祁皚結(jié)構(gòu)力學(xué) 第6章結(jié)構(gòu)位移計算與虛功-能量法簡述

1、第6章 結(jié)構(gòu)位移計算與虛功-能量法簡述6-1 變形體虛功原理6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用6-3 剛體虛功原理的應(yīng)用6-4 互等定理6-1 虛功原理虛功原理6-1-1 虛位移 虛力 虛功虛位移虛位移：與對應(yīng)的力無關(guān)的位移，：與對應(yīng)的力無關(guān)的位移， FP虛虛 力力：與對應(yīng)的位移無關(guān)的力，：與對應(yīng)的位移無關(guān)的力， FP 虛虛 功：彼此無關(guān)的位移與力的乘積，功：彼此無關(guān)的位移與力的乘積， FP FP狀態(tài)狀態(tài)1 狀態(tài)狀態(tài)26-1 虛功原理6-1-2虛功原理適用條件1 力系平衡條件分布荷載與截面內(nèi)力之間的關(guān)系分布荷載與截面內(nèi)力之間的關(guān)系NQQ0dd00dd0(1)0dd0 xyFFpxFFqxMMFx 6

2、-1 虛功原理2變形協(xié)調(diào)條件wAuAAuBBwBuw變形與位移協(xié)調(diào)變形與位移協(xié)調(diào): :位移連續(xù)、桿件變形后不斷開、不重疊。位移連續(xù)、桿件變形后不斷開、不重疊。位移與約束協(xié)調(diào)位移與約束協(xié)調(diào): :位移函數(shù)在約束處的數(shù)值等于約束位移。位移函數(shù)在約束處的數(shù)值等于約束位移。6-1 虛功原理wM+dwMwMdwqwq+dwq0dxuu+duddux10ddwxw1：由剪切變形引起由剪切變形引起 的豎向位移的豎向位移2ddwxw2：由彎曲變形引起由彎曲變形引起 的豎向位移的豎向位移6-1 虛功原理6-1-2 變形體虛功原理的證明NQQdd0dd0(a)dd0FpxFqxMFx BNAFFMpqFxuwwuw

3、wQ122Q1 ddd ()d0(c)() 將含有將含有“dx”的項合并，得的項合并，得由力的平衡方程：由力的平衡方程：2Q1NQ(dd )(dd )() (dd ) 0(b)BAFp xFq xM Fwxuw 得得6-1 虛功原理根據(jù)公式根據(jù)公式1212Q12QQd dd()()(d d)ddNNNFFMFFMuwwuwwuwFMwF （c）式積分號中第一項）式積分號中第一項代入式（代入式（c），得），得121QQ212Qdddd ()()(ddd0( )dBBNNAABBAAuwwuwFFMFFMxpqxFxwuww d(uw)=udw+wdu得得6-1 虛功原理將式（將式（d）第一項積分

4、號去掉，得）第一項積分號去掉，得121QQQ212ddd ()()()ddd0(e)BBNNAABBAAFFMFFMxpuwwuwwuwqxFxw ( d )( d )BAxxpquw NQNQ BBBAABBBAAAAFFMFuwuwFM NQ1(ddd )(f)BAuwFFM 12www ，將式（將式（e）第一項上下限代入，并考慮）第一項上下限代入，并考慮2ddwx ，得，得6-1 虛功原理( d )( d )BAxxpquw NQNQ BBBAABBBAAAAFFMFuwuwFM 1NQ(ddd )BAuwFFM 桿端力做的虛功桿端力做的虛功分布力做的虛功分布力做的虛功截面內(nèi)力截面內(nèi)力做

5、的虛功做的虛功虛功原理 變形體的一組平衡外力在其協(xié)調(diào)的微小虛位移上做的虛功等于這組外力產(chǎn)生的內(nèi)力在虛變形上做的虛功。6-1 虛功原理FR1FP1FP2FP3FP4FP5FR2FR3FP6FP1FP2FP3FP4FP5FP6FR1FR2FR3推廣支座反力做支座反力做的虛功的虛功各 桿 端 力 做各 桿 端 力 做的 虛 功 之 和的 虛 功 之 和結(jié)點集中力結(jié)點集中力做 的 虛 功做 的 虛 功6-1 虛功原理( d )( d )BAxxpquw NQNQ BBBAABBBAAAAFFMFuwuwFM 1NQ(ddd )BAuwFFM 桿系結(jié)構(gòu)的虛功方程桿系結(jié)構(gòu)的虛功方程 將式（將式（f）中的桿

6、端力用結(jié)點集中力和支座反力代替，將其）中的桿端力用結(jié)點集中力和支座反力代替，將其它項對各桿件求和，得它項對各桿件求和，得PiiRk kNQ1(d )(d )(ddd )llFF cpx uqx wFu FwM 6-1 虛功原理PiiRk kNQ0(d )(d )()dllFF cpx uqx wFFMx 則則若考慮若考慮uxwxx10dddddkd6-2-1 荷載作用時的位移計算PiiRk kNQ0(d )(d )()dllFF cpx uqx wFFMx 虛功原理的一般公式虛功原理的一般公式6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用變形體虛功原理的應(yīng)用 1 位移計算公式的推導(dǎo)內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功1NPQPPd

7、dduwFFM 外力虛功外力虛功1W 位移狀態(tài)位移狀態(tài)虛設(shè)單位力狀態(tài)虛設(shè)單位力狀態(tài)NQFFM1Ni1QdddluwWFFM 得得單位荷載法求位移單位荷載法求位移N1QdddluwFFM 6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用對于線彈性材料對于線彈性材料QPNPP1ddddddFFMuxwxxEAGAEI QPQPNN()dPlFkxEAGAFFMFMEI 位移公式變成：位移公式變成：的物理意義：的物理意義： 單位力在位移單位力在位移上所做的虛功，上所做的虛功， 在數(shù)值上等于位移在數(shù)值上等于位移。6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用FPrFQPFNPMPPPQPPNPPPQNsincosssincosiins n

8、MMF rFFFrFFF 2222PPP0sincossin()dsBVF rkFFsEIGAEA 2222PPP203PPPsincossin() d4F rkFFrEIGAEAF rF rF rkEIGAEA FPrrB例解6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用2122 . 1hIAk對于矩形截面（對于矩形截面（bh）0.4GEletthen23P1143BVF rhEIr 與彎曲變形相比，剪切和軸向變與彎曲變形相比，剪切和軸向變形對位移的影響形對位移的影響, ,可以忽略不計可以忽略不計討論討論6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用剛架、梁：只考慮彎曲變形引起的位移剛架、梁：只考慮彎曲變形引起的位移dPlMM

9、xEI 對于桁架：只有軸力對于桁架：只有軸力NNPNNPdlF FF F lxEAEA 對于拱：通常只有彎曲一項。當(dāng)拱軸與壓力曲線相近對于拱：通常只有彎曲一項。當(dāng)拱軸與壓力曲線相近 時，需考慮彎曲和軸向變形兩項。時，需考慮彎曲和軸向變形兩項。NNPPddlF FMMxxEAEI 各類結(jié)構(gòu)的計算公式簡化各類結(jié)構(gòu)的計算公式簡化6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用PCHF aEA P12 2CVF aEA已知：各桿已知：各桿EA相同，求：相同，求：CVCH、FPaaABCDNPFP2FPFPFN1F1ABCD1N2F21【例】【解】ABCD16-2 變形體虛功原理的應(yīng)用2P12112Mq lxMlxM 例例

10、 桿件桿件EI=常數(shù)。試求常數(shù)。試求AVA、解 P02041d11d28lAVlMMxEIq lxlxxEIqlEIqlAx11204111d26lAq lxxEIqlEI 6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用22P12:012qxBCMMM 2P112:12qaABMMxM 例例 各桿各桿EI為常數(shù)。求為常數(shù)。求CHC 、解解aaABCqqa2/2MP圖圖x1x21a1M圖圖12M 圖圖6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用P11P222232120011dd1121 d1 d223CABBCllM MxM MxEIEIqxqaqaxxEIEIEI P11P122411011dd1d24CHABBClM Mx

11、M MxEIEIqaqaxxEIEI 22P12:012qxBCMMM 2P112:12qaABMMxM 6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用2 圖乘法（1） 圖乘法基本公式PdBAM MxEI PP1ddBBAAM MxM MxEIEI tgMx PPdtgdBBAAM MxMxx PtgdBAx Mx 00tgdtgBAxAxAyA Myy0MP圖圖圖圖dxABxx0dAMP6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用條件：條件：1各桿各桿EI為常數(shù)；為常數(shù)； 2桿軸為直線；桿軸為直線； 3 MP、 中至少有一個為直線圖形。中至少有一個為直線圖形。MP0dBAM MxyA 積分等于曲線圖形的面積乘以其積分等于曲線

12、圖形的面積乘以其形心對應(yīng)的直線圖形的縱坐標(biāo)。形心對應(yīng)的直線圖形的縱坐標(biāo)。Myy0MP圖圖圖圖dxABxx0dAMP6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用已知：已知：EI為常數(shù)。求：為常數(shù)。求：B 2PP11() 122BF lF l lEIEI 解解MP、M圖均為直線，縱坐標(biāo)可從任意圖形中選。圖均為直線，縱坐標(biāo)可從任意圖形中選。MP圖圖FPlFPlBAM圖圖112PP11(1)22BF llF lEIEI 6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用2PPP111151()4228BFa aFa aFaEIEIEI解解“-”“-”說明實際的轉(zhuǎn)角方向與所設(shè)的單位力方向相反說明實際的轉(zhuǎn)角方向與所設(shè)的單位力方向相反已知：已知

13、：EI=常數(shù)。求常數(shù)。求B點的轉(zhuǎn)角。點的轉(zhuǎn)角。aaFPAB4EIEIEIMP圖圖FPaM圖圖116-2 變形體虛功原理的應(yīng)用（2） 圖形的面積和形心圖形的面積和形心ql2/8ab3a/823Aabbaa/413Aab圖形的形心與面積一定要與圖形的形心與面積一定要與荷載荷載對應(yīng)對應(yīng)6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用（3） 圖形的分解圖形的分解按圖形分解按圖形分解y1y21 122A yA y1 122A yA y1 122A yA y A1 A2+A2 A1+A2A1 y1y2y1y26-2 變形體虛功原理的應(yīng)用按荷載分解按荷載分解y1y3y2112233A yA yA yM1M2M1M2M2M1A1

14、A2 A3 6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用折線要分段折線要分段1122A yA yy1y2A1 A2 6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用解 P3P5112 2 26548CVF lllEIF lEI P3P11123 212CVlF l lEIF lEI 取面積的范圍內(nèi)，另外一個圖形必須是直線。取面積的范圍內(nèi)，另外一個圖形必須是直線。已知：已知：EI=常數(shù)。求常數(shù)。求CVFPABl/2l/2CFPlMP圖圖l/21M圖圖6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用22411213223324724BVqlqlllllEIqlEI解解已知：已知：EI=常數(shù)。求常數(shù)。求:BVql/2qlABl1M圖圖MP圖圖ql2MP圖

15、按荷載分解圖按荷載分解+ql2/2ql2/26-2 變形體虛功原理的應(yīng)用2241122123382724BVqlqlllllEIqlEIMP圖按圖按疊加法疊加法分解分解l1M圖圖MP圖圖ql2ql2/8+ql26-2 變形體虛功原理的應(yīng)用已知：已知：EI=常數(shù)。求常數(shù)。求:CVlqlBAC解解MP圖按整個桿件的疊加法分解圖按整個桿件的疊加法分解MP圖按半個桿件的疊加法分解圖按半個桿件的疊加法分解2ql22ql2ql2ql2/2+=2ql22ql2ql2/8ql2/2+=1M圖圖l/2MP圖圖2ql26-2 變形體虛功原理的應(yīng)用42417qlEICVMP圖按半個桿件的荷載分解圖按半個桿件的荷載分

16、解1M圖圖l/2MP圖圖2ql2qlql2/2ql2/2ql2/2+ql2+6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用2m2m 11211858 515 5rad2322CEIEI 已知：已知：EI=常數(shù)。求：常數(shù)。求：C 解解1kN/m5kN3m4mABC85MP圖圖(kNm)1M圖圖(kNm)6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用3 相對位移計算解解內(nèi)力功內(nèi)力功 iPWMM3PP111248CDF llF llEIEI 求兩點的相對位移：求兩點的相對位移：在兩點的連線上加一對在兩點的連線上加一對兒等值反向的單位力兒等值反向的單位力已知：已知：EI=常數(shù)。求：常數(shù)。求：CD外力功外力功 11CDW CDCD lM圖

17、圖11ll/2l/2FPlCDFPl/4FPMP圖圖6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用解已知：各桿已知：各桿EIEI= =常數(shù)。求：常數(shù)。求：A A、B B兩點之間的相對轉(zhuǎn)角。兩點之間的相對轉(zhuǎn)角。111216432 88 81rad()2332A BEIEI 1kNm8m8mABCDMP圖圖(kNm)328M圖圖11116-2 變形體虛功原理的應(yīng)用2p56C CF aEI 已知：已知：EI=常數(shù)。求：常數(shù)。求：C CM圖圖1aaFPaFPa/2MP圖圖FPFPa/2解C6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用外力功外力功PPABWFF P1ABABF ABW 如果如果PPABABFF 那么那么即即NPNP3AB

18、FFFlEAEA 求：求：AB1ABABABl 1ABl 解a aa aa aF FP PA AB BP2F PFPFP2F PFF FNP NP 圖圖PFPFA AB Ba1a1a/1a/1F FN N圖圖6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用AB CBaaaFPABC求求6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用ED3m3m3mABC4kN3m2kNMP、FNP圖圖6kNm4 組合結(jié)構(gòu)位移計算已知：已知：EI、EA 。求：圖示結(jié)構(gòu)中。求：圖示結(jié)構(gòu)中C截面兩側(cè)的相對轉(zhuǎn)角截面兩側(cè)的相對轉(zhuǎn)角C C 212111631631262323304CEIEAEIEA 1M11/3NMF、圖圖解解6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用42

19、422.1 10 kN/cm3200cm16cm .已已知知：，求求：、BVC CEIA5/22m2m11NMF、圖圖MP、FNP圖圖20kNm75kN90kNm113122120 2220 4220 4234233211215155937.5290 327550.0259m4232BVEIEIEAEIEA 2m10kN/mD3m3m4mAB4EIEIEAC6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用MP、FNP圖圖20kNm75kN90kNm2m10kN/mD3m3m4mAB4EIEIEA5/1212NMF、圖圖1112111220420490323324231535.83156.257550.0058ra

20、d12C CEIEIEAEIEA 6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用 兩個懸臂剛架，在懸臂端插入一個長度為兩個懸臂剛架，在懸臂端插入一個長度為e的墊塊，問的墊塊，問需要多大的兩個力。需要多大的兩個力。解3P123eF aEI P332EIeFPa 已知位移求荷載已知位移求荷載（6 6） 其它其它FPeEIaFP圖PMFPFPFPaFPaa圖MP1F P1F aa6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用已知：各桿已知：各桿EI相同。由于相同。由于D點下垂過大，要加固一段長為點下垂過大，要加固一段長為a的區(qū)段。問加固哪一段效果顯著。的區(qū)段。問加固哪一段效果顯著。33PP023DVF aF aEIEI解解加固第二跨加

21、固第二跨FPFPaaaaaFPP1F a6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用已知：梁端點已知：梁端點A被拉降低被拉降低=0.05a。求跨中。求跨中C點的豎向位移。點的豎向位移。3PP32512120.0555558523233FF aaaaaaaaEIEI P20.0365EIFa 3PP1520820.009222CVFaaaaFaEIEI 解A5a4a4aBCFP5FPaPM 圖圖5FPaP1F 1M圖圖2aP1F 2M 圖圖6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用6-2-2溫度變化時位移的計算溫度改變時：溫度改變時：1）由于纖維的伸長或縮短引起軸向變形）由于纖維的伸長或縮短引起軸向變形 2）由于伸長或縮短不

22、一致，引起彎曲變形）由于伸長或縮短不一致，引起彎曲變形 3）溫度改變不引起剪切變形）溫度改變不引起剪切變形dud 1dwd xd xhdud 2dtx 1dtx 121201ddd2dd2utxtxttxtx 21dddttxtxhh NQ1dddlFuFwM 一般公式一般公式6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用NQ1dddlFuFwM 0NddllttFxMxh N0ddlltxFtxMh N0FMtt AAh MNFQF虛設(shè)的單位力狀態(tài)d xd xhdud 2dtx 1dtx 實際的位移狀態(tài)符號：符號：1 由溫度引起的變形方向與由單位力引起由溫度引起的變形方向與由單位力引起的彎曲方向一致時，取的彎

23、曲方向一致時，取“正正”號。號。2 其余符號均取絕對值。其余符號均取絕對值。溫度變化引起的位移計算公式溫度變化引起的位移計算公式6-2 變形體虛功原理的應(yīng)用 N021011.51552MFtthlllllhh 圖示結(jié)構(gòu)桿件一邊溫度升高圖示結(jié)構(gòu)桿件一邊溫度升高100C。各桿截面相同為。各桿截面相同為h，且與形，且與形心軸對稱。求：心軸對稱。求：C點的豎向位移。點的豎向位移。解ll100C100CABC1M圖圖lFN圖圖16-2 變形體虛功原理的應(yīng)用 N0222101051022MFtthllllllhh 圖示結(jié)構(gòu)桿件一邊溫度升高圖示結(jié)構(gòu)桿件一邊溫度升高100C。各桿截面相同為。各桿截面相同為h，

24、且對，且對稱于形心。求：稱于形心。求：C點的水平位移。點的水平位移。解ll100C100CABC1M圖圖l1FN圖圖16-2 變形體虛功原理的應(yīng)用11FN圖圖1 NH022520EMFtthllh 圖示結(jié)構(gòu)溫度變化如圖。各桿截面高度相同為圖示結(jié)構(gòu)溫度變化如圖。各桿截面高度相同為h，且對稱于，且對稱于形心。求：形心。求：E點的水平位移。點的水平位移。解-200C-200C-200C200C100C-200ClllElM圖圖16-3剛體虛功原理的應(yīng)用6-3-1靜定結(jié)構(gòu)支座位移下的位移計算靜定結(jié)構(gòu)在支座位移作用下，只有剛體位靜定結(jié)構(gòu)在支座位移作用下，只有剛體位移，沒有變形，即移，沒有變形，即1ddd

25、0uw 虛功原理虛功原理RNQ11dddiilFcFuFwM ci位移位移狀態(tài)狀態(tài)1R2F力狀態(tài)力狀態(tài)R1F故故支座位移引起的位移公式支座位移引起的位移公式RiiF c 6-3 剛體虛功原理的應(yīng)用RC CiiaFch V14242（）Cllababhh 解已知支座位移。求已知支座位移。求C CCV、abhl/2l/201/h1圖1M1/2l/4h圖2M16-3 剛體虛功原理的應(yīng)用已知：已知：AB桿做短了桿做短了lAB。求：安裝后，求：安裝后，C點的豎向位移。點的豎向位移。解位移狀態(tài)：只有剛體位移。：只有剛體位移。ddd0uw 力狀態(tài)：在求位移處加單位：在求位移處加單位力、將有制造誤差的桿件去力

26、、將有制造誤差的桿件去掉，畫出桿件的軸力。掉，畫出桿件的軸力。6-3-2靜定結(jié)構(gòu)制造誤差下的結(jié)構(gòu)位移計算ABCAABlCV實際的位移狀態(tài)ABNABF1虛設(shè)的單位力狀態(tài)6-3 剛體虛功原理的應(yīng)用剛體虛功原理剛體虛功原理N10CVABABFlNCVABABFl 拉力拉力短的誤差短的誤差壓力壓力短的誤差短的誤差取取“正正”號號若多個桿件有誤差若多個桿件有誤差NiiFl 注意：注意：N ABABFl的符號的符號AABlCV實際的位移狀態(tài)ABNABF1虛設(shè)的單位力狀態(tài)6-3 剛體虛功原理的應(yīng)用已知：下弦桿均做短了已知：下弦桿均做短了0.6cm。求：結(jié)點。求：結(jié)點A的豎向位移。的豎向位移。解6m66mA1

27、1/21/2 1 11/21/2N142 10.62.4cm2AViiFl 6-3 剛體虛功原理的應(yīng)用6-3-3靜定結(jié)構(gòu)的支反力和內(nèi)力計算PP1312024yBFFF PPP6224yBFFFFFP2FP2a2a2aaaBEACD實際的力狀態(tài)實際的力狀態(tài)FyBAFPBECD2FP虛設(shè)的單位位移虛設(shè)的單位位移狀態(tài)狀態(tài)1/2ABECD13/4求：求：B點的支反力點的支反力; E點的彎矩。點的彎矩。6-3 剛體虛功原理的應(yīng)用E0M MEFP2FPBEACD1BACDEaa/2實際的力狀態(tài)實際的力狀態(tài)虛設(shè)的單位位移虛設(shè)的單位位移狀態(tài)狀態(tài)6-3 剛體虛功原理的應(yīng)用Q11201012.5kN24BF 左20kNQBF左10kN11/21/42m20kN10kN2m2m2m2m力狀態(tài)力狀態(tài)虛設(shè)的單位位移虛設(shè)的單位位移狀態(tài)狀態(tài)6-3 剛體虛功原理的應(yīng)用Q1( 10)5kN2BF R R力狀態(tài)力狀態(tài)虛設(shè)的單位位移虛設(shè)的單位位移狀態(tài)狀態(tài)20kN10kNQBFR R11/26-3 剛體虛功原理的應(yīng)用 10 110kN mBM 10kNBM20kN11力狀態(tài)力狀態(tài)虛設(shè)的單位位移虛設(shè)的單位位移狀態(tài)狀態(tài)6-3 剛體虛功原理的應(yīng)用N1P120FF 用剛體虛功原理求圖示桿件的軸力。用