實(shí)際問題與二元一次方程組應(yīng)用題歸納整理

1、實(shí)際問題與二元一次方程組題型歸納知識(shí)點(diǎn)一：列方程組解應(yīng)用題的基本思想列方程組解應(yīng)用題是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系 一般來說，有幾個(gè)未知數(shù)就列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿足：（1）方程兩邊表示的是同類量；（2）同類量的單位要統(tǒng)一；（3）方程兩邊的數(shù)值要相等.知識(shí)點(diǎn)二：列方程組解應(yīng)用題中常用的基本等量關(guān)系1.行程問題：（1）追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是同向而行。這類問題比較直觀, 畫線段,用圖便于理解與分析。其等量關(guān)系式是：兩者的行程差二開始時(shí)兩者相距的路程;相遇問題:相遇問題也是行程問題中很重要的一種，它的

2、特點(diǎn)是相向而行。這類問題也比較直 觀，因而也畫線段圖幫助理解與分析。這類問題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之和二總路程。（3）航行問題：船在靜水中的速度+水速=船的順?biāo)俣龋?船在靜水中的速度-水速=船的逆水速度； 順?biāo)俣饶嫠俣?2 X水速。注意：飛機(jī)航行問題同樣會(huì)出現(xiàn)順風(fēng)航行和逆風(fēng)航行，解題方法與船順?biāo)叫小⒛嫠叫袉栴}類似。2 .工程問題：工作效率X工作時(shí)間=工作量.3 .商品銷售利潤(rùn)問題：利潤(rùn)奉=售忙羅介X100%利潤(rùn)二售價(jià)成本（進(jìn)價(jià)）；（2）；利潤(rùn)二成本（進(jìn)價(jià)）X利潤(rùn)率;標(biāo)價(jià)二成本（進(jìn)價(jià)）X（1 +利潤(rùn)率）；實(shí)際售價(jià)二標(biāo)價(jià)X打折率；注意：“商品利潤(rùn)=售價(jià)一成本”中的右邊為正時(shí)，是盈利

3、；為負(fù)時(shí)，就是虧損。打幾折就是按標(biāo)價(jià)的十分之幾或百分之幾十銷售。（例如八折就是按標(biāo)價(jià)的十分之八即五分之四或者百分之八十）4 儲(chǔ)蓄問題:（1）基本概念 本金：顧客存入銀行的錢叫做本金。利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息。本息和：本金與利息的和叫做本息和。期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫做期數(shù)。利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫做利率。利息稅：利息的稅款叫做利息稅。（2）基本關(guān)系式 利息二本金X利率X期數(shù) 本息和=本金+利息=本金+本金X利率X期數(shù)=本金X （1 +利率X期數(shù)） 利息稅=利息X利息稅率=本金X利率X期數(shù)X利息稅率。月利奉豐利奉X：丄 稅后利息二利息X （1 -利息稅率）年利率二月利率X 12注

4、意：免稅利息=利息5 .配套問題：解這類問題的基本等量關(guān)系是：總量各部分之間的比例=每一套各部分之間的比例。6 .增長(zhǎng)率問題：解這類問題的基本等量關(guān)系式是：原量X （1 +增長(zhǎng)率）=增長(zhǎng)后的量；原量X（1 一減少率）=減少后的量.7 .和差倍分問題：解這類問題的基本等量關(guān)系是：較大量=較小量+多余量，總量=倍數(shù)X倍量8 .數(shù)字問題：解決這類問題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示。如當(dāng)n為整數(shù)時(shí)，奇數(shù)可表示為2n+1（或2n-1），偶數(shù)可表示為2n等，有關(guān)兩位數(shù)的基本等量關(guān)系式為：兩位 數(shù)=十位數(shù)字10+個(gè)位數(shù)字9 .濃度問題：溶液質(zhì)量X濃度=溶質(zhì)質(zhì)量.-可編輯修改 -1

5、0 幾何問題： 解決這類問題的基本關(guān)系式有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長(zhǎng)、面積等計(jì)算公式11 年齡問題： 解決這類問題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長(zhǎng)數(shù)是相等，兩人的年齡差是永遠(yuǎn)不 會(huì)變的12 優(yōu)化方案問題：在解決問題時(shí)，常常需合理安排。需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅 行社購(gòu)票等，一般都要運(yùn)用方程解答，得出最佳方案。注意： 方案選擇題的題目較長(zhǎng)，有時(shí)方案不止一種，閱讀時(shí)應(yīng)抓住重點(diǎn),比較幾種方案得出最佳知識(shí)點(diǎn)三：列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟 利用二元一次方程組探究實(shí)際問題時(shí)，一般可分為以下六個(gè)步驟： 1審題:弄清題意及題目中的數(shù)量關(guān)系； 2設(shè)未知數(shù) :可直接設(shè)元，也可間接設(shè)元；

6、3找出題目中的等量關(guān)系； 4列出方程組 :根據(jù)題目中能表示全部含義的等量關(guān)系列出方程， 并組成方程組； 5解所列的方程組，并檢驗(yàn)解的正確性； 6 寫出答案 .要點(diǎn)詮釋：(1) 解實(shí)際應(yīng)用問題必須寫“答” ，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；(2) “設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；(3) 一般來說，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組 .(4) 列方程組解應(yīng)用題應(yīng)注意的問題弄清各種題型中基本量之間的關(guān)系；審題時(shí)，注意從文字，圖表中獲得有關(guān)信息；注意用方程組解應(yīng)用題的過程中單位的書寫，設(shè)未知數(shù)和寫答案都要帶單位，列 方程組與解方程組時(shí)

7、， 不要帶單位；正確書寫速度單位，避免與路程單位混淆；在尋找等量關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意挖掘隱含的條件； 列方程組解應(yīng)用題一定要注意檢驗(yàn)。分類練習(xí):類型一：列二元一次方程組解決一一行程問題甲、乙兩地相距160千米，一輛汽車和一輛拖拉機(jī)同時(shí)由甲、乙兩地相向而行,1小時(shí)20分相遇.相遇后，拖拉機(jī)繼續(xù)前進(jìn)，汽車在相遇處停留1小時(shí)后調(diào)轉(zhuǎn)車頭原速返回，在汽車再次出發(fā)半小時(shí)后追上了拖拉機(jī)這時(shí)，汽車、拖拉機(jī)各自行駛了多少千米？【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走 2小時(shí)，那么他們?cè)谝页霭l(fā)2.5小時(shí)后相遇；如果乙比甲先走 2小時(shí)，那么他們?cè)诩壮霭l(fā) 3小時(shí)后相遇，甲、乙兩人每小時(shí)各走多少千米？【變式

8、2】?jī)傻叵嗑?80千米，一艘船在其間航行，順流用14小時(shí)，逆流用20小時(shí)，求船在靜 水中的速度和水流速度。-可編輯修改 -類型二：列二元一次方程組解決一一工程問題02 家商店要進(jìn)行裝修，若請(qǐng)甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元；若先請(qǐng)甲組單獨(dú)做6天，再請(qǐng)乙組單獨(dú)做12天可完成，需付兩組費(fèi)用共3480元，問：(1)甲、乙兩組工作一天，商店應(yīng)各付多少元？(2)已知甲組單獨(dú)做需12天完成，乙組單獨(dú)做需24天完成，單獨(dú)請(qǐng)哪組，商店所付費(fèi)用最少？【變式】小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個(gè)裝飾公司合作6周完成需工錢5.2萬(wàn)元；若甲公司單獨(dú)做4周后，剩下的由乙公司來做，還需

9、9周完成，需工錢4.8萬(wàn)元.若只選一個(gè)公司單獨(dú)完成， 從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請(qǐng)你說明理由類型三：列二元一次方程組解決一一商品銷售利潤(rùn)問題03有甲、乙兩件商品，甲商品的利潤(rùn)率為 5%,乙商品的利潤(rùn)率為4%,共可獲利46元。價(jià)格調(diào)整后，甲商品的利潤(rùn)率為 4%，乙商品的利潤(rùn)率為5%，共可獲利44元，則兩件商品的進(jìn)價(jià)分別是多少元?【變式1】（2011湖南衡陽(yáng)）李大叔去年承包了 10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，共獲利 18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元，李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？【變式2】某商場(chǎng)用36萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品，銷售

10、完后共獲利6萬(wàn)元，其進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表:AB進(jìn)價(jià)（元/件）12001000售價(jià)（元/件）13801200（注：獲利=售價(jià)一進(jìn)價(jià)）求該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品各多少件;類型四：列二元一次方程組解決一一銀行儲(chǔ)蓄問題04小明的媽媽為了準(zhǔn)備小明一年后上高中的費(fèi)用，現(xiàn)在以兩種方式在銀行共存了2000元錢，一種是年利率為2.25 %的教育儲(chǔ)蓄，另一種是年利率為 2.25 %的一年定期存款，一年后可取出 2042.75元，問這兩種儲(chǔ)蓄各存了多少錢？（利息所得稅二利息金額X20%，教育儲(chǔ)蓄沒有利息所得稅）【變式1】李明以兩種形式分別儲(chǔ)蓄了 2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得稅可得 利息43.92

11、元.已知兩種儲(chǔ)蓄年利率的和為3.24%，問這兩種儲(chǔ)蓄的年利率各是百分之幾？（注：公 民應(yīng)繳利息所得稅=利息金額X 20% ）【變式2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費(fèi)用，在銀行同時(shí)用兩種方式共存了4000元錢.第一種，一年期整存整取，共反復(fù)存了3次，每次存款數(shù)都相同，這種存款銀行利率為年息2.25% ;第二種，三年期整存整取，這種存款銀行年利率為2.70%.三年后同時(shí)取出共得利息303.75元（不計(jì)利息稅），問小敏的爸爸兩種存款各存入了多少元？類型五：列二元一次方程組解決一一生產(chǎn)中的配套問題C5.某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個(gè)或衣袖5只.現(xiàn)計(jì)劃用132米

12、這種布料生產(chǎn)這批秋裝（不考慮布料的損耗），應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？【變式1】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個(gè)盒身或22個(gè)盒底，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一個(gè)完整盒子，問用多少?gòu)堣F皮制盒身，多少?gòu)堣F皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？【變式2】某工廠有工人60人，生產(chǎn)某種由一個(gè)螺栓套兩個(gè)螺母的配套產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺栓14個(gè)或螺母20個(gè)，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套?！咀兪?】一張方桌由1個(gè)桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做桌面50個(gè)，或做桌腿300條?，F(xiàn)有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌

13、腿, 面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少?gòu)埛阶?？做出的桌類型六：列二元一次方程組解決一一增長(zhǎng)率問題C6.某工廠去年的利潤(rùn)（總產(chǎn)值一總支出）為200萬(wàn)元，今年總產(chǎn)值比去年增加了20%，總支出比去年減少了 10%，今年的利潤(rùn)為780萬(wàn)元，去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬(wàn)元?【變式1】若條件不變，求今年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬(wàn)元?【變式2】某城市現(xiàn)有人口 42萬(wàn)，估計(jì)一年后城鎮(zhèn)人口增加 0.8%，農(nóng)村人口增加1.1%，這樣全市人口增加1%，求這個(gè)城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口類型七：列二兀一次方程組解決和差倍分冋題7. （2011年北京豐臺(tái)區(qū)中考一摸試題）“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠原計(jì)劃每周生產(chǎn) 帳篷共

14、9千頂，現(xiàn)某地震災(zāi)區(qū)急需帳篷14千頂，兩廠決定在一周內(nèi)趕制出這批帳篷為此，全體職 工加班加點(diǎn)，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠一周內(nèi)制作的帳篷數(shù)分別達(dá)到了原來的1.6倍、1.5倍，恰好按時(shí)完成了這項(xiàng)任務(wù)求在趕制帳篷的一周內(nèi)，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產(chǎn)帳篷多少千頂？【變式1】（2011年北京門頭溝區(qū)中考一模試題）“地球一小時(shí)”是世界自然基金會(huì)在 2007年提出 的一項(xiàng)倡議號(hào)召個(gè)人、社區(qū)、企業(yè)和政府在每年3月最后一個(gè)星期六20時(shí)30分一21時(shí)30分熄燈一小時(shí)，旨在通過一個(gè)人人可為的活動(dòng)，讓全球民眾共同攜手關(guān)注氣候變化，倡導(dǎo)低碳生活中國(guó) 內(nèi)地去年和今年共有119個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)，且今年參

15、加活動(dòng)的城市個(gè)數(shù)比去年的 3倍少13個(gè), 問中國(guó)內(nèi)地去年、今年分別有多少個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng).【變式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。如果每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多 1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？類型八：列二元一次方程組解決一一數(shù)字問題仇兩個(gè)兩位數(shù)的和是68，在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)，得到一個(gè)四位數(shù);在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)，也得到一個(gè)四位數(shù)，已知前一個(gè)四位數(shù)比后一個(gè)四位數(shù)大2178，求這兩個(gè)兩位數(shù)?！咀兪?】一個(gè)兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的 3倍，結(jié)果是23 ;這個(gè)兩位數(shù)除以它的各位

16、數(shù)字之和，商是 5 ，余數(shù)是 1 ，這個(gè)兩位數(shù)是多少？【變式 2 】一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大 5，如果把十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少 9 ，求這個(gè)兩位數(shù)？【變式 3 】某三位數(shù)，中間數(shù)字為 0，其余兩個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和是 9 ，如果百位數(shù)字減 1，個(gè)位 數(shù)字加 1，則所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列，求原三位數(shù)。類型九：列二元一次方程組解決濃度問題9.現(xiàn)有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是 3 ：7,乙種酒精溶液的酒精與水的比是4 : 1，今要得到酒精與水的比為3 ：2的酒精溶液50kg，問甲、乙兩種酒精溶液應(yīng)

17、各取多少？【變式1】要配濃度是45%的鹽水12千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水各需多少？【變式2】一種35%的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75%時(shí)，治蟲最有效。用多少千克濃度為 35%的農(nóng)藥加水多少千克，才能配成1.75%的農(nóng)藥800千克？類型十：列二元一次方程組解決一一幾何問題10 如圖，用8塊相同的長(zhǎng)方形地磚拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，每塊長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)和寬分別是多少？【變式1】用長(zhǎng)48厘米的鐵絲彎成一個(gè)矩形，若將此矩形的長(zhǎng)邊剪掉3厘米，補(bǔ)到較短邊上去, 則得到一個(gè)正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少？【變式2】一塊矩形草坪的長(zhǎng)比寬的2倍多10m，它的周長(zhǎng)是132m，則長(zhǎng)和寬分別為多少?類型

18、十一：列二元一次方程組解決一一年齡問題Oil 今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，求現(xiàn)在父親和兒子 的年齡各是多少?【變式1】今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?小李發(fā)現(xiàn)，12年之后，他的年齡變成爺爺?shù)?三分之一.試求出今年小李的年齡.類型十二：列二元一次方程組解決優(yōu)化方案問題:C12 某地生產(chǎn)一種綠色蔬菜，若在市場(chǎng)上直接銷售，每噸利潤(rùn)為1000元；經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤(rùn)可達(dá)4500元；經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤(rùn)漲至 7500元.當(dāng)?shù)匾患肄r(nóng)工商公司收獲這 種蔬菜140噸，該公司加工廠的生產(chǎn)能力是：如果對(duì)蔬菜進(jìn)行粗加工，每天可以加工16噸；如果進(jìn)行細(xì)加工，每天可加工6噸.但兩種加工方式不能同時(shí)進(jìn)行.受季節(jié)條件的限制，公司必須在 15天 之內(nèi)將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此公司研制了三種加工方案方案一