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1、第二十二章 曲面積分第一節(jié) 第一型曲面積分1 計算下列第一型曲面積分（1）其中S是上半球面x解 z=,=所以dS= (2)其中S為立體的邊界曲面； 解 = = =(3),其中S為主面x+y=R被平面z=0,z=H所截取得部分解 （4）其中S為平面x+y+z=1在第一卦限中的部分 解 2 求均勻曲面x+y+z=a,xy,z的重心 解 設(shè)重心坐標(biāo)為（,由對稱性： 其中S為所求曲面的面積，S=.而dS=，則s=.則（D為S在xoy面投影 =,所以，重心坐標(biāo)為3 求密度為的均勻球面x+y_+z=a(z)對x軸的轉(zhuǎn)動慣量解 因z=,dS= J= =a=2 =第二節(jié) 第二型曲面積分1 計算下列第二型曲面積

2、分（1），其中S為由x=y=z=0.x=y=z=a六個平面所圍的立方體表面并取外側(cè)為正向解 = 故 a (2)其中是以原點(diǎn)為中心，邊長為2的立方體表面并取外側(cè)為正方向； 解 ）dydz= =2 則 (3)其中S是由平面x=y=x=0,x+y+z=1所圍的四面體表面并取外側(cè)為正向 解 = =故(4)其中S是球面x+y+z=1的上半部分并取外側(cè)為正向 J解 令x=cossin,y=sinsin,z=cos,其中0，0 故= (5)其中S是球面（x-a并取外側(cè)為正向 解 z-c= 曲面S在xoy面的投影區(qū)域 Dxy:(x-a)+(y-b) _ =4c 故 2設(shè)某流體的流速為v=(k,y,0)，求單位

3、時間內(nèi)從球面的內(nèi)部流過球面的流量解 設(shè)流量為E，則E=第三節(jié) 高斯公式和斯托克斯公式1. 應(yīng)用高斯公式計算下列曲面積分:(1),其中S是單位球面+=1的外側(cè)；解： =0(2),其中S是立方體0x,y,za表面的外側(cè)；解： 原式 =2=2=2=2=3(3),其中S是錐面+=與平面z=h所圍空間區(qū)域(0)的表面,方向取外側(cè)；解： 原式 =2由柱面坐標(biāo)變換x=rcos,y=rsin,z=x,其中0,0,r,原式=2=(4)dydz+dzdx+dxdy,其中S是單位球面+=1的外側(cè)；解： 原式 =)dxdydz =3 dr =(5) ,其中S是上半球面z=的外側(cè).解： 補(bǔ)z=0的圓：+則原式=-=3-0=2

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