《質點力學理論力學》ppt課件

1、1 第一章 質點力學 1.1 運動的描畫2一、根本概念一、根本概念n質點質點n 有質量的幾何點有質量的幾何點 理想模型理想模型n參照系、坐標系參照系、坐標系n 被選定的參考物體被選定的參考物體n 在參照系上建立坐標系在參照系上建立坐標系n 常用坐標系：直角坐標系、平面極坐標常用坐標系：直角坐標系、平面極坐標系、自然坐標系系、自然坐標系 等等n位置矢量位置矢量3位置矢量位置矢量ktzjtyitxr)()()( 極軸)()(titrr 4二、運動方程與軌道二、運動方程與軌道n運動方程運動方程n 質點位置與時間的關系式質點位置與時間的關系式)(trr )()()(tzztyytxx )()(ttrr

2、 )(xyy )( rr 直角坐標極坐標n軌道方程軌道方程5三、位移、速度、加速度三、位移、速度、加速度n位移位移ABrrrrdtrdtrtvtlim0)(vdtdstrtvtlim0)(留意：位移與路程的區(qū)別n速度速度留意：留意：(1)速度矢量速度矢量(2)速率6加速度加速度n速度和加速度的定義都是矢量求導，計速度和加速度的定義都是矢量求導，計算困難算困難.n處理方法：建立坐標系，把矢量導數的處理方法：建立坐標系，把矢量導數的計算化為標量計算計算化為標量計算.n根據實踐問題運動特點，需采用適當的根據實踐問題運動特點，需采用適當的坐標系，可化簡計算坐標系，可化簡計算.rvdtvdtvtat l

3、im0)(71.2 速度、加速度的分量表示式速度、加速度的分量表示式一、直角坐標系一、直角坐標系 kzj yi xrkzj yi xdtrdvkzj yi xdtvda rvtaavtr,)(,)(知 初始條件8二、極坐標系二、極坐標系 推導 )(i rrjri rvjrrirra )2()(2推導9留意留意n1.rvrvr rrarrar22idtj djdti didj djdi dn 2. 單位矢量求導10推行推行長度恒定的矢量轉動時，對時間的變化率長度恒定的矢量轉動時，對時間的變化率cAAA以 轉動AdtAd11三、自然坐標系三、自然坐標系隨質點一同運動，建立在 軌道曲線上的動系.基矢

4、：切向、主法向、負法線 )( i)( jn)(kb)(tss i vidtdsvjvidtdva2從軌道上選取一個原點o，用沿軌道曲線的弧長 s描畫質點的位置推導12圖 i j k13例題1 例題1：橢圓規(guī)尺AB的兩端分別沿相互垂直的直線槽ox及oy滑動，知B端以勻速c運動.求：規(guī)尺上求：規(guī)尺上M點的點的 軌道方程，軌道方程， 速度，加速度。速度，加速度。14例題例題2知：運動方程知：運動方程bterctb、c是常數求：速度、加速度求：速度、加速度例題例題3知：質點的軌道方程知：質點的軌道方程sin4as 為切線與程度線夾角，為切線與程度線夾角，s弧長弧長. 圓滾線方程圓滾線方程證明：假設證明

5、：假設為常數，加速度也為一常數為常數，加速度也為一常數.15例題例題4證明質點在平面運動中其速度的大小可用下式表示證明質點在平面運動中其速度的大小可用下式表示 dtdv 曲率半徑，曲率半徑， 為速度與程度線夾角為速度與程度線夾角16一質點沿拋物線一質點沿拋物線 運動，速率為常量運動，速率為常量c. 運動過程運動過程pxy22中質點的縱坐標中質點的縱坐標y不斷變小不斷變小. 試求出質點的速度和加速度試求出質點的速度和加速度.例題517 1.3 平動參照系平動參照系兩參照系作平動的情況兩參照系作平動的情況orrrovvvorrroaaaaaS系：oxy 靜系S系：oxy 動系 任一質點 P：絕對速

6、度相對速度牽連速度絕對速度相對速度牽連速度絕對加速度相對加速度牽連加速度絕對加速度相對加速度牽連加速度特別：特別：S相對相對S作勻速直線運動作勻速直線運動18例題例題1知：小船知：小船M看成質點，被水沖走，用繩拉回看成質點，被水沖走，用繩拉回A點。點。設水流速度設水流速度c1，拉回速度，拉回速度c2。求：小船的軌跡求：小船的軌跡191.4 質點運動定理質點運動定理一、牛頓運動定律一、牛頓運動定律 1.牛頓第一定律牛頓第一定律 任何物體假設沒有遭到其它物體的作用，任何物體假設沒有遭到其它物體的作用，都將堅持靜止形狀或勻速直線運動形狀都將堅持靜止形狀或勻速直線運動形狀. 慣性慣性定律定律 2.牛頓

7、第二定律牛頓第二定律amF12FF3.牛頓第三定律20二、相對性原理二、相對性原理n內容：一切慣性系中力學規(guī)律是一樣的內容：一切慣性系中力學規(guī)律是一樣的n了解：了解：1什么是慣性系？什么是慣性系？n 2非慣性系非慣性系n 3相對慣性系作勻速直線運動的相對慣性系作勻速直線運動的n 參照系都是慣性系參照系都是慣性系n可知：可知：1慣性系有許多，知道一個慣性慣性系有許多，知道一個慣性n 系中的物理定律，就可知其它系中的物理定律，就可知其它n 慣性系中的物理定律慣性系中的物理定律.n 2是用來判別學者們提出的物理學是用來判別學者們提出的物理學說說n 正確與否的根據正確與否的根據.21例如例如證明證明

8、牛頓第二定律滿足相對性原理牛頓第二定律滿足相對性原理 S系：相對地球靜止，慣性系系：相對地球靜止，慣性系 amFFFmm aaamFS系與系與S系中牛頓第二定律方式一樣，符合相對性原理系中牛頓第二定律方式一樣，符合相對性原理S系：作勻速直線運動，慣性系系：作勻速直線運動，慣性系.221.5 質點運動微分方程質點運動微分方程本章目的：本章目的：)(trF),(22tdtrdrFdtrdm 解微分方程： 1受力分析 萬有引力、彈性力、電磁場對電荷的作用力、摩擦力、介質阻力等.一、建立運動微分方程一、建立運動微分方程 1. 自在質點自在質點232化為標量方程化為標量方程直角坐標系直角坐標系),(),

9、(),(tzyxzyxFzmtzyxzyxFymtzyxzyxFxmzyx ),()2(),()(trrFrrmtrrFrrmr bnFFvmFdtdvm02平面極坐標平面極坐標自然坐標自然坐標243初始條件000vvrrt，)(trr )()()(tzztyytxx4求解 運動方程非線性非線性 混沌混沌252. 非自在質點n處理方法：去掉約束，用約束反作用力替代處理方法：去掉約束，用約束反作用力替代RtdtrdrFdtrdm),(22R 運動微分方程 解方程與自在質點一樣 留意1 普通未知，加約束方程 2用自然坐標系很方便26例題例題1 力僅是時間的函數力僅是時間的函數自在電子在沿自在電子在

10、沿x軸的振蕩電場中運動：軸的振蕩電場中運動：)cos(0tEEx)cos(0teEeEFxx電子受力：電子受力：27例題例題2 力是速度的函數力是速度的函數 研討在有阻力研討在有阻力 的媒質中運動的媒質中運動的拋射體。的拋射體。)(vR假設假設 求拋射體的軌道方程求拋射體的軌道方程 vmbvR)(28例題例題3 力是坐標的函數力是坐標的函數原子在晶體點陣中的運動原子在晶體點陣中的運動kzkj yki xkzyxFzyx),(29利薩如圖形利薩如圖形30受迫振動受迫振動LRC電路電路)(tFkxxbxm )(1tEqCqRqL 31例題例題4 質量為m的質點，在有阻力的空氣中無初速地自離地面為h

11、的地方豎直下落，如阻力與速度成正比mkv，試求運動方程。32例題例題5 小環(huán)的質量為m，套在一條光滑的鋼索上，鋼索的方程式為 . 試求小環(huán)自x=2a處自在滑至拋物線頂點時的速度及小環(huán)在此時所遭到的約束反作用力。ayx4233質點動力學問題解題總結質點動力學問題解題總結n受力分析受力分析n寫出運動微分方程矢量式寫出運動微分方程矢量式n建立適當的坐標系分解標量方程建立適當的坐標系分解標量方程n解微分方程解微分方程n討論討論341.6 非慣性系動力學非慣性系動力學1一、加速平動參照系中運動微分方程一、加速平動參照系中運動微分方程 S系：系：oxy 靜系靜系oaaaamFoamamF)(oamFam物

12、理意義物理意義S系：系：oxy 動系動系35二、慣性力二、慣性力n慣性力反映參照系不是慣性系慣性力反映參照系不是慣性系n慣性力不是物體間的相互作用，沒慣性力不是物體間的相互作用，沒有施力者，也不存在反作用力有施力者，也不存在反作用力361.7 功與能功與能一、功與功率一、功與功率BArdFWkzj yi xrkFjFiFFzyxdzFdyFdxFWzyBAx功：功：元功：元功：37假設功率：功率：nFFFF21BAnBABArdFrdFrdFW21vFdtrdFdtdwp38二、能二、能n 物體處在某一形狀所具有的能量n 能是形狀量，功是過程量，是能量變化的量度 勢能動能221mvT 物體相對

13、位置發(fā)生變化物體相對位置發(fā)生變化 V機械能機械能39三、保守力、非保守力與耗散力三、保守力、非保守力與耗散力力場)(kzVjyVixVVFdzzVdyyVdxxVrdFdW力僅是坐標的函數力僅是坐標的函數 保守力和非保守力耗散力耗散力)(rF做功與途徑無關保守力做功與途徑無關保守力40四、勢能四、勢能1. 定義：在保守力場中dzFdyFdxFWzyBAxBAdzzVdyyVdxxVBAABVVdV)(處的勢能),(zyxV),(zyxBA質點由勢能的減少等于保守力所做的功是質點在412. 保守力的充要條件0FF0zyxFFFzyxkji000 xFyFxFzFzFyFyxzxyz那么為保守力即

14、42例題例題1設作用在質點上的力是設作用在質點上的力是6252zyxFzyxFzyxFzyx7sincoszyx20求此質點沿螺旋線求此質點沿螺旋線運轉自運轉自時，力對質點所做的功時，力對質點所做的功.43例題例題2 接上題條件接上題條件假設1285432zyxFxzFzyxFzyx0FdzFdyFdxFWzyBAx226982可以證明可以證明做功與途徑有關做功與途徑有關不存在勢函數不存在勢函數441.8 質點動力學的根本定理與根本守恒律質點動力學的根本定理與根本守恒律一、動量定理與動量守恒一、動量定理與動量守恒1. 動量動量vmpdtpddtvmdF)(適用范圍更廣，相對論中仍是此方式適用范

15、圍更廣，相對論中仍是此方式.2. 動量定理動量定理453. 沖量沖量力對時間的積累211212ttdtFvmvmpp21ttdtFI0Fcvmp0F0 xFcxmpx那么但分量方式：假設分量方式：假設意義：質點不受外力作用時，動量堅持不變意義：質點不受外力作用時，動量堅持不變.那么假設假設意義：質點動量的變化等于外力在這段時間內給予該質意義：質點動量的變化等于外力在這段時間內給予該質 點的沖量點的沖量. 動量定理的積分方式動量定理的積分方式.4. 動量守恒定律動量守恒定律46二、動量矩定理與動量矩守恒律二、動量矩定理與動量矩守恒律 對點的力矩對點的力矩FFrMMMrFsinrFM kFjFiF

16、Fzyxkzj yi xr對軸的力矩：對點的力矩再投影到軸上對軸的力矩：對點的力矩再投影到軸上的大小右手螺旋的方向對A點的力矩 力矩力矩47軸的力矩對對x軸的力矩軸的力矩zyxFFFzyxkjiFrMkyFxFjxFzFizFyFxyzxyz)()()(kMjMiMzyx對對y軸的力矩軸的力矩對對z軸的力矩軸的力矩482. 動量矩動量矩定義zmymxmzyxkjivmrJkxyyxmjzxxzmiyzzym)()()(kJjJiJzyx493. 動量矩定理動量矩定理分量方式分量方式MdtJdxyzxyzyFxFxyyxmdtdxFzFzxxzmdtdzFyFyzzymdtd)()()(2112

17、ttdtMJJ意義：質點動量矩的變化等于外力在該時間內給予意義：質點動量矩的變化等于外力在該時間內給予 該質點的沖量矩該質點的沖量矩.積分方式積分方式 證明504. 動量矩守恒動量矩守恒 角動量守恒角動量守恒0M0FvmrJ0M0zMzJ常量恒矢量Fr/51例題例題 質點受力恒經過某一個定點，試證明質點必在某一平面上運動。證明：建極坐標系，O為坐標原點 那么 r 與 F 共線，0Fr321)()()(cxyyxmJczxxzmJcyzzymJzyx) 3 () 2 () 1 (zyx) 3()2() 1 (0321zcycxc得平面運動方程：角動量守恒：J 為恒矢量52三、動能定理與機械能守恒

18、三、動能定理與機械能守恒n定理定理rdFmvd)21(2rrrdFmvmv02022121VF),(),(2121000202zyxVzyxVmvmv20000221),(),(21mvzyxVzyxVmv力是保守力機械能守恒機械能守恒積分方式證明意義：力對空間積累53第一積分或初積分第一積分或初積分 假設方程假設方程 對時間的一次微商對時間的一次微商就是牛頓運動微分方程，就稱上式為牛頓運動方程的第就是牛頓運動微分方程，就稱上式為牛頓運動方程的第一積分或初積分一積分或初積分.ctzyxzyxGx),(數學上：二階微分方程降為一階數學上：二階微分方程降為一階物理上：力學量物理上：力學量 G 是一

19、個守恒量是一個守恒量 物理意義明顯的初積分：物理意義明顯的初積分： 動量守恒、動量矩守恒、能量守恒動量守恒、動量矩守恒、能量守恒由初積分出發(fā)，問題的求解簡化了一步由初積分出發(fā)，問題的求解簡化了一步 優(yōu)先運用守恒律優(yōu)先運用守恒律54例題1重錘重錘 輕杠輕杠 固定固定 o 點點 在豎直平面內在豎直平面內圓周運動圓周運動 自在落下自在落下用兩種方法，求最低點的速度用兩種方法，求最低點的速度.0t055勢能曲線勢能曲線勢壘勢阱ExVxm)(212隧道效應56一質量為一質量為m的質點，在保守力作用下作直線運動，其勢的質點，在保守力作用下作直線運動，其勢能函數為：能函數為：例題2)()(22axcxxVa

20、、c 為常數試求：試求：1質點的穩(wěn)定平衡點的位置質點的穩(wěn)定平衡點的位置 2質點在穩(wěn)定平衡位置附近作微小振動時的質點在穩(wěn)定平衡位置附近作微小振動時的 振動周期振動周期 57圖58總結總結Fdtrdm22dtpddtvmdF)(MdtJdrdFmvd)21(20Fcvmp0McvmrJVFEVT運動微分方程的初積分或第一積分運動微分方程的初積分或第一積分三個守恒律三個守恒律591.9 有心力有心力 方向：質點在運動中受力的方向總經過某 固定點o力心 大?。菏笍?r 的函數)(rF),(yx),(rrrrFrF)()( 用兩個坐標表示一、有心力的根本性質一、有心力的根本性質2. 質點一直在一平面內運

21、動質點一直在一平面內運動1. 有心力定義有心力定義603. 根本方程根本方程rrrFrm )(ryrFymrxrFxm)()( 0)2()()(FrrmrFrrm 分量方式分量方式)2() 1 (61方程方程2物理意義物理意義0)(12rdtdrmmhmr2mhvmr動量矩守恒動量矩守恒2式：4.質點在有心力作用下，動量矩守恒質點在有心力作用下，動量矩守恒5. 有心力是保守力有心力是保守力0F證明 機械能守恒機械能守恒ErVrrm)()(2122262hrrFrrm 22)()(Fududumh)(2222)()(rFrr”引力“”斥力“F知可證明：由方程二、軌道微分方程比耐公式二、軌道微分方

22、程比耐公式63例題例題證明：質點受有心力作用做圓證明：質點受有心力作用做圓cos2ar 5228rhmaFFududumh)(2222cos211aru2cossin21adducos1cos221322adud解：根據的運動，那么的運動，那么64三、平方反比引力行星的運動三、平方反比引力行星的運動 1. 用比耐公式求行星的軌道方程用比耐公式求行星的軌道方程 知知 rurF)(22222umkrmkrGMmF222222)(ukududuh220)cos(hkAu0、AGMk 2由初始條件定方程解：方程解：由比耐公式：由比耐公式：太陽太陽M與行星與行星(m)間的萬有引力：間的萬有引力：65軌道

23、方程軌道方程適中選取坐標原點可使適中選取坐標原點可使)cos(102222khAkhr00cos1cos12222epkhAkhr111eee雙曲線拋物線橢圓討論：圓錐曲線的規(guī)范方程圓錐曲線的規(guī)范方程662. 用能量守恒求軌道用能量守恒求軌道引力勢能引力勢能rmkdrrmkdrrFVr222)(Ermkrrm2222)(21hr2rkhrmEhrddr22222)cos(21104222mkEhkhr解：角動量守恒角動量守恒機械能守恒機械能守恒67兩種方法結果比較兩種方法結果比較e的物理于意義22)(21khmEe111eee000EEE0220021rmkmvEE初始能量決議闡明：軌道的外形

24、由總能量闡明：軌道的外形由總能量E決議，而決議，而E守恒，所以守恒，所以雙曲線拋物線橢圓68四、開普勒定律四、開普勒定律第一定律：行星繞太陽作橢圓運動，太陽位于橢第一定律：行星繞太陽作橢圓運動，太陽位于橢圓的一個焦點上圓的一個焦點上.第二定律：行星和太陽之間的聯(lián)線第二定律：行星和太陽之間的聯(lián)線 矢徑，矢徑，在相等時間所掃過面積相等在相等時間所掃過面積相等.第三定律：行星公轉的周期的平方和軌道半長軸第三定律：行星公轉的周期的平方和軌道半長軸的立方成正比的立方成正比.后來，牛頓發(fā)表了萬有引力定律。后來，牛頓發(fā)表了萬有引力定律。從開普勒定律推出萬有引力定律從開普勒定律推出萬有引力定律691.由開普勒

25、第二定律得出行星受有心力作用由開普勒第二定律得出行星受有心力作用開普勒第二定律：開普勒第二定律：常數dtdAdtdrtrtAdtdAtt22002121limlim22rAcA cr2mhmr2cJ 0M0Fr0F所以：所以：r必與必與F共線，行星必受有心力作用，太陽是力心共線，行星必受有心力作用，太陽是力心行星有加速度，行星有加速度，702. 由開普勒第一定律求行星受力量值由開普勒第一定律求行星受力量值第一定律：cos1 eprcos1pepusinpedducos22pedud)(222ududmhuFpumh1222221rrphmGMk 2闡明：行星受力是平方反比引力，但不能說就是萬有

26、闡明：行星受力是平方反比引力，但不能說就是萬有引力，因引力，因 h、p與行星有關，而萬有引力中與行星有關，而萬有引力中 與行星無關與行星無關.713. 由開普勒第三定律闡明 的意義掃過面積掃過面積ph2hrdtdA21212tabAabh223222222244aabbaphca23cph2ph2與行星無關與行星無關.結論：結論：h、p雖與行星有關，雖與行星有關，但但開普勒第三定律：開普勒第三定律：有由設行星運轉周期設行星運轉周期724. 與萬有引力比較與萬有引力比較n行星運動周期行星運動周期22rphmF222rmkphk222324aka23273五、宇宙速度與宇宙航行五、宇宙速度與宇宙航

27、行人造衛(wèi)星運動軌道人造衛(wèi)星運動軌道cos2114222mkEhkhr0220021rmkmvEEcos)2(1102204222rkvkhkhr)2(1022042rkvkhe74討論討論1.當0e0EsmRgrGMrkv/109 . 730001e0E0210220rmkmvsmRgRGMrkv/102 .112223020第二宇宙速度第二宇宙速度沿拋物線軌道飛出，脫離地球第一宇宙速度第一宇宙速度圓形軌道圓形軌道2.753.當仿照地球：仿照地球：1e0E雙曲線雙曲線脫離太陽脫離太陽smRGMvss/102 .4223地球相對太陽的速度：地球相對太陽的速度：smve/10303行星脫離太陽的速度：行星脫離太陽的速度：smvvve/10123還需抑制地球引力：還需抑制地球引力：222222321212121mvmvRmkmvmv第三宇宙速度：第三宇宙速度：smvvv/105 .163222376六、六、粒子散射粒子散射n1911年，一個重要年，一個重要的實驗，闡明原子的實驗，闡明原