不等式(組)中蘊含的數(shù)學(xué)思想

1、不等式(組)中蘊含的數(shù)學(xué)思想 同學(xué)們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能的過程中，要加強數(shù)學(xué)思想方法的滲透，要在分析解決問題的過程中揭示數(shù)學(xué)思想方法.本文以七年級數(shù)學(xué)第九章不等式與不等式組為例，談?wù)勂渲刑N含的數(shù)學(xué)思想. 一、類比思想 學(xué)習(xí)一元一次不等式可類比一元一次方程的知識.下面從求解步驟及解集等方面進行類比. 例1 （1）解方程 x+=1-，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來. （2）解不等式x-，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來. 解析：（1）去分母，得6x+（x+2）=6-3（2x-3）. 去括號，得6x+x+2=6-6x+9. 移項，得6x+x+6x=6+9-2. 合并同類項，得13x=13. 系數(shù)

2、化為1，得 x=1. 此方程的解集只有一個數(shù)1，在數(shù)軸上表示如圖1. 圖1 （2）去分母，得6x-2（5+2x）3（3x-1）-14. 去括號，得6x-10-4x9x-3-14. 移項，得6x-4x-9x-3-14+10. 合并同類項，得-7x -7. 系數(shù)化為1，得x1. 這個不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖2. 圖2 點評：從求解步驟看：兩者都是通過去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1等步驟；但在去分母和系數(shù)化為1這兩步，當(dāng)不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)時，不等號的方向必須改變，而方程等號不變. 從解集看：一元一次不等式的解集可能包含無數(shù)個解，在數(shù)軸上用無數(shù)多個點的集合形象表示；

3、而一元一次方程的解集一般只有一個解，在數(shù)軸上用一個點表示. 類比便于同學(xué)們理解知識之間的區(qū)別與聯(lián)系，便于在學(xué)習(xí)過程中不斷構(gòu)建和完善知識體系，有利于遷移能力的發(fā)展. 二、分類討論思想 例2 解關(guān)于x的不等式組 ax-42（x-ax）+4. 解析：原不等式組可化為 4ax6. 當(dāng)a0時，由 、可將不等式組化為x. 又32，0，. 原不等式組的解集為 當(dāng)a， x 又32， 原不等式組的解集為 當(dāng)a=0時，由、 可將不等式組化為 0x6. 原不等式組無解. 綜上所述，當(dāng)a0時，原不等式組的解集為 當(dāng) a 當(dāng) a=0時，原不等式組無解. 點評： 此不等式組的解集與未知數(shù)的字母系數(shù)有關(guān)，應(yīng)該用分類思想討論

4、字母系數(shù)的取值范圍，再根據(jù)取值范圍分別求其解集. 三、轉(zhuǎn)化思想 例3 關(guān)于x的不等式（2a-b）xa-2b 的解集是x 解析：的解集是x 2a-b =. 整理，得b=8a. 2a-b a0. 把b=8a代入中， 得ax x 不等式的解集為x 點評：本題通過轉(zhuǎn)化的思想，用不等式的兩個不同形式的解集，來建立a、b的等量關(guān)系，整理得出b=8a，實現(xiàn)了不等關(guān)系向等量關(guān)系的轉(zhuǎn)化.把b=8a代入2a-b 四、數(shù)形結(jié)合思想 例4 已知關(guān)于x的不等式組x-a0，5-2x1只有四個整數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍. 解析：解不等式組，得xa，x 因原不等式組的整數(shù)解只有4個，說明xa與x 圖3 所以a的取值范圍是-3 點評：根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，先借助數(shù)軸直觀地找到不等式的四個整數(shù)解，再確定a在數(shù)軸上的位置在-3與-2之間，且