可以直接推得：常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系：定理1：設(shè)函數(shù)的極限為（或），即，則有=a-a=0所以，f(x)-a是無窮小，記為

17、(x)，即。于是有 ，其中。因此得到：有極限的函數(shù)可以表示為它的極限與一個無窮小之和，反之，如果函數(shù)可以表示為常數(shù)與一無窮小之和，則該常數(shù)就是函數(shù)的極限。2. 無窮大定義2：如果當（或）時，y=f(x)的對應(yīng)函數(shù)值的絕對值無限增大，則應(yīng)當說函數(shù)f(x)當（或）時為無窮大或無窮大量。這時按極限的定義，函數(shù)的極限是不存在的，但為了便于敘述函數(shù)的這一性態(tài)，我們也說“函數(shù)的極限是無窮大”，并記作 。如果在無窮大的定義中，對于x0鄰近的x或相當大的x，對應(yīng)的函數(shù)值都是正的（或都是負的），則記作 例如，。必須注意，不是數(shù)，不可與很大的數(shù)（如108、1020等）混為一談。3. 無窮大與無窮小的關(guān)系定理2：

18、在自變量的同一變化過程中，如果f(x)的絕對值無限增大，那么就會無限減小而趨于零，反之亦然。所以有：如果f(x)是無窮大，則是無窮??；反之，如果f(x)為無窮小，則為無窮大。4. 無窮小的比較（1）若，則稱是比高階的無窮小，記作。（2）若，則稱是比低階的無窮小。（3）若，則稱是比是同階無窮?。蝗鬰=1，即，則稱與是等價無窮小，記作。例如。例4 因為，所以當時，3x2是比x高階的無窮小，即。例5 因為，所以當時，與是等價無窮小，即。二、 極限的運算法則1.極限的四則運算法則。上節(jié)通過觀察函數(shù)的變化趨勢，求出了某些簡單函數(shù)的極限，本節(jié)再給出極限的運算法則。為敘述簡便起見，在下面的討論中，記號lim

19、下邊不標明自變量的變化過程，意思是說對,所建立的結(jié)論都成立。設(shè)limf(x)=a，limg(x)=b，c是任意常數(shù)，n是正整數(shù)。法則 。法則 特別地，當g(x)=c時，有。這就是說，求極限時，常數(shù)因子可以提到極限符號外面。又。法則法則 如果f(x)g(x)，那么ab。必須注意，上述法則成立的前提是參與運算的函數(shù)存在極限，否則法則不能使用。例6 求 ,。例7 求,。、復(fù)合函數(shù)的極限法則可以證明下述復(fù)合函數(shù)的極限法則：定理2 設(shè)函數(shù)與函數(shù)滿足條件：（）；（）當時，且。則復(fù)合函數(shù)當時的極限存在，且。例8 求 作業(yè)（課后平行項目）： p49:4,5 課堂小結(jié)：本節(jié)介紹了無窮大與無窮小的概念，無窮小的比

20、較，以及它們在求極限中的應(yīng)用；介紹了極限的四則運算法則與復(fù)合函數(shù)的極限法則，要熟練掌握。 課堂情況記錄及課后分析：51010105515101082 下堂課預(yù)習(xí)要求：湖 南 機 電 職 業(yè) 技 術(shù) 學(xué) 院 教 案（四）備課組長簽名： 教師簽名： 班 級日 期課題 1.13極限存在準則，兩個重要極限教學(xué)目的(知識、技能、態(tài)度)：了解極限存在準則，掌握兩個重要極限; 利用法則與重要極限會求某些函數(shù)的極限.提高觀察分析能力。教學(xué)重點：利用法則與重要極限求極限。教學(xué)難點：重要極限的認識與應(yīng)用課 型 ：新授課主要教學(xué)方法：引導(dǎo)式教學(xué)法；講授法.教學(xué)場所、設(shè)備要求：教 學(xué) 過 程 設(shè) 計（時間大體分配）教

21、學(xué)方法.組織教學(xué)： 考勤，復(fù)習(xí)回顧: 無窮大與無窮小，極限的四則運算法則。 、新課教學(xué)1. 極限存在準則與重要極限準則 如果對于x0的某鄰域內(nèi)的一切x（可以不包含x0），或者對于絕對值充分大的一切x，有；并且有，則當或時，f(x)的極限存在，且limf(x)=a。 證明： ， 即 注：（1）這個重要極限主要解決含有三角函數(shù)的型的極限。（2）公式形象的記為：例1 求 解略 例2求 解 ： 例3 求 解： 2. 極限的存準則與重要極限首先來定義數(shù)列的單調(diào)性和數(shù)列的有界性。數(shù)列的單調(diào)性:如果對任何正整數(shù)n，總有，則稱數(shù)列是單調(diào)增加的；如果對任何自然數(shù)n，總有，則稱數(shù)列是單調(diào)減少的。例如，數(shù)列3，4是

22、單調(diào)增加的，而數(shù)列1是單調(diào)減少的。數(shù)列的有界性:如果存在正的常數(shù)m，對任何正整數(shù)n，總有則稱數(shù)列是有界的；否則，稱數(shù)列是無界的。例如，數(shù)列1，2，3都是有界的，而數(shù)列4則是無界的。準則 單調(diào)有界數(shù)列則必存在極限。 引導(dǎo)學(xué)生觀察書本22頁圖表，以及數(shù)列的特點,結(jié)合存在準則,得出上述極限。 注：（1）上式中令，則有即（2）公式形象記憶為：；（3）此極限主要解決型冪指函數(shù)的極限。例4 求解：原式例5 求解:原式=例6. 求 解:設(shè),則當時,于是:=例7. 求 解: = = 作業(yè)（課后平行項目）：面授p59:3 課堂小結(jié)：本節(jié)主要介紹了極限存在準則，同時介紹了兩個重要極限，除上節(jié)通過觀察法能求一些簡單

23、函數(shù)外，現(xiàn)在可以利用它們求一些較為復(fù)雜函數(shù)的極限，特別注意重要極限的使用。能分析總結(jié)一些求極限的技巧。 課堂情況記錄及課后分析：51015151010用到同底數(shù)的冪的運算?？梢砸蕴釂柕姆绞交仡櫋?510 下堂課預(yù)習(xí)要求：湖 南 機 電 職 業(yè) 技 術(shù) 學(xué) 院 教 案（五）備課組長簽名： 教師簽名： 班 級日 期課題： 1.14函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)目的(知識、技能、態(tài)度)：理解函數(shù)連續(xù)性的兩個定義，了解間斷點的類別,掌握初等函數(shù)在定義區(qū)間上的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；提高觀察分析能力。教學(xué)重點：初等函數(shù)在定義區(qū)間上的連續(xù)性。教學(xué)難點：連續(xù)性與間斷點的判別，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的理解

24、和應(yīng)用。課 型 ：新授課主要教學(xué)方法：數(shù)形結(jié)合法，分析法教學(xué)場所、設(shè)備要求：教 學(xué) 過 程 設(shè) 計（時間大體分配）教學(xué)方法.組織教學(xué)： 上節(jié)回顧：兩個重要極限公式無窮小的比較；作業(yè)講析、新課教學(xué)一、 函數(shù)的增量 在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續(xù)地變化著的.這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性 在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來學(xué)習(xí)一個概念增量 定義1 如果函數(shù) 在的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量從變到，函數(shù)相應(yīng)地從變到，因此函數(shù)相應(yīng)的增量為： 強調(diào)：增量可正可負，其實是變量的改變量。例1 設(shè)，求適合下列條件的自變量的增量和函數(shù)的增量：（1）由1變化到0.5（2）由1變到

25、（3）由變到解略。二、函數(shù)連續(xù)性的概念 1. 一點處連續(xù)的定義。 定義2 設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域有定義,如果當x趨向于零時，函數(shù)y對應(yīng)的增量y也趨向于零，即：那末就稱函數(shù)在點x0處連續(xù)。例2 證明函數(shù)在點處連續(xù)。 定義3 設(shè)函數(shù)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，如果有稱函數(shù)在點x0處連續(xù)，且稱x0為函數(shù)的的連續(xù)點. 由定義，函數(shù)在點連續(xù)需同時滿足三個條件：（1） 函數(shù)在點的一個鄰域內(nèi)有定義，即存在（2） 存在，即左右極限相等（3） 上述兩個值相等，即極限值等于函數(shù)值=例3 討論函數(shù)在處的連續(xù)性。例4 討論函數(shù)在處的連續(xù)性。例5 討論函數(shù)在處的連續(xù)性。 2. 區(qū)間連續(xù) 設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b內(nèi)有定義，如果

26、左極限存在且等于， 即：=，那末我們就稱函數(shù)在點b左連續(xù).設(shè)函數(shù)在區(qū)間a,b)內(nèi)有定義，如果右極限存在且等于， 即：=，那末我們就稱函數(shù)在點a右連續(xù). 一個函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每點連續(xù),則為在(a,b)連續(xù)，若又在a點右連續(xù)，b點左連續(xù)，則在閉區(qū)間a，b連續(xù)，如果在整個定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。三、函數(shù)的間斷點分類原因包含情況類型第一類間斷點,都存在跳躍間斷點=可去間斷點第二類間斷點不屬于第一類間斷點的無窮間斷點結(jié)合前面的例子分別介紹.例3為無窮間斷點,例4為可去間斷點,例5為跳躍間斷點四、 初等函數(shù)的連續(xù)性1. 連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性由

27、函數(shù)在一點處連續(xù)的定義和極限的四則運算法則可知：, 2. 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 設(shè)函數(shù)當xx0時的極限存在且等于a，即：.而函數(shù)在點u=a連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)當xx0時的極限也存在且等于.即： 。 注：復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性可以保證極限號與函數(shù)符號的交換： 所以-初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。例4 求。 解：由對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性有 原式 例5 求 解：由于屬于初等函數(shù)的定義域之內(nèi)，故由的連續(xù)性得 五、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定理1.4 （最大值和最小值定理） 如果函數(shù) 在閉區(qū)間上連續(xù)則它在上有最大值和最小值，也就是說存在兩個點和，使得亦即 ， 若x0使，則稱x0為函數(shù)的零點 推論： 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，

28、則它在上有界。mbcmab定理1.5（介值定理） 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上能取到它的最大值 和最小 值 之間的任何一個中間值。推論（零點定理） 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在區(qū)間的兩個端點異號：則至少有一個零點，使例6 證明方程在（0，1）內(nèi)至少有一個實根。 解略 作業(yè)（課后平行項目）： p66: 6, 7 課堂小結(jié)：本節(jié)主要介紹了函數(shù)的連續(xù)性，并指出了函數(shù)在某點處連續(xù)所必須具備的三個條件及所有初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。列舉了函數(shù)三種間斷點類型。詳細地介紹了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用。 課堂情況記錄及課后分析： 2 5 10由圖形分析加強學(xué)生對定義的理解 10 10 15 5 5

29、5 10 5 5 3 下堂課預(yù)習(xí)要求：湖 南 機 電 職 業(yè) 技 術(shù) 學(xué) 院 教 案（六）備課組長簽名： 教師簽名： 班 級日 期課題 ： 2.1導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)目的(知識、技能、態(tài)度)：理解導(dǎo)數(shù)的定義,幾何意義;掌握導(dǎo)數(shù)的表示方法,由定義求導(dǎo)的三個步驟,以及可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系. 培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系的、辯證統(tǒng)一的思想；培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力。 教學(xué)重點：導(dǎo)數(shù)的定義與求導(dǎo)數(shù)的方法.教學(xué)難點：導(dǎo)數(shù)概念的理解和可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系。課 型 ：新授課主要教學(xué)方法：講授法、討論法、案例教學(xué)法教學(xué)場所、設(shè)備要求：教 學(xué) 過 程 設(shè) 計（時間大體分配）教學(xué)方法.組織教學(xué)： 考勤，檢查預(yù)習(xí)情況。 、新課教學(xué)一、兩個

30、引例。 引例1 求變速直線運動的瞬時速度。 瞬時速度定義：運動物體經(jīng)過某一時刻(某一位置)的速度，叫做瞬時速度。 確定物體在某一時刻處的瞬時速度的方法：從t0到t0+t，這段時間是t. 時間t足夠短，就是t無限趨近于0. 當t0時，平均速度就越接近于瞬時速度，用極限表示瞬時速度 瞬時速度 引例2 曲線的切線。如圖，設(shè)曲線c是函數(shù)的圖象，點是曲線 c 上一點作割線pq當點q 沿著曲線c無限地趨近于點p，割線pq無限地趨近于某一極限位置pt我們就把極限位置上的直線pt，叫做曲線c在點p 處的切線確定曲線c在點處的切線斜率的方法：因為曲線c是給定的，根據(jù)解析幾何中直線的點斜是方程的知識，只要求出切線

31、的斜率就夠了設(shè)割線pq的傾斜角為，切線pt的傾斜角為，既然割線pq 的極限位置上的直線pt 是切線，所以割線pq 斜率的極限就是切線pq的斜率tan,即tan=二、導(dǎo)數(shù)的定義 由于速度問題、切線問題以及其他許多問題(如電流強度、角速度、線密度等等)均導(dǎo)致形如 的極限,我們撇開這些量的具體意義，抓住他們在數(shù)量關(guān)系上的共性，就得出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念 定義2.1 設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量在處取得增量（點仍在該鄰域內(nèi)）時，相當函數(shù)取得增量；如果與之比當時的極限 存在，則稱函數(shù)在點處可導(dǎo)，并稱這個極限為函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)， 記作，或。即： 函數(shù)在點處可導(dǎo)有時也說成在點具有導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)存在；若極限不

32、存在，則稱函數(shù)在點處不可導(dǎo) 注：(1)函數(shù)應(yīng)在點的附近有定義，否則導(dǎo)數(shù)不存在 (2)導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在點的處瞬時變化率，它反映的函數(shù)在點處變化的快慢程度 (3)左導(dǎo)數(shù): 右導(dǎo)數(shù): 函數(shù)在可導(dǎo)函數(shù)在處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等.(4)由導(dǎo)數(shù)定義，上述兩個引例中：例1 求y=x2在點x=1處的導(dǎo)數(shù).分析：根據(jù)求函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的方法的三個步驟，先求y，再求，最后求.解：y=(1+x)212=2x+(x)2，=2+x= (2+x)=2. 2. 導(dǎo)函數(shù)(導(dǎo)數(shù)):如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點處都有導(dǎo)數(shù)，此時對于每一個，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成了一個新的函數(shù), 稱這個函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，也可

33、記作，即在定義式中，設(shè)，則，當趨近于0時，趨近于，因此，導(dǎo)數(shù)的定義式可寫成函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)在開區(qū)間上導(dǎo)數(shù)在處的函數(shù)值，即所以函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)也記作注意：導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)都稱為導(dǎo)數(shù)，這要加以區(qū)分：求一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就是求導(dǎo)函數(shù)；求一個函數(shù)在給定點的導(dǎo)數(shù)，就是求導(dǎo)函數(shù)值它們之間的關(guān)系是函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在點的函數(shù)值可導(dǎo): 如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點都有導(dǎo)數(shù)，則稱函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)三、求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的一般方法：（1）求函數(shù)的改變量（2）求平均變化率（3）取極限，得導(dǎo)數(shù) 注意：(x)2括號別忘了寫. 例2 已知,求y.解：略 分析：例1中的一點處的導(dǎo)數(shù)與這里的任意點處的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。 例3 求函數(shù)的導(dǎo)

34、數(shù)。 解：（1）；（2）；（3) 特別地：當時，有點評：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也主要是求極限的值，所以極限是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)，求極限的一些基本方法不能忘掉.四 、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)的定義可知:函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點處的切線斜率，即,其中是切線的傾角.如下圖：如果在點可導(dǎo)，則曲線在點（）處的切線方程為例2 求曲線在點（2，8）處的切線方程和法線方程。解略。五、 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理2.1 如果函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù)，反之不成立. 函數(shù)具有連續(xù)性是函數(shù)具有可導(dǎo)性的必要條件，而不是充分條件.設(shè)函數(shù)在點可導(dǎo),即有: 由極限與無窮小的關(guān)系得: 其中為

35、當時的無窮小,上式兩端同乘以,得 當時,由連續(xù)性的定義可知:f(x)在x0處連續(xù).連續(xù)未必可導(dǎo)可通過反例說明，如y=|x|=在x0=0處y=(x)=0，y=x=0，y=0y=|x|在x=0處連續(xù).=y=|x|在x0=0處不可導(dǎo). 作業(yè)（課后平行項目）：p87: 4，5 課堂小結(jié)： 本節(jié)介紹了導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義以及可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系，同時重點介紹了利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的具體步驟，要求大家掌握并記住幾個基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。 課堂情況記錄及課后分析： 2 10 10 10 5 10 20 5 5 10 3 下堂課預(yù)習(xí)要求：湖 南 機 電 職 業(yè) 技 術(shù) 學(xué) 院 教 案（七）備課組長簽名：

36、教師簽名： 班 級日 期課題： 2.2-2.3函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)目的(知識、技能、態(tài)度)：掌握四則運算求導(dǎo)法則；掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則；通過一定數(shù)量的求導(dǎo)練習(xí)培養(yǎng)運算能力。教學(xué)重點：利用求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)難點：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的理解與應(yīng)用。課 型 ：新授課主要教學(xué)方法：講練結(jié)合法教學(xué)場所、設(shè)備要求：教 學(xué) 過 程 設(shè) 計（時間大體分配）教學(xué)方法.組織教學(xué)： 清查人數(shù)，作業(yè)講析， 復(fù)習(xí)引入1導(dǎo)數(shù)的定義及求導(dǎo)步驟，幾個基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式；2函數(shù) ，等等的導(dǎo)數(shù)又如何計算呢？、新課教學(xué)一、函數(shù)和，差的求導(dǎo)法則。 a設(shè)函數(shù)u(x)及v(x)在點x有導(dǎo)數(shù)，則函

37、數(shù)u(x)v(x)在點x也有導(dǎo)數(shù)，并且：即兩個函數(shù)的和或差的導(dǎo)數(shù)等于它們的導(dǎo)數(shù)的和或差。 即 上述法則可以推廣到任意有限個可導(dǎo)函數(shù)的和或差的情形 b設(shè)函數(shù)u(x)及v(x)在點x有導(dǎo)數(shù)，則乘積u(x)v(x)在點x也有導(dǎo)數(shù)，且： 即兩個函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個函數(shù)，加上第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第一個函數(shù)。 。 c設(shè)函數(shù)及在點有導(dǎo)數(shù)，且，則函數(shù)在點也有導(dǎo)數(shù)，且： 例1 求的導(dǎo)數(shù)。 例2 求的導(dǎo)數(shù)。 例3 求的導(dǎo)數(shù)。例4 求的導(dǎo)數(shù)。例5 求y=tgx的導(dǎo)數(shù) 用類似方法可求得。 例6 求y=secx的導(dǎo)數(shù)。用類似方法可求得。練習(xí)：p92 1，雙二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)在點x 處有導(dǎo)

38、數(shù)，函數(shù)y=f(u)在x的對應(yīng)點u處有導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點x處也有導(dǎo)數(shù)，且 或: 即兩個可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)。注：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則也稱為鏈式法則，它可以推廣到多個變量的情形。 例7 求的導(dǎo)數(shù) 例8 求的導(dǎo)數(shù) 例9 求的導(dǎo)數(shù) 例10 求的導(dǎo)數(shù)。 例11 求的導(dǎo)數(shù) 例12 求的導(dǎo)數(shù)練習(xí)：p95 1，雙 作業(yè)（課后平行項目）：p92:1單 p95:1 單 課堂小結(jié)：本節(jié)介紹了導(dǎo)數(shù)的四則運算求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。特別是對于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則請一定要按復(fù)合步驟一步一步求導(dǎo)并做乘積 課堂情況記錄及課后分析： 5 10 20 10 10

39、 2010 5 下堂課預(yù)習(xí)要求：湖 南 機 電 職 業(yè) 技 術(shù) 學(xué) 院 教 案（八）備課組長簽名： 教師簽名： 班 級日 期課題： 2.4-2.5隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的(知識、技能、態(tài)度)：了解隱函數(shù)概念及隱函數(shù)的求導(dǎo)法則；熟悉冪指函數(shù)的對數(shù)求導(dǎo)法；熟練掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和基本公式。教學(xué)重點：隱函數(shù)與冪指函數(shù)的求導(dǎo)方法；初等函數(shù)求導(dǎo)公式。教學(xué)難點：隱函數(shù)求導(dǎo)。課 型 ：新授課主要教學(xué)方法：引導(dǎo)式教學(xué)法；歸納法；講授法教學(xué)場所、設(shè)備要求：教 學(xué) 過 程 設(shè) 計（時間大體分配）教學(xué)方法.組織教學(xué)： 復(fù)習(xí)引入：1幾個基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式；2兩個求導(dǎo)法則。、新課教學(xué)一、 隱函數(shù)的求

40、導(dǎo)方法1.隱函數(shù)概念我們過去所遇到的函數(shù)中，自變量x和函數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系通常用這種明顯的表達式給出。這種形式的函數(shù)，叫做顯函數(shù)。如：，等。但在方程中，給x一個確定的值，有唯一確定的y值與之對應(yīng)，因此y是x的函數(shù)。這種函數(shù)關(guān)系隱含在方程中。我們把有方程所確定的函數(shù)叫做隱函數(shù)。例如，下列方程都給出了一個相應(yīng)的隱函數(shù)：（）；（）；（）。很明顯，有時可以將隱函數(shù)化為顯函數(shù)的形式，如上面的（）式很容易化為顯函數(shù)：。但通常將隱函數(shù)化為顯函數(shù)是比較困難的，如上面的（）式就無法將y表示成的顯函數(shù)。2. 隱函數(shù)的求導(dǎo)方法例1求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解：在方程中，將y看成x的函數(shù)，則是x的復(fù)合函數(shù)，因此，

41、利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，方程兩端同時對x求導(dǎo)，得：。即： 從中解出，得：。注意：上述結(jié)果中的y任然是由方程所確定的隱函數(shù)。習(xí)慣上，對隱函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)果允許用帶有y的式子表示。例1表明，求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，只需在方程中，將y看成x的函數(shù)，y的表達式看成x的復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，方程兩端同時對x求導(dǎo)，得到一個關(guān)于x、y、的方程，從中解出，即得到所求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例2求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解：方程兩端對求導(dǎo)，得：解得：例3求橢圓在（，）處的切線方程解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，所求切線斜率為：。橢圓方程兩邊對x求導(dǎo)，得：。解出，得：。將x2，y代入上式，得：，于是所求切線方程為：。即：。二、冪指函數(shù)的求導(dǎo)方法一般地，冪指函數(shù)可以用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)，也可將冪指函數(shù)寫成，再用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)。例4用對數(shù)求導(dǎo)法求冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解兩邊取對數(shù)，得：。兩邊對x求導(dǎo)，得：。整理，得：。例5求冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解對數(shù)求導(dǎo)法，對由多個因子通過乘、除、乘方或開方所構(gòu)成的比較復(fù)雜的函數(shù)的求導(dǎo)也是很方便的。例6求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解兩邊取對數(shù)，得：兩邊對x求導(dǎo)，得：即： 三、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1.導(dǎo)數(shù)的基本公式 2 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則：（）（）（）3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則： 設(shè)，