連續(xù)時間信號分析

1、測試信號分析與處理測試信號分析與處理課程課程 第二章第二章 連續(xù)時間信號分析連續(xù)時間信號分析 第一節(jié)第一節(jié) 周期信號分析周期信號分析 第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號的頻域分析非周期信號的頻域分析第三節(jié)第三節(jié) 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換第四節(jié)第四節(jié) 采樣信號分析采樣信號分析 第一節(jié)第一節(jié) 周期信號分析周期信號分析v信號分析就是要研究信號如何表示為各分量的疊信號分析就是要研究信號如何表示為各分量的疊加，并從信號分量的組成情況去考察信號的特性。加，并從信號分量的組成情況去考察信號的特性。 v只要知道周期信號在一個周期內的特性，也就可只要知道周期信號在一個周期內的特性，也就可以了解到它所具有的

2、全部特性。所以，對周期信以了解到它所具有的全部特性。所以，對周期信號的研究往往是在一個周期內進行。號的研究往往是在一個周期內進行。 第一節(jié)第一節(jié) 周期信號分析周期信號分析v如矢量的分解，一個信號也可以對于某一基函數如矢量的分解，一個信號也可以對于某一基函數集找出此信號在各基函數中的分量；集找出此信號在各基函數中的分量；v一個基函數集即可構成一個信號空間，常用的則一個基函數集即可構成一個信號空間，常用的則是是正交函數集正交函數集 。v從數學上可以證明，任何一個連續(xù)函數都可以在從數學上可以證明，任何一個連續(xù)函數都可以在定義域里用某個正交函數集來表示。定義域里用某個正交函數集來表示。v若此函數集不僅

3、是若此函數集不僅是正交而且完備正交而且完備，則用他來表示，則用他來表示信號時將沒有誤差。信號時將沒有誤差。 第一節(jié)第一節(jié) 周期信號分析周期信號分析v兩個函數是否正交，必須指明在什么區(qū)間內v三角函數集三角函數集和指數函數集指數函數集是應用最廣的完備正交集。第一節(jié)第一節(jié) 周期信號分析周期信號分析一、三角函數形式的傅里葉級數一、三角函數形式的傅里葉級數 用完備正交函數集對周期信號分解，即可得到周期信號的傅里葉展開式。進行傅立葉展開的周期函數進行傅立葉展開的周期函數f(t)f(t)必須滿足必須滿足狄里赫利狄里赫利（DirichletDirichlet）條件）條件，即即在周期 內，函數f(t)1）若有間

4、斷點存在，則間斷點數目必須有限； 2）極大值和極小值數目應該是有限個； 3）應是絕對可積的，即 在工程實踐中所遇到的周期信號一般都滿足狄里赫利條件。 , 3 , 2 , 1sincos111ntntn，111Ttt，dttfTtt111)(第一節(jié)第一節(jié) 周期信號分析周期信號分析周期信號f(t)的三角級數形式的傅立葉展開式其中，0112111210111( )coscos2sinsin2(cossin)nnnf taatatbtbtaantbnt1111111110111111( )2( )cos (1, 2, 3, , )2( )sin tTttTnttTntaf t dtTaf tntdtn

5、Tbf tntdtT111T將同頻率項合為一項，即 第一節(jié)第一節(jié) 周期信號分析周期信號分析)cos(sincos111nnnntnctnbtna于是 110)cos()(nnntncctf111Tttt0022cossinarctan(/)nnnnnnnnnnnnaccabacbcba ,3 , 2 , 第一節(jié)第一節(jié) 周期信號分析周期信號分析二、指數函數形式的傅里葉級數二、指數函數形式的傅里葉級數在 內可以用指數函數集來表示周期信號f(t)。式中 111Ttt，11111( )() jntnf tF netttT 1111111()( )tTjnttF nf t edtT第一節(jié)第一節(jié) 周期信號

6、分析周期信號分析第一節(jié)第一節(jié) 周期信號分析周期信號分析例例 周期對稱方波如圖所示。它在一個周期內的表達式為111, /4( ), /4/2EtTf tETtT第一節(jié)第一節(jié) 周期信號分析周期信號分析v周期對稱方波的頻譜圖 第一節(jié)第一節(jié) 周期信號分析周期信號分析吉布斯現象(Gibbs)第一節(jié)第一節(jié) 周期信號分析周期信號分析三、三、 周期信號的功率譜周期信號的功率譜信號能量信號能量能量有限信號能量有限信號 ：平均功率：平均功率：功率有限信號：功率有限信號：信號f(t)在時間（-,+）上的平均功率 2( )Ef tdt/22/21lim( )TTTPf tdtT 2( )f tdt 212211( )

7、TTPf tdtTT第一節(jié)第一節(jié) 周期信號分析周期信號分析v周期信號f(t)的平均功率與傅里葉系數有右示關系 v這是周期信號的帕斯瓦爾（Parseval）公式。它說明周期信號的平均功率等于直流、基波和各次諧波分量有效值的平方和。v 與 的關系圖，稱為周期信號的功率譜,表示信號各次諧波分量的功率分布規(guī)律。 1112122201220121( )1()212tTtnnnnnnnPft dtTaabccF第一節(jié)第一節(jié) 周期信號分析周期信號分析四、周期信號頻譜的基本性質四、周期信號頻譜的基本性質 v線性：線性：如果一個周期信號可以分解為幾個簡單信號如果一個周期信號可以分解為幾個簡單信號的線性疊加，則原

8、周期信號的頻譜為幾個簡單信號的線性疊加，則原周期信號的頻譜為幾個簡單信號頻譜的線性疊加。頻譜的線性疊加。 v延時性：延時性：一周期信號，若波形不變，僅延遲了時一周期信號，若波形不變，僅延遲了時間間 ，那么，頻譜中各次諧波分量的幅度不變，僅，那么，頻譜中各次諧波分量的幅度不變，僅相位平移了一個值。這個相移值與延遲時間相位平移了一個值。這個相移值與延遲時間 和諧和諧波次數波次數n成正比。成正比。v頻移特性：頻移特性： 乘以乘以 后頻譜分量的振幅和相位保后頻譜分量的振幅和相位保持不變，但頻率都增加了持不變，但頻率都增加了 。也就是頻譜圖在頻。也就是頻譜圖在頻率軸上平行移動了距離率軸上平行移動了距離

9、( )f 第一節(jié)第一節(jié) 周期信號分析周期信號分析例例 周期矩形脈沖信號，如圖所示。他在區(qū)間內的數學表達式為 1, /2( )0, /2/2Etf ttT11/2, /2TT第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號的頻域分析非周期信號的頻域分析一、一、 非周期信號的傅里葉變換非周期信號的傅里葉變換v對于周期為 的周期信號，可以利用傅里葉級數對他進行頻域分析，得到它的離散頻譜。v對于非周期信號卻不能直接利用傅里葉級數來對它進行頻域分析，但是，可以將非周期信號看作是周期為無窮大的信號。若仍用傅立葉級數表示，則 式中1T1( )jntnnf tF e1111lim( )jntnTFf t edtT1112limTT第

10、二節(jié)第二節(jié) 非周期信號的頻域分析非周期信號的頻域分析v由于信號周期趨于無窮，前述各式有如下變化1） 趨于零，譜線也將由離散頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。其離散增量 將變?yōu)檫B續(xù)增量 ，即2）譜線長度 趨于零，與 相乘，可表示為1d11112limTdT112limTnTnF1T111111/2/2( )limlim( )( )nTTjntTTj tFT Ff t edtf t 第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號的頻域分析非周期信號的頻域分析因為因為 即它具有即它具有單位頻率的振幅單位頻率的振幅的量綱，因此的量綱，因此 稱稱原函數原函數 的的頻譜密度函數頻譜密度函數，簡稱頻譜函數。，簡稱頻譜函數。 11101( )li

11、mlim 22nTnnFT FFFd( )F( )f 第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號的頻域分析非周期信號的頻域分析v非周期信號 的傅立葉積分表達式，它與周期信號的傅立葉級數表達式相當。1110( )( )lim()21( )2jntnnjntnj tf tF eFdeFed( )f 第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號的頻域分析非周期信號的頻域分析v頻譜函數頻譜函數v原函數原函數 111111/2/2( )limlim( )( )nTTjntTTj tFT Ff t edtf t edt1110( )( )lim()21( )2jntnnjntnj tf tF eFdeF第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號的頻域分析非周期

12、信號的頻域分析v傅立葉正變換傅立葉正變換v傅立葉反變換傅立葉反變換 ( ) ( )( )j tFf tf t edtF1( ) ( )( )2j tf tFFed-1F第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號的頻域分析非周期信號的頻域分析v非周期信號進行傅里葉變換也與周期信號展成傅里非周期信號進行傅里葉變換也與周期信號展成傅里葉級數一樣，需要滿足葉級數一樣，需要滿足狄里赫利條件狄里赫利條件，即，即 v它表示信號在全部時間它表示信號在全部時間 內具有有限能量。內具有有限能量。在一般情況下所遇到的實際信號總是能滿足狄里赫在一般情況下所遇到的實際信號總是能滿足狄里赫利條件的。利條件的。( )f t dt (, )第

13、二節(jié)第二節(jié) 非周期信號的頻域分析非周期信號的頻域分析三、傅里葉變換的性質三、傅里葉變換的性質（一）線性特性（一）線性特性若若則則v若干信號加權和的頻譜等于各個信號頻譜之加權和，在時域中的線性疊加對應著頻域中的線性疊加。 ( )( ) 1, 2, 3,n iiiia f ta FiF 11( )( ) nniiiiiia f ta FF第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號的頻域分析非周期信號的頻域分析 （二）對稱特性（二）對稱特性若若有有v若 的頻譜為 。那么，形狀為 的信號波形，其頻譜形狀同 ( )( ) f tFF ( )2() F tfF( )f t( )F( )F t( )第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號的

14、頻域分析非周期信號的頻域分析 （三）延時特性（三）延時特性若若有有v信號在時域中延遲時間 ，該信號各頻譜分量的幅值大小不變，但各頻譜分量的相位卻附加了一個與頻率分量成線性關系的相移 。這就說明，信號在時域中的延時和在頻域中的移相相對應。( )( ) f tFF00()( )j tf tteF第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號的頻域分析非周期信號的頻域分析（四）頻移特性（四）頻移特性若若有有（五）時間尺度變化（五）時間尺度變化若若有有( )( ) f tFF00( )()jtf t eF1010101 ( )cos=()()2f ttFFF ( )( ) f tFF)a(Fa1)at( f 第二節(jié)第二節(jié)

15、非周期信號的頻域分析非周期信號的頻域分析（六）奇偶虛實性（六）奇偶虛實性當當 為實函數時為實函數時（七）微分特性（七）微分特性若若則則-( ) ( )( )cos( )sin( )( )j temFf t edtf ttdtjf ttdtRjI( )()( )()eemmRRII ( )f t ( ) ( )f tFF( ) (j )( )nnnd f tFdtF第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號的頻域分析非周期信號的頻域分析（八）積分特性（八）積分特性若若 ，且滿足，且滿足 在在 處是有界處是有界的，或滿足的，或滿足 ，則，則否則否則（九）時域卷積定理（九）時域卷積定理 ( ) ( )f tFF( )

16、/F(0)0F01( ) ( )tfdFjF1( ) (0) ( ) ( )tfdFFj F1212 ( )( ) ( )( )f tf tFFF第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號的頻域分析非周期信號的頻域分析（十）頻域卷積定理（十）頻域卷積定理（十一）相關定理（十一）相關定理12121( )( ) ( )( )2f t f tFFF1212()( )( )()f tfdFFF第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號的頻域分析非周期信號的頻域分析四、典型非周期函數的傅里葉變換四、典型非周期函數的傅里葉變換v單位沖激函數的傅里葉變換單位沖激函數的傅里葉變換 v單邊指數函數的傅里葉變換單邊指數函數的傅里葉變換 式中， 0

17、( )( )( )1j tjtt edtt edtF0, 0( ), 0attf tet02222() ( )1( )atj tjf teedtajajaaFe F221( )( )arctan()Faa 第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號的頻域分析非周期信號的頻域分析v單位階躍函數的傅里葉變換單位階躍函數的傅里葉變換 由于 時，u(t)不符合絕對可積條件，即不存在 ，不能直接進行傅里葉變換。為了解決這問題，可以由單邊指數函數的極限狀態(tài)來逼近函數u(t)。 t ( )u t dt0lim1, 0( )0, 0ataetu 第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號的頻域分析非周期信號的頻域分析 222202 ( )lim

18、1( )1( )ajau tjaaje F第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號的頻域分析非周期信號的頻域分析v復指數函數的傅里葉變換復指數函數的傅里葉變換 該函數不符合絕對可積條件，可借助于沖激函數的傅里葉變換對 。 0( )jtf te0()002()2()jtedt 1( )12j tted-1F2( )j 第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號的頻域分析非周期信號的頻域分析 002()jte F000cos ()()t 000sin ()()tj 第三節(jié)第三節(jié) 周期信號的傅立葉變換周期信號的傅立葉變換v周期信號是不滿足絕對可積條件的，為了解決這個周期信號是不滿足絕對可積條件的，為了解決這個問題，我們可同樣借助于復

19、指數函數的傅里葉變換問題，我們可同樣借助于復指數函數的傅里葉變換對。對。 傅立葉級數展開式式中，兩邊傅立葉變換 1( )jntTnnftF e111/2/211( )TjntnTTFft edtT11( )jntTnnjntnnftF eFeFFF1( )2()TnnftFn F第三節(jié)第三節(jié) 周期信號的傅立葉變換周期信號的傅立葉變換v周期信號傅里葉變換所得到的是頻譜密度函數，在這里它是沖激函數，它表示在無窮小頻帶范圍內（即諧頻點）取得了無限大的頻譜值，而不像傅里葉級數的相應系數所表示的是諧頻分量的幅值。v例例2-52-5 求周期為 的周期單位沖激函數 的傅里葉級數和傅里葉變換。 ( )Tt1T

20、第三節(jié)第三節(jié) 周期信號的傅立葉變換周期信號的傅立葉變換解：解：其傅立葉級數展開式為其傅立葉級數展開式為 式中式中 的傅里葉變換為的傅里葉變換為1( )()TnttmT1( )jntTnntF e112/T111/ 2/ 21111( )TjntnTFt edtTT111( )jntTnteT111111( )2()2()()nnnnFFnnnT ( )T第三節(jié)第三節(jié) 周期信號的傅立葉變換周期信號的傅立葉變換v討論周期為 的矩形脈沖信號 與它一個周期內的信號 的傅里葉變換間的關系。 周期信號的傅立葉級數表達式為周期信號的傅立葉級數表達式為 式中式中 單脈信號的傅立葉變換表達式為單脈信號的傅立葉變

21、換表達式為 當當 時時1T( )Tft0( )f t101( ), / 2( )0, / 2TfttTfttT01( )()Tnftf tnT1( )jntTnnftF e111/2/211( )TjntnTTFft edtT1111/2/200/2/2( )( )( )TTj tj tTTTFf t edtft edt1011()nnFFT第三節(jié)第三節(jié) 周期信號的傅立葉變換周期信號的傅立葉變換 第四節(jié)第四節(jié) 采樣信號分析采樣信號分析v連續(xù)時間信號必須經過采樣和模數轉換，變成數字連續(xù)時間信號必須經過采樣和模數轉換，變成數字信號后才能用計算機處理。所謂采樣信號就是按一信號后才能用計算機處理。所謂

22、采樣信號就是按一定時間間隔定時間間隔 對一連續(xù)時間信號對一連續(xù)時間信號 進行采樣所得進行采樣所得到的信號。到的信號。v采樣信號是一種時間離散信號，它表示只在時間軸采樣信號是一種時間離散信號，它表示只在時間軸上的一些離散點上的一些離散點 上才有信號上才有信號值。采樣信號也是一種序列，以值。采樣信號也是一種序列，以 表示，其定義表示，其定義為為),3 ,2 , 0(ssssnTTTT( )f n( ) , ff nn )(ST)(第四節(jié)第四節(jié) 采樣信號分析采樣信號分析 一、連續(xù)時間信號的采樣過程 第四節(jié)第四節(jié) 采樣信號分析采樣信號分析v采樣器可理解為一個開關，則采樣器的輸出將是一采樣器可理解為一個

23、開關，則采樣器的輸出將是一串重復周期為串重復周期為T T，寬度為，寬度為 的脈沖，脈沖的幅度是時的脈沖，脈沖的幅度是時間間 內連續(xù)信號的幅值內連續(xù)信號的幅值v 代表輸入的連續(xù)時間信號，代表輸入的連續(xù)時間信號， 代表采樣輸代表采樣輸出信號，出信號， 是周期為是周期為 ，寬度為，寬度為 ，幅度為，幅度為1 1的矩的矩形脈沖，則形脈沖，則)(tfa)(spnTf( )P tsT)()()(tPtfnT第四節(jié)第四節(jié) 采樣信號分析采樣信號分析 第四節(jié)第四節(jié) 采樣信號分析采樣信號分析v 的傅立葉級數形式的傅立葉級數形式 其中，其中，則則兩端進行傅里葉變換，得兩端進行傅里葉變換，得 ( )P t( )sjn

24、tnnP tc e22 /sin/ssssnssfTnTcTnTntjnnaspsectfnTf)()( )()pnasnFc F第四節(jié)第四節(jié) 采樣信號分析采樣信號分析 第四節(jié)第四節(jié) 采樣信號分析采樣信號分析v若采樣脈沖的寬度若采樣脈沖的寬度 趨于零，采樣信號為一系列沖趨于零，采樣信號為一系列沖激函數，即激函數，即 將這樣的采樣信號稱為理想采樣信號。將這樣的采樣信號稱為理想采樣信號。 的傅立葉級數為的傅立葉級數為 式中式中 ()TsnttnT( )( ) ()asanftfttnT ()sTsnjmtmmttnTc e Tt/2/2112 /,( )sssTjmtssmTTssT ct edt

25、TT第四節(jié)第四節(jié) 采樣信號分析采樣信號分析即即 v沖激序列具有梳狀譜的結構，它的各次諧波都具有沖激序列具有梳狀譜的結構，它的各次諧波都具有相同的幅度相同的幅度 。因此，理想采樣信號。因此，理想采樣信號 的傅里的傅里葉變換葉變換 1sjmtTmsteTmsasmsasaTmFTmFTF)2(1)(1)(sT/1)(第四節(jié)第四節(jié) 采樣信號分析采樣信號分析v連續(xù)時間信號經理想采樣后，其理想采樣信號連續(xù)時間信號經理想采樣后，其理想采樣信號 的頻譜的頻譜 的幅值將是連續(xù)時間信號頻譜的幅值將是連續(xù)時間信號頻譜 的的 倍，并倍，并 從開始，沿頻率軸正、負方從開始，沿頻率軸正、負方向，每隔一個采樣頻率向，每隔一個采樣頻率 重復一次。重復一次。 )(tfa)(aF( )aF1/sT第四節(jié)第四節(jié) 采樣信號分析采樣信號分